福建省龙岩市一级校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学含解析

1．设函数f(x)满足EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up2147483644(l),Δ))3．下列导数运算正确的是()知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了三局”，独立；②若P(AC)+P(BC)=1，则A,B互为对立事件；独立；④若P(AB)=P(A)-P(A)P(B)，则A,B相互独立.其中正确的结论有()e，则()9．若函数在(1,2)上单调递减，则实数a的值可能为()5210．已知Ω为随机试验的样本空间，事件A，B满足AÍΩ,BÍΩ,则下列说法正确的是()B．若BÍA，且，则11．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1C．若动点M满足AM=2CM，则A1M的最小值是D．若动点M在AC上，点N在A1D上，则MN的最小值为12．已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.3，，，(1)证明：DE//平面PBF．(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=x相互垂直，求m的值；(2)若m=3，求f(x)的极值．17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD丄AB，侧面PAB丄底面ABCD，PA=PB=，且E,F分别为PC,CD的中点．(2)若直线PF与平面PAB所成的角为60°,求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．其计分规则如下：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0分，最后总分累计多的人获胜．假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙每题答题正确的概率分别为和．19．已知定义在区间D上的函数f(x)，g(x)，若"x1，x2∈D(x1≠x2)，存在一个正实数M，满足f(x1)-f(x2)<M)-g(x2)，则称g(x)是f(x)的“M—陪伴函数”．(1)已知D=[0,1]，判断函数g(x)=2123456789DADBCCBD利用导数的定义即可求值.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(-),A),列出方程求解即可.即e1+2e2-e3=mλe1+mμe2+me3， 对于D，(2sinx+3cosx)¢=2cosx-3sinx，故D正确.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(ù),」)由条件概率公式可得P(A当a=0时是一个指数函数，在R上单调递减，所以②正确，①错误；x→+∞时，f(x)→0，当x→-∞时，f(x)→+∞,所以④相符.件概率公式可知④正确.【详解】对于①,若A,B互斥，则P(AB)=0，又P(A)P(B)>0，:P(AB)≠P(A)P(B)，:A,B不相互独立，①正确；扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于一点”，满足P(AC)+P(BC)=P(C)，但A,对于③,扔一枚骰子，记事件A为“点数大于两点”；事件B为“点数大于五点”；事件C为“点数大于六点”，满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，此时P(AB)≠P(A)P(B)，:事件A,B不相互独立，③错误；对于④,QA=ABUAB，事件AB与AB互斥，:P(A)=P(AB)+P(AB)，又P(AB)=P(A)-P(A)P(B)，:P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)，即P(AB)=P(A)P(B)，:事件A,B相互独立，④正确.【详解】令f(x)=x，取自然对数得2(0,e2),g根据对勾函数性质可得在(1,2)上单调递增，对于B，由BÍA，则A+B=A，所以故B错误；对于则P，即A与B相互独立，ABA举反例，当M运动到B点时，此时A1M不垂直于B1C；B采用延长线法可构造截面；C由AM=2CM可知动点M的轨迹是球，在平面ABCD内找出球心，即可计算半径，则问题转化为A1与球上的点间的距离的最小值；D以D为原点建系，求异面直线AC和A1D的距离即可.【详解】对于选项A，当M运动到B点时，易知A1M不垂直于B1C，对于选项B，如图，设PQ∩CC1=S,PQ∩CD1=T，连接BS交B1C1于点E，连接BT交AD于点F，连接QF,PE，则五边形BEPQF即截面，AM=2CM,得平面上点M空间中点M的轨迹是球面，球心O在直线AC上，由得AM2=2CM2得CM2=，AAEQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(-),A)因MN的最小值即异面直线AC和A1D的距离，故MN的最小值为，故D正确．利用独立事件的概率公式求出P(AB)，再由公式P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB)可求得结果.所以，P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-0.12=0.58.故答案为：0.58.利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值.r【详解】因为PG=PA+AG=PA+×(AB+AC)=PA+(AP+PB+r323所以PM=PG=(PA+PB+PC)，因为M,D,E,F四点共面，所以λ+μ的最小值为.个不同的交点，利用导数分析g(x)的单调性和最值，结合g(x)的图象分析求解即可.【详解】由题意可知：f(x)的定义域为(0,+∞)，1令f(x)=xa+=0，则=-alna，可得=，a可知与有2个不同的交点，可知g(x)在(0,e)内单调递增，在(e,+∞)内单调递减，则可得g(x)的图象如图所示：,（1）取PB的中点G，由EG//DF、EG=DF得四边形EGFD为平行四边形，再由线面平行判定定理可得EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(-),A)平面PBF的法向量，再由线面角的向量求法可得答QDF//AB，且:四边形EGFD为平行四边形，:DE//FG．又DEÌ/平面PBF，FGÌ平面PBF，:DE//平面PBF；EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(-),A)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(-),A)-p+r=0l2-1p+2q=l2:直线PD与平面PBF所成角的正弦值为．（1）求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出参数值.【详解】（1）函数f(x)=-mlnx+3x，求导得则f¢(1)=-m+3，由切线与直线y=x相互垂直，得(-m+3)×1=-1，所以m=4.所以f(x)在x=1处取得极小值e+3，无极大值．（1）先作辅助线构造平行四边形，利用中位线定理得到ME//BC且结合已知AD//BC且 ,推出ME//AD且ME=AD，从而得出四边形ADEM是平行四边形，得到DE//AM，再证明（2）由（1）知BC丄平面PAB．作辅助线，求证FG丄平面PAB，得到PF与平面PAB所成的角为上GPF，结合向量夹角余弦公式计算即可.因为E为PC的中点，所以ME//BC，又因为所以ME//AD，ME=AD，所以四边形ADEM为平行四边形，则DE//AM．因为AD//BC，AD丄AB，所以BC丄AB．因为平面PAB丄平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BCÌ平面ABCD，所以BC丄平面PAB．又AMÌ平面PAB，所以BC丄AM，又DE//AM，所以DE丄BC．EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(-),C)-4,-2,0)．设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z)，易知平面PAB的一个法向量为n2=(0,1,0)设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为θ,所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．甲在一轮比赛中得i（i=0,1,2,3）分为:甲在一轮比赛中获得1分的概率为.设甲在一轮比赛中获胜为事件C，:P(CA0)=EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(1),3):P(C)=P(A0)P(CA0)+P(A1)P:甲在每轮比赛中获胜的概率为.设甲前三轮累计得分恰为6分为事件D，:P(D)=CEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(1),3)×P(B3)×P(B3)×P(B0)+AEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(3),3)P(B3)×P(B2)×P(B1)+P(B2)×P(B2)×P(B2):甲前三轮累计得分恰为6分的概率为.（2）通过放缩得再记s=max{x1,x则得到f(x1)-f(x2)<Mg(x1)-g(x2)i，即证明原命题；（3）根据陪伴函数的定义得f(x1)-f(x2)<3x1-x2，通过【详解】（1）假设g(x)是f(x)的＂M—陪伴函数",2),f(x1)-f(x2)<Mg(x1)-g(x2)，即xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),1)-xEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),2)+3(x1-x2)<3Mx1-因此M≥,因此g(x)是f(x)的＂M－䧄伴函数且M的最小值是．"x1,x22即f(x1)-f(x2)<Mg(x1)-g(x2)，因此g(x)是f(x)的＂M—陪伴函数",即f(x1)-f(x2)<3x1-x2，不妨假设x1<x2，则3x1-3x2<f(x1)