北京航空航天大学2025年考研数学（二）高数应用题实战强化卷

北京航空航天大学2025年考研数学（二）高数应用题实战强化卷一、一元函数微分学要求：掌握一元函数的导数概念、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等基本知识，并能运用这些知识解决实际问题。1.已知函数\(f(x)=e^{x^2}\sinx\)，求\(f'(0)\)。2.设\(y=\ln(1+x^2)\)，求\(y'\)。3.设\(y=\arctan\frac{1}{x}\)，求\(y''\)。4.设\(y=\sqrt{a^2-x^2}\)，其中\(a>0\)，求\(y'\)。5.设\(y=\ln\frac{x}{x-1}\)，求\(y'\)。6.设\(y=\frac{1}{x^2+1}\)，求\(y''\)。二、一元函数积分学要求：掌握不定积分、定积分、反常积分的基本概念和性质，并能运用这些知识解决实际问题。1.求不定积分\(\int(2x^3-3x^2+4x-5)\,dx\)。2.求定积分\(\int_0^1(x^2+2x+1)\,dx\)。3.求反常积分\(\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx\)。4.求反常积分\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)。5.求不定积分\(\int\frac{1}{x^2-1}\,dx\)。6.求定积分\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx\)。三、多元函数微分学要求：掌握多元函数的偏导数、全微分、极值、条件极值等基本知识，并能运用这些知识解决实际问题。1.设\(f(x,y)=x^2+y^2\)，求\(f_x'(0,0)\)和\(f_y'(0,0)\)。2.设\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，求\(f_{xy}''(0,0)\)。3.设\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求\(f_x'(1,0)\)和\(f_y'(1,0)\)。4.设\(f(x,y)=x^2y^2\)，求\(f_{xx}''(0,0)\)和\(f_{yy}''(0,0)\)。5.设\(f(x,y)=\frac{x^2}{y}\)，求\(f_x'(1,2)\)和\(f_y'(1,2)\)。6.设\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)，求\(f_{xx}''(0,0)\)和\(f_{yy}''(0,0)\)。四、无穷级数要求：掌握无穷级数的基本概念，包括数项级数、幂级数、级数收敛与发散的判定方法，并能运用这些知识解决实际问题。1.判定级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)的敛散性。2.计算级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n-1}\right)\)的和。3.求幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}nx^n\)的收敛半径和收敛区间。4.讨论幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}x^n\)的收敛半径和收敛区间。5.设\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)是一个收敛的级数，且\(a_n\)单调递减，证明\(\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{1}{2}a_{n+1})\)也收敛。6.讨论级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}\)的敛散性。五、线性代数要求：掌握线性方程组、行列式、矩阵、特征值和特征向量等基本知识，并能运用这些知识解决实际问题。1.求线性方程组\(\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}\)的解。2.计算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值。3.求矩阵\(\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\)的特征值和特征向量。4.设\(A\)是一个\(3\times3\)的实对称矩阵，且\(A\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)，求\(A\)的特征多项式。5.证明：如果一个实对称矩阵\(A\)有三个线性无关的特征向量，那么\(A\)是可对角化的。6.讨论矩阵\(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)是否可逆，并给出证明。六、概率论与数理统计要求：掌握概率论的基本概念、随机变量及其分布、数学期望、方差等基本知识，并能运用这些知识解决实际问题。1.设随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，求\(P(X=2)\)。2.设随机变量\(X\)服从均值为\(\mu\)，方差为\(\sigma^2\)的正态分布，求\(P(X>3\sigma)\)。3.设\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)是独立同分布的随机变量，其期望为\(\mu\)，方差为\(\sigma^2\)，求\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的方差。4.设\(X\)是一个离散型随机变量，其概率质量函数为\(P(X=k)=\frac{1}{k^2}\)，求\(X\)的期望和方差。5.设\(X\)和\(Y\)是两个独立的随机变量，且\(X\)服从均值为1，方差为2的正态分布，\(Y\)服从均值为2，方差为3的正态分布，求\(Z=X+Y\)的分布函数。6.设\(X_1,X_2,\ldots,X_n\)是独立同分布的随机变量，其分布函数为\(F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\\frac{x}{n},&0\leqx<1\\1,&x\geq1\end{cases}\)，求\(S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\)的分布函数。本次试卷答案如下：一、一元函数微分学1.解析：由\(f(x)=e^{x^2}\sinx\)，根据乘积法则和链式法则，有\[f'(x)=e^{x^2}\sinx\cdot2x+e^{x^2}\cosx\]将\(x=0\)代入，得\(f'(0)=e^{0^2}\sin0\cdot2\cdot0+e^{0^2}\cos0=0+1=1\)。2.解析：由\(y=\ln(1+x^2)\)，根据链式法则，有\[y'=\frac{1}{1+x^2}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}\)。