第8章 实数-人教版《数学》七年级下学期知识清单串讲

第第页2024-2025学年人教版数学七年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】第8章实数（思维导图+知识梳理+易错点拨+11大考点讲练+优选压轴题专练共43题）目录TOC\o"1-2"\h\u讲义编写说明 2思维导图指引 2全章节知识精讲梳理 2知识点梳理01：平方根和立方根 2知识点梳理02：实数 3易错考点梳理点拨 4易错知识点01：有理数与无理数的混淆 4易错知识点02：平方根与算术平方根的混淆 4易错知识点03：立方根的性质误解 5易错知识点04：非负数的应用错误 5易错知识点05：运算法则中符号处理错误 5易错知识点06：运算顺序与律法误用 5易错知识点07：平方根与立方根运算混淆 5易错知识点08：数轴上的点对应错误 5易错知识点09：绝对值化简错误 5期中真题汇编考点讲练 5重点考点讲练01：平方根 5重点考点讲练02：算术平方根 6重点考点讲练03：非负数的性质：算术平方根 8重点考点讲练04：立方根 12重点考点讲练05：无理数 14重点考点讲练06：实数 15重点考点讲练07：实数的性质 17重点考点讲练08：实数与数轴 18重点考点讲练09：实数大小比较 22重点考点讲练10：估算无理数的大小 24重点考点讲练11：实数的运算 26优选压轴真题专练 28同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！知识点梳理01：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论知识点梳理02：实数有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数【易错点剖析】（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.易错知识点01：有理数与无理数的混淆学生常将无限循环小数（如0.333…）误判为无理数，或认为所有带根号的数（如√4）都是无理数，忽略其可能为有理数的情况。关键区分：无理数是无限不循环小数（如π、√2），而有理数可表示为分数或有限/无限循环小数。易错知识点02：平方根与算术平方根的混淆平方根包含正负两个值（如±√9=±3），而算术平方根仅取非负值（如√9=3）。学生易在符号表示和数值个数上出错，例如将“√a”直接等同于平方根。易错知识点03：立方根的性质误解立方根可为正、负或零（如³√8=2，³√-8=-2）。学生易忽略负数也存在立方根，或误认为立方根符号（³√a）的结果符号与原数无关。易错知识点04：非负数的应用错误如“几个非负数的和为0，则每个非负数必须为0”。例如，若√a+|b|=0，需同时满足a=0且b=0，学生可能仅关注其中一个条件。易错知识点05：运算法则中符号处理错误在绝对值、相反数、倒数等运算中，学生易忽略符号变化。例如，|−a|不一定等于a，需先判断a的正负；负数的倒数符号易漏写。易错知识点06：运算顺序与律法误用复杂运算中易混淆运算顺序（如先乘除后加减），或错误使用分配律（如将a(b+c)误拆为ab+c）易错知识点07：平方根与立方根运算混淆例如，√(a²)=|a|（需分情况讨论a的正负），而³√(a³)=a（无论a正负）。学生可能将两者规则混用。易错知识点08：数轴上的点对应错误实数与数轴一一对应，但学生可能在表示无理数（如√2）时位置偏差，或误判线段长度（如将正方形边长与面积混淆导致坐标计算错误）。易错知识点09：绝对值化简错误例如，化简|c−a|−|b+a|时，需根据数轴上点的位置判断符号。若未正确分析a、b、c的大小关系，易导致结果错误。重点考点讲练01：平方根【母题精讲】（2024春•凉州区期中）一个正数的平方根是与，求和这个正数．【思路点拨】首先根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程可得，然后再求出这个正数即可．【规范解答】解：由题意得：，解得：，，，则这个正数为9．【考点评析】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．【训练1】（2022春•宁洱县校级期中）已知一个正数的平方根是和．（1）求这个正数；（2）求的平方根．【思路点拨】（1）根据平方根定义得出，求出，求出，即可求出答案；（2）求出的值，根据平方根定义求出即可．【规范解答】解：（1）一个正数的平方根是和，，，，这个正数为；（2），，的平方根是【考点评析】本题考查了平方根的定义，能熟记平方根定义是解此题的关键，注意：的平方根是．【训练2】（2021春•东莞市校级期中）一个正数的两个不同的平方根是和，求及的值．【思路点拨】由于应该正数的两个平方根互为相反数，据此可列出关于的方程，求出的值，进而可求出的值．【规范解答】解：由题意，得：，解得；所以正数的平方根是：7和，故正数的值是49．【考点评析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．重点考点讲练02：算术平方根【母题精讲】（2023春•上杭县期中）已知，．（1）已知的算术平方根为3，求的值；（2）如果，都是同一个数的平方根，求这个数．【思路点拨】（1）根据平方运算，可得，根据解一元一次方程，可得答案；（2）根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得的值，根据平方运算，可得答案．【规范解答】解：（1）的算术平方根是3，，解得．故的值是；（2），都是同一个数的平方根，，或解得，或，，．答：这个数是1或25．【考点评析】本题考查了算术平方根，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．【训练1】（2023秋•市南区校级期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为．（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？【思路点拨】（1）设长方形围场长为米，则其宽为米，根据长方形面积列出方程求出的值，进而可知长方形长与宽；（2）由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．