初中数学竞赛专题选讲+初中数学竞赛试题及答案

初中数学竞赛专题选讲十初中数学竞赛试题及答案

初中数学竞赛专题选讲

一元二次方程的根

一、内容提要

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(aK0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的.根公式是:

-b±^b~-4ac

(b2-4ac^0)

2a

2.根的判别式

①实系数方程ax2+bx+c=0(aW0)有实数根的充分必要条件是:

b2—4ac^0.

②有理系数方程ax2+bx+c=O(aW0)有有理数根的判定是:

b^-4ac是完全半方式Q方程有有理数根.

2

③整系数方程x+px+q=O有两个整数根=p2-4q是整数的平方数.

3.设Xi,X2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么

2222

①axi+bxi+c=O(aNO,b—4ac>0),ax2+bx2+c=O(aWO,b—4ac^0)；

—b-\~ylb2-4ac-b-yjb2-4ac,r、

X2=----------------(aWO,b2—4ac>0)；

2a

hr

③韦达定理：Xi+X2=——,xiX2=—(aHO,b2—4ac^0).

aa

4,方程整数根的其他条件

2

整系数方程ax+bx4-c=O(a#0)有一个整数根Xi的必要条件是：刈是c的因数.

特殊的例子有：

C=0<=>xi=0,a+b+c=O<z>xi=l,a-b+c=OOXi=­1.

二、例题

例1.已知：a,b,c是实数，且a=b+c+L

求证：两个方程x2+x+b=O与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.

证明(用反证法)

设两个方程都没有两个不相等的实数根，

那么△1W0和△zWO.

1-4/?<0①

即</_4。工0②

Q=Z?+C+1③

由①得bb+1力工代入③，得

44

a-c=b+l^—,4cW4a—5④

4

②+④：a2-4a+5^0,

即(a-2)2+1WO,这是不能成立的.

既然AiWO和△zWO不能成立的，那么必有一个是大于0.

・•・方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.

本题也可用直接证法：当△i+Z\2>0时，则和中至少有一个是正数.

例2.已知首项系数不相等的两个方程：

(a-1)X?—(a?+2)x+(a2+2a)=0和(b~l)x2—(b2+2)x+(b2+2b)=0(Maa,b为正整数)

有一个公共根.求a,b的值.

解：用因式分解法求得：

方程①的两个根是a和0土2；方程②两根是b和—.

67-10-\

由已知a>l,b>l且aWb.

:.公共根是a="2或b="2.

b-\a-1

两个等式去分母后的结果是一样的.

即ab~a=b+2zab—a—b+l=3,(a—l)(b—1)=3.

a—1=1,、a~\=3

Va,b都是正整数,；或〈

b-\=3b-\=\

a=2a=4

解机或,

b=4b=2

又解：设公共根为Xo那么

(a-\)x"-(a2+2)x+(a2+2a)=0①出、泻土一如后

()、先消去一次项：

222

(Z7-l)x0-0+2)x+(b+2b)=0②

①义(b-1)—②X(a-1)得

[一(a2+2)(b—l)+(b2+2)(a-1)]Xo+(a2+2a)(b-1)—(b2+2b)(a—1)=0.

整理得(a—b)(ab—a—b—2)(xo—1)=0.

•・％Wb

Ax0=l;或(ab—a—b—2)=0.

当x0=l时，由方程①得a=l,

.*.a—1=0,

・••方程①不是二次方程.

・・・xo不是公共根.

当(ab—a—b—2)=0时,得(a—l)(b—l)=3.......解法同上.

例3.己知：m,n是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.

求：m+n的值.

解：方程①两根差是

222

禺一々|={5-x2)=个(々+x2)-4x^2=4m-4n

同理方程②两根差是

E-y2|=J1-4/z?

依题意，得dm2-4〃=J/?一.

两边平方得：m2—4n=n2—4m.

(m—n)(m+n+4)=0

,/mWn,

m+n+4=0,m+n=-4.

例4.若a,b,c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(aW0)没有有理数根.

ni

证明：设方程有一个有理数根匕(m,n是互质的整数).

n

那么a(—)2+b(—)+c=0,即an2+bmn+cm2=0.

nn

把m,n按奇数、偶数分类讨论，

•・・m,n互质，，不可能同为偶数.

①当m,n同为奇数时，则aM+bmn+cm?是奇数+奇数+奇数=奇数¥0：

②当m为奇数，n为偶数时，ad+bmn+cm?是偶数+偶数+奇数=奇数X0；

③当m为偶数，n为奇数时，aM+bmn+cm?是奇数+偶数+偶数=奇数W0.

