2025年春人教版数学九年级下册课件 27.2.1 第3课时 两角分别相等的两个三角形相似

第二十七章

相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第3课时两角分别相等的两个三角形相似新课导入1.观察这样的两个三角形相似吗？2.如果一个三角形中的两个角与另一个三角形中的两个角对应相等，这样的两个三角形相似吗？相似相似探究新知观察两副三角尺,其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。

1你能证明它们相似吗？(1)作△ABC和△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，分别度量这两个三角形的边长，计算的值，你有什么发现？由此你能做出一个怎样的猜想？BACA＇B＇C＇

猜想：△ABC∽△A'B'C'

(2)在△ABC

与△A'B'C'中，如果满∠B=∠B',∠C=∠C'，那么能否判定这两个三角形相似？A＇B＇C＇BAC证明：在A'B'上截取A'D=AB，过D作DE∥B'C'交A'C'于点E，∵DE∥B'C'，∴△A'DE∽△A'B'C',又∵∠A=∠A',∠B=∠B',DE∥B'C',AB=A'D,∴∠A'DE=∠B'=∠B,∴△ABC≌△A'DE,∴△ABC∽△A'B'C.A＇B＇C＇BACDE一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理：∵∠A=∠A'∴△ABC∽△A′B′C'.两角分别相等的两个三角形相似.ABCA'B'C'思考:我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？

2(1)直角三角形三边存在什么关系？可以证明直角三角形三边关系：任意两边长度之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。如果直角三角形两直角边分别为A和B，斜边为C，那么A²+B²=C²(2)已知两边成比例，如何判定两直角三角形相似？如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°,∠C'=90°,

，求证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.ABCA'B'C'分析：要证Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.可设法证

若设

则只需证

ABCA'B'C'证明：

则AB=kA'B',AC=kA'C'.由勾股定理，得

ABCA'B'C'

ABCA'B'C'

∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.知识归纳1．两角分别相等的两个三角形相似．2．两直角三角形相似的判定方法：①一锐角对应相等；②两直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例．3．思考：同学们总结一下，两等腰三角形相似的判定方法有哪些？两等边三角形，两等腰直角三角形相似的判定方法呢？两等腰三角形相似的判定方法有：所有等边三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似．①顶角相等；②底角相等；③腰和底对应成比例．例题与练习例1

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长.DABCE解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED∽△ABC.

DABCE如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.例2

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.若AB＝6，AD＝5，求AF的长．ABCEDFO解：如图．连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2－AD2＝11.∵∠2＝∠3，∠2＝∠1，∴∠1＝∠3.∵∠ADB＝∠BDF＝90°，∴△DFB∽△DBA，ABCEDFO123

∴BD2＝AD·DF，

例3

如图，在△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝10cm，AB＝8cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，

∴当△ABC∽△ADB时，∴AD＝6.4cm；

当△ABC∽△BDA时，

∴BD＝6.4cm，综上所述，AD的长为6.4cm或4.8cm.课堂小结1．两角分别相等的两个三角形相似.2．如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.3．所有等边三角形都相似，所有等腰直角三角形都相似．随堂检测1．教材P36练习第1，2，3题．2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(

)DA.∠AED＝∠B

B.∠ADE＝∠C

3．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝___时，△ABC∽△A′B′C′.10证明：∵AB＝AC，∴AB＝