【规范解答】解：设长方形围场长为米，则其宽为米，根据题意，得：，解得：或（舍，长，宽，答：改建后的长方形场地的长和宽分别为米、米；（2）设正方形边长为，则，解得：或（舍，原正方形周长为120米，新长方形的周长为，，栅栏不够用，答：这些金属栅栏不够用．【考点评析】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．【训练2】（2023春•霍邱县期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径，如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？【思路点拨】先依据算术平方根的性质得到，然后将代入计算即可．【规范解答】解：，．将代入得：．那么这场雷雨大约能持续时间．【考点评析】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．重点考点讲练03：非负数的性质：算术平方根【母题精讲】（2024春•松山区期中）若，则等于A． B．1 C． D．【思路点拨】根据非负数的性质求出，，再将其值代入计算即可．【规范解答】解：，，，，，，故选：．【考点评析】此题考查了代数式求值，算术平方根的非负性，根据非负数的性质求出、的值是解题的关键．【训练1】（2022春•江津区校级期中）小聪准备了四根木棍、、、（木棍均足够长），摆放位置如图1所示，，点、分别在、上，木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转，木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转，两根木棍不断来回旋转．若木棍转动的速度是秒，木棍转动的速度是秒，且，满足，与相交于点．（1）当转动，转动时，75；（2）若木棍先转动30秒，木棍才开始转动，木棍到达之前（木棍转动角度小于，木棍转动几秒时，两根木棍互相平行？（3）如图2，，两根木棍同时开始转动，在木棍到达之前（即木棍转动角度小于，若两根木棍交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【思路点拨】（1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论；（2）设木棍转动秒时，两根木棍互相平行，根据非负数的性质得到，，如图，连接，当由向旋转过程中，，如图，当木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转时，，根据平行线的性质即可得到结论；（3）设转动时间为秒，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【规范解答】解：（1）如图1，过作，，，，，，，故答案为：75；（2）设木棍转动秒时，两根木棍互相平行，，，，，，如图，连接，，，当由向旋转过程中，，则，，即，；如图，当木棍从开始绕点顺时针旋转至便立即往回旋转时，，则，，即，，综上所述，木棍转动30秒或110秒时，两根木棍互相平行；（3）不变，设转动时间为秒，，，，，，，，，，，，，，故在转动过程中，与的数量关系不发生变化．【考点评析】本题考查了平行线的性质，非负数的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【训练2】（2022秋•新余期中）（1）已知，求的平方根．（2）已知、满足，解关于的方程．【思路点拨】（1）利用非负数的性质求出、的值即可解决问题；（2）利用非负数的性质求出、即可解决问题；【规范解答】解：（1），又，，，，，的平方根为．（2），又，，，，方程为，，．【考点评析】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质的应用．重点考点讲练04：立方根【母题精讲】（2024秋•浦口区校级期中）解下列方程：（1）；（2）．【思路点拨】（1）根据平方根的定义计算即可；（2）根据立方根的定义计算即可．【规范解答】解：（1），，；（2），．【考点评析】本题考查了平方根和立方根，掌握它们的定义是解题的关键．【训练1】（2023春•富锦市校级期中）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求的值．【思路点拨】1、用2与来验证即可．2、根据题的结论计算．【规范解答】解：（1），而且，，有，结论成立；即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．（2）由（1）验证的结果知，，，．【考点评析】本题主要考查了立方根的定义，是开放题，根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”答题．【训练2】（2023春•鸡西期中）求下列各式中的值：（1）；（2）．【思路点拨】（1）先移项，然后根据直接开平方法可以解答此方程；（2）先变形，然后根据立方根的定义即可解答此方程．【规范解答】解：（1）解得，，；（2）．【考点评析】本题考查立方根、平方根、解方程，解答本题的关键是明确平方根和立方根的定义，会解方程．重点考点讲练05：无理数【母题精讲】（2024春•分宜县校级期中）下列数中是无理数的是A．0 B． C． D．【思路点拨】常见的无理数有：开不尽方的数，有规律但是不循环的数，含的数；据此逐个判断即可．【规范解答】解：、0是有理数，不符合题意；、是有理数，不符合题意；、是无理数，符合题意；、是有理数，不符合题意；故选：．【考点评析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数．【训练1】（2024春•兰山区期中）《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数的著作，书中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门名词——“面”．请问下列各数符合“面”的描述的是A． B． C． D．【思路点拨】根据题意，开方开不尽的数为面，进行判断即可．