北师大版数学二年级下册全册导学案

第16章分式

16.1分式及其基本性质

1.分式

学习目标：

1.能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是一种刻画现实世界中数量关系的数

学模型.

2.了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式（■点

3.理解分式有意义的条件；在使分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含的字母的

取值范围；会确定分式的值为零的条件.（难点）

自主学习

一、知识链接

1.被除数：除数写成分数的形式是，3:4写成分数是.

2.什么是整式?整式包括哪些式子？

3.观察下列一组数的规律，在横线上填上相应的结果：

（第n个数），所填的两个数（式子）有什么不同的地方？

二、新知预习

请同学们认真阅读教材1-3页，完成第2页做一做中的问题.

1.分式的概念

（1）分式的概念：一般地，形如的式子，其中A、B都表示整式，且B中含有,

BW,叫做分式；

（2）你认为概念中哪些内容是关键点，需要注意什么？

（3）和统称为有理式

2.分式有无意义的条件

(1)分数在什么条件下有意义？

(2)请根据分数有意义的条件，思考要使分式有意义需要什么条件.

合作探究

-、探究过程

探究点1:分式的概念

【要点归纳】分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，BWO,那么

式子叫做分式.分式中，A叫做分式的，B叫做分式的.

【典例精析】

例1下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

(1

X)；：：：

【方法总结】判断是否是分式时，分母中只要含有字母即可(n不是字母而是常数)，至于

字母的个数与次数不受限制，而分子中字母则可有可无.

【针对训练】1.在代数式中属于分式的是.

探究点2:分式有意义及值为0的条件

例2当取什么值时，下列分式有意义？

(1)；(2).

探究：思考下面的问题并和组内同学交流:

当取什么值时，例2中两个分式的值分别为零？

【方法总结】1•分式有意义的条件是B#0(如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因

式都不为零).

2.分式二。的条件是A=0且BWO.

【针对训练】2.(1)当x时，分式无意义；

⑵当a时，分式

有意义；

(3)当x时，分式

的值为零；当x时，分式

的值为零.

探究点3:利用分式表示实际问题中的数量

例3一种图书原售价为每册a元，现降价5元销售.已知降价后某日这种图书

的销售金额为b元，用含字母a卜的代数式表示该日销售的册数.当

a=20,b=6000时，求该日这种图书的销售册数.

【针对训练】3.列式表示下列各量：

(1)某村有n个人，耕地40公顷，人均耕地面积为公顷；

(2)的面积为S,BC的长为a,则BC边上的高AD的长为；

(3)一辆汽车行驶a千米用b小时它的平均车速为千米/时；一列火车行驶a

千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为千米/时.

二、课堂小结

分式内容

概念一般地，我们把形如的代数式叫做分式，其中A.B都是,且B中含

有,B#0.A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.

有意义的条件分式有意义的条件是

值为0的条件分式值为0的条件是

当堂检测

1.下列代数式中，属于分式的是。

AB.C.D.

2.下列分式中一定有意义的是。

A.B.C,D.

3.使分式有意义的x的取值范围是

4.如图，正方形的长是出图中弧线为圆周的，用代数式表示阴影部分的面积与正方形面

积的比为，

5.分式的值能等于0吗?说明理由

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.

2.解：单项式和多项式统称整式.

3.解：第一个是分数，也是整式；第二个分母的位置有字母，不是整式.

二、新知预习

1.(1)字母0

(2)关键点是A、B都表示整式，且B中含有字母，BWO

(3)整式分式

2.解：(1)分母不为0时，分数有意义.

(2)分母不为0时，分式有意义

合作探究

一、探究过程

探究点1：分式的概念

【要点归纳】分子分母

【典例精析】

例1解：(1

X),,

y2是整式；…

是分式.

【针对训练】1,

探究点2:分式有意义及值为0的条件

例2分析：要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.

解：⑴由分母X+3H0,得X，

3,・,.当xW

3时，分式有意义

⑵「.+121H0..•.当取任意实数时，分式都有意义.

探究：解：⑴当分子9r2巾,分母x+3W0时,分式的值为0,则x=3.

(2)当分子2-x=0,分母X2+1W0时,分式的值为0,则x=2.