综上所述

不论m,n取什么整数，方程a('产+b(竺)+c=0都不成立.

nn

即假设方程有一个有理数根是不成立的.

・••当a,b,c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(aW0)没有有理数根.

例5.求证：对于任意一个矩形A,总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(kel).

证明：设矩形A的长为a,宽为b,矩形B的长为c,宽为d.

根据题意，得£1&="=攵.

a+bab

.*.c+d=(a+b)k,cd=abk.

由韦达定理的逆定理，得

c,d是方程z?—(a+b)kz+abk=O的两个根.

△=[―(a+b)k]2—4abk

=(a2+2ab+b2)k2—4abk

=k[(a2+2ab+b2)k—4ab]

22

Vk^l,a+b>2abz

/.a2+2ab+b2>4ab,(a2+2ab+b2)k^4ab.

，一定有c,d值满足题设的条件.

即总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k21).

例6.k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？

①(k2-l)x2-6(3k-l)x+72=0；(2)kx2+(kz-2)x-(k+2)=0.

解：①用因式分解法求得两个根是：x1=—,x2=—.

k+1k~\

由Xi是整数，得k+l=±l,±2,±3,±4,±6,±12.

庄X2是整数，得k-l=±l,±2,±3,±6.

它们的公共解是：得k=0,2,-2,3,-5.

答：当k=0,2,—2,3,—5时，方程①有两个整数解.

②根据韦达定理

k2-2,2

'+”-丁—+%

k+2,2

12kk

•・・X],X2,k都是整数，

・・.k=±l,±2.(这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.)

把2,-2,分别代入原方程检验，只有当k=2和k=-2时适合.

答：当k取2和一2时，方程②有两个整数解.

三、练习

1.写出下列方程的整数解：

①5x2—6x=0的一个整数根是_x=0.

②3x2+(V2-3)x一行=0的一个整数根是_x=l

③x2+(V5+l)x+V5=0的一个整数根是x=-l_.

2.方程(1-m)x2—x-l=0有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是—职—.

3.已知方程x2-(2m-l)x-4m+2=0的两个实数根的平方和等于5,则m=_l.

4.若xWy,且满足等式x?+2x—5=0和y?+2y—5=0.

那么_L+_L=1_.(提示：x,y是方程z2+5z—5=0的两个根.)

5.如果方程x2+px+q=0的一个实数艰是另一个实数根的2倍，那么p,q应满足的关系是：9q=2p2

6.若方程ax2+bx+c=0中a>0,b>0,c<0.那么两实数根的符号必是——正一负.

7.如果方程mx2—2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么方程(m—5)x?-2mx+m=0实数根的个数是(A).

(A)2(B)1(C)0(D)不能确定

8.当z,b为何值时，方程x2+2(l+a：x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？a=lb=-l/2

9.两个方程x2+kx—l=0和x2—x—k=0有一个相同的实数根，则这个根是(C)

(A)2(B)-2(C)1<：D)-1

10.已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,b应满足的关系是：

a不等于b.

11.已知：方程x2+bx+l=0与x2—x—b=0有一个公共根为m,求：m,b的值.

M=-lb=2

12.已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1,就是方程X?—a?x+ab=0的两个实数根.试求a,b的值或取值范

围.

13.己知：方程ax2+bx+c=0(a#0)的诙根和等于si，两根的平方和等「S2,两根的立方和等于S3.求证：as3+bs2+csi=0.

14.求证：方程x2—2(m+l)x+2(m—l)=0的两个实数根，不能同时为负.(可用反证法)

15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,d是方程x2+nx+q=0

的两个实数根.求证：(a—c)(b—c)(a—d)(b—d)=(p—q)2.

16.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5,两实数根的积是2,那么这个方程是：

17.如果方程(x—l)(x2—2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是()

33q

(A)OWmWl(B)m2—(C)-<m^l(D)二WmWl

444

18.方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是整数)的两个实数根为a,B且OVaVl,

1cBV2,那么k的取值范围是()

(A)3<k<4(B)-2<k<-l|C)3<k<4或(D)无解

参考答案

2

1.①0,②1,③一12.C3.1(舍去一2)4.-

5

5.9q=2p26.一正一负7.D8.a=l,b=-0.59.C

a=-2,

10.a+b+l=O,a^b11.m=-1,b=212JI1

b<—：b=-1.