【规范解答】解：、，不符合题意；、是开方开不尽的数，符合题意；、，不符合题意；、，不符合题意；故选：．【考点评析】本题考查无理数，熟练掌握该知识点是关键．【训练2】（2021秋•通川区校级期中）在实数：1，，，，，（两个1之间一次多一个中，无理数有3个．【思路点拨】根据无理数的三种形式求解．【规范解答】解：，无理数有：，，，共3个．故答案为：3．【考点评析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．重点考点讲练06：实数【母题精讲】（2022春•确山县期中）给出定义如下：若一对实数满足，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”．（1）数对，，中是“相关数”的是；（2）若数对是“相关数”，求的值；（3）是否存在有理数，，使数对和都是“相关数”，若存在，求出一对，的值，若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）根据“相关数”的意义，分别计算验证即可；（2）根据“相关数”的意义，列方程求解即可；（3）利用反证法，先承认和都是“相关数”，任何得出矛盾的结论，得出结论．【规范解答】解：（1），因此一对实数不是“相关数”，，因此一对实数不是“相关数”，，因此一对实数是“相关数”，故答案为：；（2）由“相关数”的意义得，解得，答：；（3）不存在．若是“相关数”，则，，若是“相关数”，则，，若和都是“相关数”，则有，而时，，因此不存在．【考点评析】考查有理数的运算，新定义“相关数”的意义的理解，理解“相关数”的意义是正确解答的关键．【训练1】（2019春•莒南县期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：，，，，，，，，，0，，（每两个1之间依次多一个整数；正分数；无理数．【思路点拨】根据实数的有关概念是和分类进行判断即可．【规范解答】解：整数包括：，，，0；正分数包括：，，；无理数包括：；，（每两个1之间依次多一个．【考点评析】本题主要考查的是实数的分类，掌握实数的概念和分类是解题的关键．【训练2】（2024春•黔东南州期中）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨（每两个1之间依次多一个．（1）正无理数集合：②⑧⑨；（2）负无理数集合：；（3）整数集合：；（4）正实数集合：；（5）负实数集合：．【思路点拨】根据实数的分类求解．【规范解答】解：（1）正无理数集合：②⑧⑨，故答案为：②⑧⑨（2）负无理数集合：⑤⑦；故答案为：⑤⑦；（3）整数集合：①③⑥；故答案为：①③⑥；（4）正实数集合：①②⑧⑨；故答案为：①②⑧⑨；（5）负实数集合：④⑤⑥⑦．故答案为：④⑤⑥⑦．【考点评析】本题考查了实数，掌握实数的分类是解题的关键．重点考点讲练07：实数的性质【母题精讲】（2024春•临高县期中）当式子取最小值时，则实数的取值范围是A． B． C． D．【思路点拨】的最小值，意思是到的距离与到的距离之和最小，那么应在和之间的线段上，进而求解即可．【规范解答】解：表示到的距离加上到的距离，当表示的点在和之间的线段上时，取最小值，的取值范围为．故选：．【考点评析】本题考查了实数和数轴，绝对值的几何意义，掌握数轴上两点间的距离两个数之差的绝对值是解题关键．【训练1】（2024春•奉贤区期中）下列说法正确的是A．正数的方根互为相反数 B．正数的算术平方根一定比它本身小 C．只有1和0的立方根是它本身 D．负数的偶次方根不存在【思路点拨】根据平方根、立方根的性质逐项分析判断即可．【规范解答】解：、正数的方根互为相反数，没说清楚是立方根还是平方根，故错误，不符合题意；、1的算术平方根等于它本身，故原说法错误，不符合题意；、的立方根也等于它本身，原说法错误，不符合题意；、负数的偶次方根不存在，正确，符合题意；故选：．【考点评析】本题考查了实数的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是关键．【训练2】（2024春•惠阳区校级期中）若，则的相反数是2．【思路点拨】根据所给条件，求出的值，代入所求式子即可求解．【规范解答】解：，，，的相反数是2．故本题的答案是2．【考点评析】本题考查了实数相反数的意义，实数相反数的意义与有理数相反数的意义相同，在一个数前面放上“”，就是该数的相反数．本题的关键是求出代数式的值．重点考点讲练08：实数与数轴【母题精讲】（2024春•西湖区期中）阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，，点表示的数分别为，，则线段的长（点到点的距离）可表示为请用上面材料中的知识解答下面的问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示（1）请你在数轴上表示出，，三点的位置，并直接写出线段的长度；（2）若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？（3）若将点向右移动，请用代数式表示移动后的点表示的数？（4）若点以每秒的速度向左移动至点，同时点，点分别以每秒和的速度向右移动至点，点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由．【思路点拨】（1）根据题意容易画出图形；由题意容易得出的长度；（2）设表示的数为，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点向右移动，则移动后的点表示的数为；（4）用代数式表示出和，再相减即可得出结论．【规范解答】解：（1）如图所示：；（2）设表示的数为，，，解得：或3，点表示的数为或3；（3）将点向右移动，则移动后的点表示的数为；（4）的值不会随着的变化而变化，理由如下：根据题意得：，，，的值不会随着的变化而变化．【考点评析】此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．【训练1】（2024春•鼓楼区校级期中）在数轴上点表示的数是．（1）若把点向左平移2个单位得到点为，则点表示的数是什么？（2）点和（1）中的点所表示的数互为相反数，点表示的数是什么？（3）求出线段，，的长度之和．