【针对训练】2.(1)=-1(2)*(3)=0=

3

探究点3:利用分式表示实际问题中的数量

例3解：由题意得该日销售此种图书的册数为.当a=20.b=6000时，该日此种图书的销

售册数为二400.

【针对训练】3.(1)(2)(3)

二、课堂小结

整式字母BWOA=0且BW0

当堂检测

1.C2.A3.xW

34.

5.解：不能.理由如下：若分式的值为0,则分子x+3=0,得乂=

3.此时分母x2-x-12=9+3-12=0,原分式无意义，原分式的值不能为0.

2.分式的基本性质

学习目标：

1.理解并掌握分式的基本性质，了解最简分式的概念.

2.根据分式的基本性质，对分式进行约分化简及分式的通分运算.(重点)

3.能把分式化为最简分式并正确地找出最简公分母.(难点)

自主学习

一、知识镯妾

1.(1)把下列分数化为最简分数或整数：

(2)分数约分的方法：先将分数的分子和分母，再约去分子、分母的最大公

约数，把分数化为最简分数或整数.

2.因式分解：

(1)x2+xy=(2)4m2-n2=

(3)a2+8a+16=.

二、亲欣a预习

类比分数的约分，完成下列流程图：

【要点归纳】

1.类比分数的性质，猜想：分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于。的整式，分

式的值.

2.分子和分母没有的分式叫做最简分式

合作探究

一、探究过程

探究点1：分式的基本性质

问题1:如何用字母表示分数的基本性质？

一般地，对于任意一个分数，有(c，0),其中a,b,c表示数.

问题2:仿照分数的基本性质，说一说分式的基本性质.

【要点归纳】

分式的基本性质：分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于。的整式，分式的值

即：，，其中A,B表示整式，且C是不等于0的整式，

【典例精析】

例1填空:

(1)=；(2)=;(3)=;(4)=

【针对训练】1.下列式子从左到右的变形一定正确的是()

A.=B.=C.=D.=

例2不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“

”号.

【要点归纳】1.根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用.

2.当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“

”号，括号内各项都变号

【针对训练】2.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“

H号

(1)

(2)=;(2)

(3)=;(3)

(4)

(5).=

探究点2:分式的约分

例3约分：

(1)；(2);(3);(4).

【要点归纳】1.分式约分的依据是

2.约分的步骤：(1)找公因式.当分了、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分了、分

母的；

(3)约分的最后结果要是最简分式或整式.

［针对训练】3.约分：

探究点3:分式的通分

1.想一想：如何将分数进行通分？

2.探究：分式和进行通分你觉得通分的关键是什么?怎样通分?

例4通分：

(1)与；(2)与.

分析：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的

同分母的分式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

解：(1)最简公分母是

(2)最简公分母是

【要点归纳】1.最简公分母的系数取各分母系数的

2.最简公分母的字母因式取各分母的积

3.当分母是多项式时，一般应先，再找最简公分母.

二、课堂小结

分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于的整式，分式的值.即二，

=(CHO),其中A、B.C是整式.注意：BWO是隐含条件.

符号法则

分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值.即二-

最简分式

分子与分母没有的分式叫做最简分式.

分式约分的步骤

⑴确定分子与分母的公因式，当分子、分母中有多项式时，应先__________，再确定公

因式；

⑵将分子、分母表示成某个因式与公因式乘积的形式；

⑶约去公因式；

(4)化为最简分式或整式.

分式的通分

把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式，通分的关键是确定几个分

式的公分母(通常取最简公分母)

当堂检测

1.下列各式是最简分式的是()

A.B.C.D.

