模板05 一元二次方程专项练习（解析版）

模板5一元二次方程专项练习选择题1．（2021·安徽合肥38中）如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】D【详解】解：如图，当在的两侧时，设则矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，四边形四边形都是矩形，由勾股定理得：整理得：如图，当在的右侧时，设同理可得：解得：不合题意舍去，如图，当都在的左侧时，设同理可得：解得：不合题意舍去，综上：满足条件的点只有个，故选：2．（2021·全国九年级竞赛）若，，，，为互不相等的正奇数，满足，则的末位数字是（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【详解】解：∵，，，，为互不相等的正奇数∴，，，，为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：∴，，，，分别等于2、、4、6、∴，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴的末位数字是1．故选A．3．（2021·重庆市求精中学校九年级开学考试）如图，在中，，为上一点，连接，将沿翻折，点恰好落在上的点处，连．若，，则的长度为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，记交于过作于过作于中上的高相等，，，，由对折可得：是的中垂线，，设则整理得：检验：当时，不合题意舍去，取故选：4．（2021·江苏九年级一模）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵是的两个不相等的零点即是的两个不相等的实数根∴∵解得∵方程有两个不相等的非零实数根∴∵解得∴＞0∴∵，∴∴∴而由题意知解得当时，，；当时，，；当m=-2时，无意义；当时，，∴取值范围不确定，故选A．5．（2021·辽宁阜新市教育服务中心中考真题）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，依题意得：．故选：A．6．（2021·河南周口·）为实数，，那么的值为（）A．1 B．或1 C． D．4或【答案】A【详解】解：设，则方程可变形为：解得，经检验：都是的根，即或者当时，即所以所以：．故选A．7．（2021·河南洛阳·九年级二模）对于一元二次方程来说，当时，方程有两个相等的实数根，若将的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根【答案】C【详解】解：由题意可知：△＝25﹣4c，当c时，∴25﹣4c＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：C．8．（2021·日照港中学九年级二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0【答案】D【详解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，解得：a＞﹣1且a≠0，故选：D．填空题9．（2021·江苏南京·中考真题）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．【答案】2【详解】解：由根与系数的关系可得：，，∵，∴，∴，∴，∴;故答案为：2．10．（2021·江苏连云港·中考真题）已知方程有两个相等的实数根，则=____．【答案】【详解】试题分析：∵有两个相等的实数根，∴△=0，∴9-4k=0，∴k=．故答案为．11．（2021·浙江丽水·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________．【答案】或17【详解】解：已知，实数，同时满足①，②，①-②得，∴∴或①+②得，（1）当时，将代入得，解得，，∴，把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；∴当时，a的值是1或-2故答案为：1或-2；（2）当时，则，即∵∴∴∴∴故答案为：7．12．（2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则________（填“＜”或“＞”或“＝”）．【答案】＞【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴点、是反比例函数上的两个点，又∵，∴，故填：>．解答题13．（2021·四川中考真题）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1【详解】解：（1）∵△==

∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）∵∴∴=0∴，或，当，时，∵k与都为整数，∴k=0或-2当，时，∴，∵k与都为整数，∴k=1或-1∴k所有可能的值为0或-2或1或-114．（2021·湖北中考真题）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？【答案】（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则，，漫灌用水：，喷灌用水：，滴灌用水：，答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．（2）由题意得，，解得（舍去），，所以．（3）节省水费：元，维修投入：元，新增设备：元，，答：节省水费大于两项投入之和．15．（2021·北京中考真题）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．【答案】（1）见详解；（2）【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，∴，解得：，∵，∴．16．（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；③请直接写出当结论成立时k的取值范围：．【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③【详解】（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在；（2）①存在；∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；③；设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，联立得，，故．17．（2021·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中x满足．【答案】x（x+1）；6【详解】解：∵∴x=2或x=-1∴====x（x+1）∵x=-1分式无意义，∴x=2当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．18．（2021·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程有，两实数根．（1）若，求及的值；（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）存在，【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，∴m<5，将x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1•x2=2m−1=5，∴x2=5，m=3；（2）设存在实数m，满足，那么有，即，整理得：，解得或．由（1）可知，∴舍去，从而，综上所述：存在符合题意．19．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．（1）当时，完成以下两个问题：①请补全下面的表格：A型B型车床数量/台________每台车床获利/万元10________②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元【详解】解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元所以每台获利，也就是（）万元①补全表格如下面：A型B型车床数量/台每台车床获利/万元10②此时，由A型获得的利润是10（）万元，由B型可获得利润为万元，根据题意：，，，∵0≤≤14，∴，即应产销B型车床10台；（2）当0≤≤4时，当0≤≤4A型B型车床数量/台每台车床获利/万元1017利润此时，W＝＋＝，该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）；当4＜≤14时，当4＜≤14A型B型车床数量/台每台车床获利/万元10利润则W＝＋＝＝，当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），∵W最大2＞W最大1，∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．20．（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出