3.解析：由\(y=\arctan\frac{1}{x}\)，根据链式法则，有\[y'=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{1}{x^2+1}\)。4.解析：由\(y=\sqrt{a^2-x^2}\)，根据链式法则，有\[y'=\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)。5.解析：由\(y=\ln\frac{x}{x-1}\)，根据商法则和链式法则，有\[y'=\frac{(x-1)-x}{(x-1)x}=-\frac{1}{x(x-1)}\)。6.解析：由\(y=\frac{1}{x^2+1}\)，根据链式法则，有\[y'=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}\)。二、一元函数积分学1.解析：\(\int(2x^3-3x^2+4x-5)\,dx=\frac{2}{4}x^4-\frac{3}{3}x^3+2x^2-5x+C\)。2.解析：\(\int_0^1(x^2+2x+1)\,dx=\left[\frac{1}{3}x^3+x^2+x\right]_0^1=\frac{1}{3}+1+1-(0+0+0)=\frac{7}{3}\)。3.解析：\(\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty}=0-(-1)=1\)。4.解析：\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\left[2\sqrt{x}\right]_0^1=2\sqrt{1}-2\sqrt{0}=2\)。5.解析：\(\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\)。6.解析：\(\int_0^{\pi}\sinx\,dx=\left[-\cosx\right]_0^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos0)=1-(-1)=2\)。三、多元函数微分学1.解析：由\(f(x,y)=x^2+y^2\)，有\(f_x'(x,y)=2x\)，\(f_y'(x,y)=2y\)，所以\(f_x'(0,0)=0\)，\(f_y'(0,0)=0\)。2.解析：由\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，有\(f_{xy}''(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，所以\(f_{xy}''(0,0)=e^{0^2+0^2}=1\)。3.解析：由\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，有\(f_x'(x,y)=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，\(f_y'(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\)，所以\(f_x'(1,0)=2\)，\(f_y'(1,0)=0\)。4.解析：由\(f(x,y)=x^2y^2\)，有\(f_{xx}''(x,y)=2\)，\(f_{yy}''(x,y)=2\)，所以\(f_{xx}''(0,0)=2\)，\(f_{yy}''(0,0)=2\)。5.解析：由\(f(x,y)=\frac{x^2}{y}\)，有\(f_x'(x,y)=\frac{2xy}{y^2}\)，\(f_y'(x,y)=\frac{-x^2}{y^2}\)，所以\(f_x'(1,2)=\frac{4}{4}=1\)，\(f_y'(1,2)=\frac{-1}{4}\)。6.解析：由\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)，有\(f_{xx}''(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，\(f_{yy}''(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)，所以\(f_{xx}''(0,0)=0\)，\(f_{yy}''(0,0)=0\)。四、无穷级数1.解析：由\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是著名的巴塞尔问题的解，已知收敛。2.解析：级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n-1}\right)\)是一个望远镜级数，相邻项相消，只剩下首项和末项，所以和为\(\frac{1}{1}-\frac{1}{\infty}=1\)。3.解析：幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}nx^n\)的收敛半径\(R\)由\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=1\)得到，所以\(R=1\)，收敛区间为\((-1,1)\)。4.解析：幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}x^n\)的收敛半径\(R\)由\(\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)，所以\(R=\frac{1}{\sqrt{3}}\)，收敛区间为\(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)。5.解析：由于\(a_n\)单调递减，有\(a_n-\frac{1}{2}a_{n+1}\leqa_n\)，且\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛，所以\(\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{1}{2}a_{n+1})\)也收敛。6.解析：级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}\)是发散的，因为当\(n\to\infty\)时，\(\frac{1}{n\lnn}\)不趋于0。五、线性代数1.解析：线性方程组的解为\(x=1\)，\(y=1\)。2.解析：行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值可以通过拉普拉斯展开或者行列式性质计算得到，结果为0。3.解析：矩阵\(\begin{bmatrix}2&1\\3&2\end{bmatrix}\)的特征值为\(\lambda_1=3\)，\(\lambda_2=1\)，对应的特征向量分别为\(\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。4.解析：由于\(A\)是实对称矩阵，它总是可对角化的。5.解析：由于\(A\)有三个线性无关的特征向量，根据谱定理，\(A\)可对角化。6.解析：矩阵\(