2.将中的、都变为原来的3倍，则分式的值()

A.不变B.变为原来的3

C.变为原来的9

D.变为原来的6

3.下列分式的变形：

①二;②二;③二;④二1；

@=a

1;@=

正确的有。

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.约分：

(1)；(2)

5.通分：

(1)；(2);

(3);⑷.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.(1)2(2)分解因数

2.(1)x(x+y)⑵(2m+n)(2m-n)(3)(a+4)2

二、新知预习

【要点归纳】1.不变2.公因式

合作探究

一、探究过程

探究点1：分式的基本性质

问题2一般地，对于任意一个分式，有(C#)),其中A,B,C表示整式

【要点归纳】不变BxCB+C

【典例精析】

例1(1)2x(2)4b(3)bn+n(4)x+y

【针对训练】1.c

例2

【针对训练】2.(1)(2)(3)

探究点2:分式的约分

例3解：(1)原式=.(2)原式二.(3)原式一(4)原式:

【要点归纳】1•分式的基本性质2.公因式

【针对训练】3.解：(1)原式二.(2)原式二.

(3)原式二.(4)原式二.

探究点3:分式的通分

1.解：确定分母的最小公倍数为24.则，

2.解：通分的关键是确定公分母(通常取最简公分母).运用分式的基本性质，将异分

母的分式的分子'分母同乘适当的整式，转化为与原来的分式值相等的同分母分式

最简公分母为2Mb。，

例4(1)1Oa2^

(2)2(x+y)2(x-y)

【要点归纳】1.最小公倍数2.字母因式的最高次幕3.分解因式

二、课堂小结

0不变不变公因式分解因式

当堂检测

1.C2.A3.C

4.解：(1)原式=.12)原式:

5.解：(1)最简公分母是10a2b2c.,

(2)最简公分母是12ab2.,,

(3)最简公分母是x2-y2.保持不变，

(4)最简公分母是x(x+l)2.,

16.2分式的运算

1.分式的乘除

学习目标:

1.理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算.(重、难点)

2.类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运箕法则，在分式乘除法运算过程中,

体会因式分解在分式乘除法中的作用

自主学习

-、知识链接

计算下列算式并观察：

X=;X=;

-r=X=；^-=X=

猜一猜：X=?4-=?与同伴交流一下.

分析：观察上面运算，可知：

两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；

两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.

这里字母a,b,c,d都是整数，且b,c,d均不为零.

二,新知预习

通过类比分数的乘除法运算法则可得到分式的乘除法的法则：

•=

分式的乘法法则：分式乘分式，用作为积的分子，用

一作为积的分母.

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的颠倒位置后，与一

____________相乘

合作探究

一、探究过程

探究点1:分式的乘除运算

【典例精析】

例1计算：(1)；(2);(3)

【方法总结】(1)计算结果一定要化为；

(2)整式可以看作是分母为的代数式；

⑶计算中带有负号时，应先确定再计算.

【针对训练】1.计算：(1)；(2)

例2计算：(1);(2).

【存涛说练】2,计算：母合多项式时，5先，再计算.

探究点2:分式的乘方运算

1.分式乘方的法则

(1)根据乘方的意义和分式的乘法法则完成下式运算:

二二二(其中W0)；

二二二(其中WOj；

=.-.二二(其中t0,n为正整数).

(2)比较分式的乘方和乘方的结果，归纳分式的乘方法则：

分式的乘方等于把_________________________________________

2.分式乘方的注意事项

(1)分式乘方时一定要加括号；(2)分式本身的符号也要同时乘方

【典例精析】

例3下列运算结果不正确的是()

A.()2=(2=B.[

()2P=-(6=-

c.[

]3=(

)3=

D.(

)

【易错总结】分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次

方为负.

【针对训练】3.计算：（

八（

八（

）4.

二、课堂小结

内容

分式的乘法法则分式乘分式，用分子的作为积的分子，分母的

作为积的分母.

解题如果分式的分子、分母是多项式，一般要先将其因式分解，再运

策略算•

分式的除法法则分式除以分式，把除式中的分子、分母后，与被除

式_________

解题（1）当除式（或被除式）是整式时，可以看做分母是1的式子，然后

策略按分式乘除法法则计算；

（2）如果分式的分子、分母是多项式，一般要先将其因式分解，再

运算.

分式的乘方法则一般地，当n是正整数时，=.即分式乘方要把分子、

分母分别__________

解题分式乘方时，确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式

策略的任何次辱都为正；负分式的偶次毫为，奇次鬲为—

当堂检测

1.计算的结果等于（）

A.B.C.D.

2.下列计算结果正确的有0

®;®8a2b2-=-6a3;®;®a-b-=a;

⑤.

