IB课程SL数学2025年秋季试卷：统计与概率应用难题解析

IB课程SL数学2025年秋季试卷：统计与概率应用难题解析一、选择题要求：从下列各题的四个选项中，选择一个最符合题意的答案。1.下列哪个概率分布属于离散型随机变量？A.正态分布B.指数分布C.二项分布D.均匀分布2.在一个班级中，有30名学生，其中有18名男生和12名女生。随机抽取一名学生，求抽到女生的概率。A.0.4B.0.6C.0.5D.13.下列哪个统计量是用来衡量一组数据的离散程度的？A.平均数B.中位数C.众数D.标准差4.一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的概率。A.5/8B.3/8C.2/5D.1/25.下列哪个统计量是用来衡量一组数据的集中趋势的？A.平均数B.中位数C.众数D.标准差二、填空题要求：将下列各题的空格填上合适的数字或字母。6.一个班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生。随机抽取一名学生，抽到女生的概率是______。7.一个数据集的方差是______，那么它的标准差是______。8.下列哪个概率分布属于连续型随机变量？______。9.一个数据集的中位数是______，那么它的四分位数分别是______和______。10.一个班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生。随机抽取一名学生，求抽到男生的概率是______。三、解答题要求：解答下列各题。11.某个班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生。随机抽取3名学生，求以下概率：（1）抽到的3名学生都是男生；（2）抽到的3名学生中有2名男生和1名女生；（3）抽到的3名学生中至少有1名女生。12.一个数据集的频率分布如下表所示：|数据值|频率||-------|-----||1|3||2|5||3|7||4|8||5|6|（1）求该数据集的平均数、中位数和众数；（2）求该数据集的方差和标准差。四、解答题要求：解答下列各题。13.一个盒子里有5个红球和7个蓝球，随机取出两个球，求以下概率：（1）两个球都是红球；（2）两个球都是蓝球；（3）取出的两个球颜色不同。14.下列是某班学生一次数学考试的成绩分布表，请根据表格计算以下指标：|成绩区间|频数||----------|------||0-20|3||21-40|5||41-60|10||61-80|15||81-100|7|（1）求该班学生的平均成绩；（2）求该班学生的成绩标准差；（3）求该班学生的成绩方差。五、解答题要求：解答下列各题。15.一个班级有40名学生，成绩分布如下：-成绩在90分以上的有5人；-成绩在80-89分的有10人；-成绩在70-79分的有15人；-成绩在60-69分的有8人；-成绩在59分以下的有2人。（1）计算该班级的平均成绩；（2）计算该班级成绩的中位数；（3）计算该班级成绩的众数。六、解答题要求：解答下列各题。16.一个数据集的频数分布如下：|数据值|频数||-------|-----||10|2||15|5||20|8||25|4||30|3|（1）计算该数据集的平均值；（2）计算该数据集的方差；（3）计算该数据集的标准差。本次试卷答案如下：一、选择题1.C解析：离散型随机变量是指取值为有限个或可数无限个的随机变量，二项分布是一种离散型概率分布，其取值为0到n（n为试验次数）之间的整数。2.B解析：抽到女生的概率为女生人数除以总人数，即12/30=0.4。3.D解析：标准差是衡量一组数据离散程度的统计量，它反映了数据分布的分散程度。4.A解析：取出红球的概率为红球数量除以总球数，即5/(5+3)=5/8。5.A解析：平均数是衡量一组数据集中趋势的统计量，它反映了数据分布的中心位置。二、填空题6.0.3解析：抽到女生的概率为女生人数除以总人数，即12/40=0.3。7.5，2.24解析：方差是标准差的平方，标准差是方差的平方根。方差的计算公式为：方差=Σ(x-平均数)²/n，其中x为数据值，n为数据个数。标准差的计算公式为：标准差=√方差。8.指数分布解析：指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为分布参数。9.3，2，4解析：中位数是将一组数据从小到大排列后，位于中间位置的数。四分位数是将一组数据从小到大排列后，将其分为四个部分，每部分包含25%的数据。10.0.6解析：抽到男生的概率为男生人数除以总人数，即30/50=0.6。三、解答题11.（1）抽到的3名学生都是男生的概率为(30/50)*(29/49)*(28/48)。（2）抽到的3名学生中有2名男生和1名女生的概率为C(30,2)*C(20,1)/C(50,3)。（3）抽到的3名学生中至少有1名女生的概率为1-(30/50)*(29/49)*(28/48)。12.（1）平均数=(1*3+2*5+3*7+4*8+5*6)/(3+5+7+8+6)=3.2。中位数=(3+4)/2=3.5。众数=4。（2）方差=[(1-3.2)²*3+(2-3.2)²*5+(3-3.2)²*7+(4-3.2)²*8+(5-3.2)²*6]/(3+5+7+8+6)=1.96。标准差=√方差=1.4。四、解答题13.（1）两个球都是红球的概率为(5/12)*(4/11)。（2）两个球都是蓝球的概率为(7/12)*(6/11)。（3）取出的两个球颜色不同的概率为1-[(5/12)*(4/11)+(7/12)*(6/11)]。14.（1）平均成绩=(0*3+21*5+41*10+61*15+81*7)/(3+5+10+15+7)=55.8。（2）成绩标准差=√[Σ(成绩-平均成绩)²/(数据个数-1)]。（3）成绩方差=[Σ(成绩-平均成绩)²/(数据个数-1)]。15.（1）平均成绩=(90*5+80*10+70*15+60*8+59*2)/50=72。（2）中位数=(70+70)/2=70。（3）众数=70。16.（1）平均值=(10*2+15*5+20*8