【思路点拨】（1）根据左减右加进行计算；（2）关于原点对称的两个点即为互为相反数；（3）求其长度之和，即是求它们的绝对值的和．【规范解答】解：（1）点表示的数是．（2）点表示的数是．（3）由题可得：表示，表示，表示，，，．．【考点评析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，要求学生首先正确理解题意，才能利用数形结合的思想解题．【训练2】（2024春•惠阳区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形和，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，点在数轴上表示的数是5．且、两点之间的距离为14．（1）填空：点在数轴上表示的数是15，点在数轴上表示的数是．（2）若线段的中点为，线段上一点，，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为秒，原点为．当时，求的值．（3）若长方形以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为，当时，求此时的值．【思路点拨】（1）根据数轴上两点间距离，可求得点所对应的数；（2）根据题意，可表达出点和点对应数，进而表达和的长，根据，建立等式，求解即可；（3）根据数轴上动点问题，图形动转化为点动，根据题意求解即可．【规范解答】解：（1）由题意可得，点在数轴上表示的数为：；点在数轴上表示的数为：．故答案为：15；．（2）点是线段的中点，点表示的数为，又，点在数轴上表示的数为：，由题意可得，秒时，点在数轴上表示的数为：，点在数轴上表示的数为：，，，，或，解得或．故答案为：或．（3）当与重合时，所用时间为秒，由题意得：与重合的部分为，如图1所示，设长方形从运动到与重叠部分为4时，所用的时间为秒，，第一次重叠面积为12时，时间为（秒；当与重叠部分为4时，如图2所示，设长方形从运动到与重叠部分为4时，所用的时间为秒，，第二次重叠面积时，时间为（秒；当长方形与长方形重叠部分的面积为12时，的值为9或13．【考点评析】本题主要考查数轴上两点间距离，解一元一次方程，数轴上动点问题等内容，做题时注意要分类讨论．重点考点讲练09：实数大小比较【母题精讲】（2024春•海珠区校级期中）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④；⑤若为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】首先判断出，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．【规范解答】解：由题意，，，则①，故原结论正确；②，故原结论错误；③，故原结论错误；④，故原结论错误；⑤当时，的最小值为，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：．【考点评析】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．【训练1】（2024春•浦东新区校级期中）的大小关系是A． B． C． D．【思路点拨】由题意，都是正数，且都含有根号，则可通过比较其平方的大小，即可解答出．【规范解答】解：，，；，都是正数，．故选：．【考点评析】本题主要考查了实数大小的比较，当给出的数中含有根式时，可以根据实际情况，考虑通过比较其平方的大小来解决．【训练2】（2022秋•红谷滩区校级期中）如图，长方形的面积为，长和宽的比为．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆取，请通过计算说明理由．【思路点拨】根据长方形的长宽比设长方形的长为，宽为，结合长方形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，从而得出的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与的长进行比较即可得出结论．【规范解答】解：设长方形的长为，宽为．由题意，得，解得：，，，，．圆的面积为，设圆的半径为，，解得：．两个圆的直径总长为．，不能并排裁出两个面积均为的圆．【考点评析】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小比较，解题的关键是求出圆的半径以及长方形的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合长方形（或圆）的面积公式求出其长边长（或半径）是关键．重点考点讲练10：估算无理数的大小【母题精讲】（2024秋•杭州期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（式子中的“”，“”依次相间）A．22 B． C．23 D．【思路点拨】根据表示任意实数的整数部分，求出各个式子的值，然后进行计算即可．【规范解答】解：，，原式从2到44，每个数不考虑符号都是奇数个，原式，故选：．【考点评析】本题考查估算无理数的大小，准确理解题目中的表示任意实数的整数部分，发现加数的规律是解题的关键．【训练1】（2024秋•南山区校级期中）阅读理解，即．的整数部分为2，小数部分为的整数部分为1．的小数部分为解决问题：已知：是的整数部分，是的小数部分，求：（1），的值；（2）的平方根．【思路点拨】（1）首先得出接近的整数，进而得出，的值；（2）根据平方根即可解答．【规范解答】解：（1），，，，，（2），故的平方根是：．【考点评析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出，的值是解题关键．【训练2】（2023秋•宿豫区校级期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：（1）求出的整数部分和小数部分；（2）已知：，其中是整数，且，请你求出的相反数．【思路点拨】（1）先估算出的范围，求出的范围，即可得出答案；（2）先估算出的范围，再求出的范围，求出、的值，即可求出答案．【规范解答】解：（1），，的整数部分是，的小数部分是；（2），，的整数部分是12，的小数部分是，即，，，则的相反数是．