A1个R2个C3个D.4个

3.计算：⑴=；(2)=

4.计算：

(1);

⑵；

(3)

参考答案

自主学习

一、期只雌

二、新知预习分子的积分母的积分子分母被除式

合作探究

一、探究过程

探究点1：分式的乘除运算

【典例精析】

例1解：（1）原式=.（2）原式:

（3）原式二

【方法总结】（1）最简分式或整式（2）1（3）结果的符号

【针对训练】1.解：（1）原式二.（2）原式二.

例2解：（1）原式二.

（2）原式:

【方法总结】分解因式

【针对训练】2.解：（1）原式二.

(2)原式:

探究点2:分式的乘方运算

1.(Dbbnnb(2)分子的乘方作为分子，分母的乘方作为分母

【典例精析】

例3D

【针对训练】3.解:原式二.

二、课堂小结

积积颠倒位置相乘乘方正负

当堂检测

1.A2.D3.(1)-x-1(2)-a

4.解：(1)原式二.(2)原式=8x2+]0x-3.(3)原式二一.

2.分式的加减

学习目标：

1.掌握同分母、异分母分式的加减法法则.(重点)

2.能熟练地进行简单的异分母的分式加减法.(难点)

3.会进行简单的分式四则混合运算，能灵活运用运算律进行简便运算.(难点)

自主学习

一、知识链接

1.填空：

2.将下列分式通分：(1)；(2).

合作探究

一、探究过程

探究点1：同分母分式的加减

问题：请类比同分母分数的加减法，说一说同分母的分式应该如何加减？

【典例精析】

例1计算:

【方法总结】（1）当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；（2）分式加减运

算的结果，必须要化成最简分式或整式

探究点2:异分母分式的加减

问题：请类比异分母分数的加减法，说一说异分母的分式应该如何加减？

【典例精析】

例2计算：（1）;（2）.

【方法总结】异分母分式相加减：（1）当两个分式的分母互为相反数时，可直接变形为同

分母的分式，再相加减；（2）分母是多项式时，先因式分解找出最简公分母，再通分，转化

为同分母的分式相加减.

【针对训练】1.计算的结果是（）

A.B.C.D.

【典例精析】

例3计算：

【方法总结】分式与整式相加减，把整式看成分母为“1”的分式，然后通分，转化为同分母

的分式相加减.

【针对训练】2.计算a-b+的结果为（）

A.B.a+bC.D.以上都不对

探究点3:分式的混合运算

问题：如何计算？请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.

【要点归纳】分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括

号里面的.计算结果要化为最简分式或整式

【典例精析】

例4计算：(1);(2).

【针对训练】3.先化简代数式

*(1

)，再从-4<X<4的范围内选取一个合适的整数x代入求值.

【方法总结】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注

意选数时，分母不能为0.

二、课堂小结

内容

同分母分分母,把相加减，即士=.

式的加减

异分母分先，变为同分母的分式，再.即士二土二

式的加减

分式的混先，再,然后，有括号的先算括号里面的.最后结果中分子、

合运算分母要进行约分，注意运算的结果要化成或整式.

⑴一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看做是分母为“1”的式子，整式前面

是负号时，要加括号，进行通分.

解题策略⑵分母是多项式时，先因式分解找出最简公分母，再通分，转化为同分母的分式相

加减.

(3)结果一定要化成最简分式或整式

当堂检测

1.计算的结果为0

A.B.C.-1D.2

2.填空：；

3.计算：

(1);(2);

(3);(4).

4.计算：

⑴；(2).

5.先化简：.当b=3时，从-2<a<2的范围内选取一个

合适的整数a代入求值.

参考答案

自主学习

一、知识链接1.(1)(2)(3)(4)

2.解:⑴最简公分母:;⑵最简公分母：(x+2)(x-2)2,,.

合作探究

一、探究过程

探究点1：同分母分式的加减

解：；；

同分母的分式的加减，分母不变，分子相加减

【典例精析】

例1解：原式二

探究点2:异分母分式的加减

解：；

异分母的分式的加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

【典例精析】

例2解：(1)原式二

(2)原式二

【针对训练】1.B

例3解：原式=

【针对训练】2.C

探究点3:分式的混合运算

解：原式包括乘方、乘法、除法、减法运算，应先算乘方，再算乘除法，然后算减法

原式二二.

【典例精析】

例4解：(1)原式二

(2)原式二.

【针对训练】3.解：原式二.•..-4<x<4,xW±l,xW2,・・・x可取的整数值为±3,-2,0.

若取x=3,原式=2.

二、课堂小结

不变分子通分加减乘方乘除加减最简分式

当堂检测

1.C2.(1)(2)4

3.解：(1)原式二.(2)原式二.

(3)原式二

(4)原式二.

4.解：(1)原式二二X.

(2)原式二.

5.解：原式二，

当b=3时，•・・-2<a<2,aWO且aW±3,的整数值为±1.若取a=l,则原式三

16.3可化为一元一次方程的分式方程

第1课时分式方程及其解法

学习目标:

1.理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.(重点)

2.理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法,

了解解分式方程验根的必要性.(难点)

自主学习

一、知识链接

1.找出下列各组分式的最简公分母：

(1)与的最简公分母是；

(2)与的最简公分母是.

2.一元一次方程的特征是什么？

答:_________________________________________________________________________

3.解一元一次方程一般需经过哪些步骤呢?结合例题回顾

解一元一次方程解方程:

的步骤

①去分母解：方程两边同乘10,得.

②去括号去括号，得.

③移项移项，得.

④合并同类项合并同类项，得.

⑤系数化为1系数化为1,得.

二、新知预习

小红家到学校的路程为18kin小红从家去学校总是先乘坐公共汽车，下车后再步行1

km,才能到学校，路途所用时间是1h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小

红步行的速度.

(1)上述问题中有哪些等量关系？

答：①±=小红上学路上的时间;

②公共汽车的速度=：

(2)如果设小红步行的速度为xkm/h,那么公共汽车的速度为

km/h.根据等量关系①，可以得到方程：；

(3)如果设小红步行的时间为xh.那么她乘坐公共汽车的时间为h,

根据等量关系②，可以得到方程：；

(4)在(2)(3)中得到的方程与我们学过的一元一次方程有什么不卮？这

两个方程有哪些共同特点？

答：_______________________________________________________________________________

【要点归纳】像这样，方程中含有，并且分母中含有的方程叫做

分式方程，

合作探究

一、探究过程

探究点1：分式方程的概念

问题：方程x+(x+l)二是不是分式方程？

【典例精析】

例1在方程①二8+;②二x;③二;④x-二0中，是分式方程的有()

A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④

【要点归纳】确定是不是分式方程，主要是看是否符合分式方程的概念，方程中含有分式,

并且分母中含有未知数，像这样的方程才属于分式方程

彖爨副&薪阖解霆

讨论：怎样解方程？

例2试着解下列分式方程：

(1):

解：方程两边同乘，得去分母(乘最简公分母)

解这个整式方程，得.解整式方程

经检验.验根(原分式方程是否有意义)

(2)

解：方程两边同乘，得去分母(乘最简公分母)

解这个整式方程，得.解整式方程

经检验.验根(原分式方程是否有意义)

【知识要点】1.解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，约去分母，

把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母

2.当解得的根使得分母的值为0时，我们把这样的根叫做分式方程的增根.此时，分式

方程________

【针对训练】1.解方程：(1)；(2).

【方法总结】解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解

注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入

最简公分母检验.

探究点3:分式方程的增根

例3若关于x的方程

有增根，则增根可能为()

A.OB.2C.0或2D.1

【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根就应想到分式方程的最简

公分母为0；注意应舍去K合题意的解.

【针对训练】2.若关于x的分式方程

=1

有增根，则m的值为0

A.-3B.-2C.-lD.3

例4若关于x的分式方程

十

二无解，求m的值.

【归纳总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的.分式方程有增根

仅包括分式方程化为整式方程后，整式方程有解但使最简公分母为0的情况；分式方程无

解不但包括分式方程有增根，而且包括整式方程无解的情况.