【考点评析】本题考查了估算出无理数的范围，能估算出和的范围是解此题的关键．重点考点讲练11：实数的运算【母题精讲】（2024春•桦南县期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，，都有．例如，那么29．【思路点拨】原式根据题中的新定义计算即可求出值．【规范解答】解：根据题中的新定义得：．故答案为：29【考点评析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【训练1】（2021春•安定区校级期中）计算下列各题（1）（2）．【思路点拨】（1）原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用平方根、立方根的定义计算即可得到结果．【规范解答】解：（1）原式；（2）原式．【考点评析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【训练2】（2021春•陕州区期中）计算（1）（2）（3）（4）．【思路点拨】（1）首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算即可．（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算即可．（3）根据平方根的求法，求出的值是多少即可．（4）根据立方根的求法，求出的值是多少即可．【规范解答】解：（1）（2）（3），，解得或．（4），．【考点评析】此题主要考查了实数的运算，以及立方根的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用一、选择题1．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）下列命题中，真命题有（）（1）平方根等于它本身的数只有0；（2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0；（3）27是3的立方根；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【思路点拨】本题考查了判断命题真假，根据平方根，算术平方根与立方根的定义，平行线公理及推论，点到直线的距离解答即可．【规范解答】解：（1）平方根等于它本身的数只有0，是真命题；（2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0或，原命题是假命题；（3）27的立方根是3，原命题是假命题；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；（6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；故选：B．2．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．【规范解答】解：若开始输入的的值是，则其立方根为，是有理数，则的算术平方根是，∵是无理数，∴输出，故选：C．3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再计算绝对值即可求解．【规范解答】解：由数轴可知，，即，，．故选：B．4．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法：①；②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等；③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0；④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【思路点拨】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键．根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④．【规范解答】解：由数轴可知，，∴，∴，故说法①正确；∵，∴，故说法②错误；∵，，∴，∴，∴，∴，∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误；可能的“新运算操作”有，，，，，，，∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误．故选：D．二、填空题5．（23-24七年级上·山东青岛·期末）已知实数，满足关系式，求的立方根．【答案】3【思路点拨】本题考查非负性，求一个数的立方根，根据非负性求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可．【规范解答】解：∵，∴，∴，∴，∴的立方根为；故答案为：3．6．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）若和是有理数，且满足，则．根据上述材料，解决下列问题：（1）若，则的立方根为；（2）若，则的平方根为．【答案】2【思路点拨】本题考查了平方根，立方根，实数，解题的关键是熟练掌握平方根，立方根，实数的概念；（1）根据是无理数，是有理数，可得，再根据立方根的概念求解即可；（2）根据是无理数，是有理数，可得，再根据平方根的概念求解即可．【规范解答】（1）由题意，得，解得，所以，所以的立方根为2，故答案为：2；（2）由题意，得，，解得，，的平方根为，故答案为：．7．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，则的平方根是．【答案】【思路点拨】本题主要考查了实数的运算，还考查了倒数、相反数、三次根式等知识点，先根据倒数、相反数、三次根式的定义求出a、b、c的，再代入所求式子计算即可．【规范解答】解：∵的倒数是，的相反数的绝对值是，是的立方根，∴，，，∴，∴的平方根是．故答案为：．三、解答题8．（24-25七年级下·重庆长寿·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根