二、课堂小结

内容易错提醒

分式方程方程中含有，并且分母中含有的方程叫做(1)用分式方程中的最简公

的概念分式方程.分母同乘方程两边，注意

不要漏交没有分母的项，

得出解后，要注意检验；

⑵分式方程无解的两种情

况：0粉式方程靶“去

分母”化成整式方程后，整

式方程是类似“0x=l”的形

式，即整式方程无解；②

整式方程求得的根使得原

分式方程的最简公分母等

于0.

⑴去分母：在方程的两边同乘，化成整式方程;

⑵解这个整式方程；

分式方程

的解法⑶检验：把解得的根代入----------------，如果最简公分母

的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解

不是原分式方程的解(使最简公分母为零的解是原方程的增根).

分式方程解得的根使得分母的值为0,我们把这样的根叫做分式方程的

的增根增根，则原分式方程_______.

当堂检测

1.关于X的方程中，是分式方程的是0

A=B.

C.+1-

D=I

2.解分式方程二1时，去分母后可得到()

A.x(2+x)

2(3+x)=1B.x(2+x)

2=2+x

C.x(2+x)

2(3+x)=(2+x)(3+x)D.X

2(3+x)=3+x

3.分式方程二0的根是0

A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2

4.解方程：

(D;(2).

参考答案

自主学习

一、期只畸

1.(1)(x+l)(x-l)(2)a2-4

2.只含一个未知数；未知数的最高次数是1；等号的两边都是整式.

3.2x-5(3-2x)=1Ox2x-15+10x=1Ox2x+1Ox-10x=152x=15x=7.5

二、新知T页习

⑴乘坐公共汽车的时间步行的时间小红步行速度的9

(2)9x

⑶(1-x)

(4)与一元一次方程不同的是，这两个方程中都含有分式；

这两个方程的共同特点：都含有分式，并且分母中含有未知数.

【要点归纳】分式未知数

合作探究

一、探究过程

探究点1：分式方程的概念

解：不是，因为方程中没有分式.

【典例精析】

例1C

例2(1)x(1-x)36x=18(I-x)x=x=是分式方程的解

(2)x-lx+l=-(x-3)+(x-l)x=lx=l不是分式方程的解，故分式方程无解

【知识要点】2.无解

【针对训练】1.解：(1)方程两边同乘(xT)(x-2),得2(x-2)=x-l.

解得x=3.经检验，x=3是分式方程的解.

(2)方程两边同乘同-2,得4-(6x-2)=3.

解得x=.经检验，x二是分立方程的解.

探究点3:分式方程的增根

例3A

【针对训练】2.B

例4解：将原分式方程化为整式方程，整理得(m-l)x=TO.・••原分式方程无解，.,.当m-

1=0,即m=l时，整式方程无解；或最简公分母x2-4=0,BPx=±2,代入整式方程得m=-4

或6..:m=1或-4或6.

二、课堂磔

分式未知数最简公分母最简公分母无解

当堂检测

1.D2.C3.D

4.解：(1)化为整式方程,得x+l+2x(xT)=2(x-l)(x+l),

解这个整式方程，得x=3,

经检验，x=3是分式方程的解，

故x=3.

⑵化为整式方程，得(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2,

解这个整式方程，得x二,

经检验，X=-是分式方程的解，

故X=-.

第2课时分式方程的应用

学习目标：

1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.

2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.(重、难点)

自主学习

一、知识链接

1.解方程：

2•列方程解应用题的一般步骤是什么？

(1)；(2);(3)解所列方程；

(4)检验所列方程的解是否符合题意；(5)写出完整的答案.

3.列方程解应用题的关键是什么？

二、新知预习

完成下面解题过程：

小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每

分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？

(1)请找出上述问题中的等量关系；

答：_______________________________________________________________________________

(2)试列出方程，并求方程的解.

解：设小红每分钟录入x字，则小丽每分钟录入字.

根据题意，得___________________________

解这个方程得_______________________

经检验，_______________________________

答:________________________________________________________________________

【要点归纳】根据题中的解答步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：

第一步，审清题意；

第二步，根据题意设未知数；

第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；

第四步，解方程，并验根，还要看方程的解;

第五步，作答.

合作探究

-、探究过程

探究点：分式方程的应用

【典例精析】

例1朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队他们同时出发，当面包

车行驶了200km时，发现小轿车只行驶了180km,若面包车的行驶速度比小轿车快10

km/h,请问面包车、小轿车的速度分别为多少？

分析：设小轿车的速度为xkm/h.填写下列表格，并完成解答

路程（km）速度(km/h)时间（h）

面包车

小轿车

相等关系

【方法总结】将两个“主人公”行程问题中的三个量用代数式表示出来；行程问题中的等量

关系通常抓住“时,司线”来建立方程

对训练老师家利少拗嫁家尚等煮师家学校顺次乍回期条路每外出明赛到爵毒酒家的路程

樱的莓契比率时步行上班多角乎m卡筒主老师的爹行速度及骑目存军的速度客是

例2两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这

时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？（每

个月按30天计算）

分析：设乙单独完成这项工程需要x天.填写下列表格，并完成解答

工作时间（天）工作效率工作总量⑴

甲队

乙队

【方法总结】可概括为“321”：3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作

时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队；1指该问题中的一个等量关

系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和二全部工作总量.

【针对训练】2.抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完

成，而乙队由于人少，若单独做则超期3个小时才能完成.现甲、乙两队合作2个小时后,

甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成全部工程

各需多少小时？

二、课堂小结

解题步骤解题策略

分式方程（1）审清题意；常见实际问题中的等量关系，如行程问

的应用（2）设出；题：速度二路程/时间；工作量问题：工

（3）找出，列出分式方程；作效率=工作量/工作时间等.

（4）解这个分式方程,看方程的

解是否满足方程和符合题意；

（5）写出实际问题的答案.

当堂检测

1.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15

千米，设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是0

A.B.C,D.

2.某工厂生产一批零件，计划在20天内完成,若每天多生产4个，则15天完成且还多生

产10个.设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）

A.B.C.D.

3.小明计划用360元从大型科普系列丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分

图书.“六•一”期间，书店推出优惠政策，该系列丛书8折销售.这样，小明比原计划多买了

6本，求每本书的原价，设每本书的原价为x元，可列分式方程为

4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回

校后，王老师和李老师编写了一道题，信息如下：

同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?

5.某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队

单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先

做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成求甲、乙两队单独完成这项工程

各需要多少天？

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.解：方程两边同乘2x-2,得4x=2x+l.解得x二.经检验，x二是原方程的解.

2.(1)找等量关系(2)根据等量关系列方程

3.解：列方程解应用题的关键是找出等量关系.

二、新知预习

(1)小红将9000字的文稿录入计算机所用的时间二小丽将7500字的文稿录入计算机所用

的时间

(2)(220-x)x=120x=120是原方程的解

小红每分钟录入120字，小丽每分钟录入100字

【要点归纳】是否符合题意

合作探究

一、探究过程

探究点：

【典例精析】

例1解：填表如下：

路程(km)速度（km/h时间(h)

面包车200x+10

小轿车180X

相等关系面包车行驶200km的时间;小轿车行驶

80km的时间

设小轿车的速度为Xkm/h,则面包车的速度为(x+10)km/h.依题意，得二.解得

x=90.经检验，x=90是分式方程的解，且符合题意.则x+10=100.

答：小轿车的速度为90km/h,面包车的速度为100km/h.

【针对训练】

1.解：分析：题目中的等量关系：

王老师骑车速度WE老师步行速度X3;

王老师从家出发骑车接小明上学所用的时间二平时步行上班所用时间+20分钟

设王老师步行速度为xkm/h,则骑自行车的速度为3xkm/h.

依题意，得二+.解得x=5.

经检验，x=5是原方程的根，且符合题意则3x=15.

答：王老师步行速度为54m/h,骑自行车的速度为15km/h.

【针对训练】

2.解：设甲队单独完成全部工程需x小时，则乙队单独完成全部工程需(x+3)小时.

依题意，得.解得x=6.

经检验，x=6是原方程的根，且符合题意.则x+3=9.

答：甲、乙两队单独完成全部工程分别需6小时、9小时.

二、课堂小结

未知数等量关系检验

当堂检测

l.C2.A3.

4解:设排球的单价为x元,则篮球的单价为(x+60)元.根据题意，得二.解得x=100.

经检验，x=100是原方程的根，且符合题意.当x=100时，x+60=160.

答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元.

5.解：设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天

根据题意，得+16(+):1.解得x=30.

经检验，x=30是原方程的根，且符合题意.则2X=2X30=60.

答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要30天、60天.

16.4零指数鬲与负整数指数累

1,零指数幕与负整数指数鬲

学习目标：

1.理解a0的意义，并掌握a0=l(a#)).

2.理解(n是正整数)的意义，并掌握=(a#),n是正整数).(难点)

3.理解并掌握黑的运算律对于整数指数都成立，并会正确运用.(重点)

自主学习

-、知识链接

1.计算:(1)23X24=;(2)(a2)3=;(3)(-2a)2=;

(4)(-2)8+(-2尸=；(5)ICP+io三；(6)=

2.IF整数指数幕的运算性质有哪些？

(l)a”a'=(m、n都是正整数)；⑵(am)”=(m、n都是正整数)；

(3)(ab),=(n是正整数);即a"+a7=(aW0,m,n是正整数，m>n);

⑸=(b/),n是正整数).

二、新知预习

1,零次鬲的意义：a°=l(a，即任何不等于零的数的零次鬲都等于

2.负整数指数鬲的意义：当n是正整数时，=(a#0)

3.整数指数幕的运算性质：

⑴a"・a'=(a#0,m、n都是整数);(2)(1)af=(aW0,m、n都是整数)

(3)(aM)"=(a#0,m.n都是整数);(4)(ab)'=(a#0,b#0,n是整数).

合作探究

一、探究过程

探究点1：零次幕

例1计算：(-2)3+(。-3)0.

【针对训练】1.计算：(-2020)0=()

A.lB.OC.2020D.-2020

2.若(a

2)0=1,则a的取值范围是()

A.a>2B.a=2C.a<2D.a#2

【方法总结】任意非0数的零次鬲为1,底数不能为0.

探究点2:负整数指数累

例2计算：()-2X3-'+(Jt-2019)°4-()-l.

【针对训练】3.若a=(

)加(

D-1,c=(

)0,则a、b、c的大小关系是()

A.a>b=cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

【方法总结】关键是理解负整数指数幕及零次幕的意义，依次计算出结果.当底数是分数

时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

探究点3:整数指数幕的运算性质

例3计算：⑴欠丫

2)2;⑵x2y

2.(x

2y汽

(3)(3x2y

2y)3;(4)(3xl0

。土(3乂10

6)2.

分析：正整数指数幕的运算性质推广到整数范围后，计算的最后结果常化为正整数指数幕

计算结果有负指数幕时，要写成分式形式.

二、课堂小结

要点归纳

零次黑的意义a°=l(a，即任何不等于零的数的零次幕都等于

负整数指数幕当n是正整数时，=(aHO),即(ar0)是的倒数

的意义

(1)am-a'=;(2)(am)A=;(3)(ab)2=;(4)a"-ra7=；(5)=;(6)

当整数指数器的

运算性质aM时，a°=

(以上n,n均为整数，且a,bWO)

当堂检测

1.计算22的结果是()

A.2B.-2C.-4D.

2.下列说法正确的是0

A.(TT

3.14)°没有意义B.任何数的。次幕都等于1

C(8x106)*2x109)=4x103D若(x+4)0=l,贝IJxN

4

3.隘：(-3)2-(一3)2二;1(y二好♦a3二置小a也.

4.计算：(1)0.14-0.13;(2)(-5)2018-?(-5)2020;

(3)10°x10-1-r102；(4)X2-X3-rX2.

5.计算：(l)(2xl0

6)X(3.2X109);

(2)(

a2b-3)3-r(

ab2)3.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.(1)27(2)a6(3)4a2(4)-8(5)1(6)

2.(1)am+"(2)am(3)a”b"(4)ain-”(5)

二、新知预习

1.W012.

3.(l)am+,(2)am-n(3)ain(4)a'*b*'

合作探究

一、探究过程

探究点1：零次塞

例1解：原式二-7.

【针对训练】1.A