4

13.左边=a(X/+X23)+b(Xi2+X22)+C(Xi+X2)=

14.用反证法，设X]<0,X2<0,由韦达定理推出矛盾(m<—1,m>l)

15.由韦达定理，把左边化为p,q

16.x2±3x+2=O17.C18.C

1997年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1.下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

（3）a2的平方根是±Ia

⑷大r直角的角一定是钝角

其中错误的命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.已知，则满足上述条件的整数x的个数是（

A.4.B.5C.6D.7

3.若实数a,b,c满足1十苗十/二9,代数式（a—b）2+（b-c）2+（c-a）」的最大值是（）

A.27B.18C.15I）.12

4.给定平面上n个点，己知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离，那么点数n的最小可能值是（）

A.4.B.5.C.6D.7

5.在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=30°,NC=60°,E,M,F,N分别是AB,BC,CD,DA的中点，已如BC=7,MN

=3,则EF之值为（）

IA/

A.4B.4-C.51）.6.-

6.如图:已知NA=NB,AA„PP„BBI均垂直于A3,

AA尸17,PP,=16,BB尸20,A,Bi=12,则AP+PB等于（）3——p]--------B1

A.12B.13C.14D.15

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3,5,则这个等边三角形的面积是

2.当a取遍0到5的所有实数值时，满足3b=a（3a—8）的整数b的个数是.

3.若a,b满足+5网=7,,则s=—3网的取值范围是.

4.若正整数x,y满足方程（+丫2=1997,则x+y等于____.

第二试

一、（本题满分20分）

设P为等腰直角三角形ACB斜边AB二任意一点，PE垂直AC于点E,叩垂直BC于点F,PG垂直EF于点G,延长GP并

在其延长线上取一点D,使得PD=PC.

试证：BC1BD,且BC=BD.

二、(本题满分25分)

已知a,b为整数，且a>b,方程3x2+3(a+b)x+4ab=()的两个根a,B满足关系式a(a+1)+8(B+

1)=(a+1)(B+l),试求所有的整数点对(a,b).

三、(本题满分25分)

已知定理：“若三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n的倍数”.试问：上述

定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论.

1997年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.C.2.C

4.D.5.A

二、填空题

第二试

证：VZEPG=ZEFP=ZCPF,

・•・ZDPB=ZAPG=45°+NEPG=ZBPF+ZCPF=ZBPC.

又・.・PD=PC,PB公用，

/.△PDB^APCB.

又・・・NPBD=NCBP=45°，

AZCBD=90°,

.\BC±BD.

、

解：据题意，可得

a+B=-(a+b),a♦B=£b①

由关系式a(a+1)4-P(3+1)=(a4-1)(B+l)得(a+B)2—3aB=l②

把①代入②，得(a+b)2-4ab=l③

即(a-b)2=I

又。北〉，/.a--b=1④

又由判别式△》()得

3(a+b)2216ab⑤

将①代入⑤得

(a+b)2^4⑥

由④、③可知，满足条件的整数点对(a,b)只能是(1,0),(0,-1)

解：n的最大可能值是9

先证：3整除a+b+c

•・・a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)

.*.3Ia+b+c

设a、b被3除余数分别为ra、rb,则因a、b是大于3的质数，故raKO,rbHO

若raWrb,则ra=l、rb=2或ra=2,rb=l,这时，2a+5b必是3的倍数，即c是合数了，矛盾

故ra=rb即ra=rb=l或ra=rb=2,此时，a+2b是3的倍数，从而9Ia+b+c

再证9是最大的

•••2X11+5X5=47中，11+5+47=63,

又2X13+5X7=61中,134-74-61=81,

而(63,81)=9,故9是最大可能的值.

初中数学竞赛专题培训第十三讲梯形

与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来

研究它们的有关性质的应用.

例1如图2・43所示.在H角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF〃EC交3c延

长线于F.求证：四边形EBFD是等腰梯形.

分析因为E,D是三角形ABC边AB,AC的中点,所以ED〃BF.此外,还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平

行于DF.

证因为E,D是△ABC的边AB,AC的中点,所以

ED/7BF.

又已知DF〃EC,所以ECm是平行四边形，所以

EC=DF.①

乂E是RlAABC斜边AB上的中点，所以

EC=EB.②

由①，②

EB=DF.

下面证明EB与DF不平行.

若EB〃DF,由于EC〃DF,所以有EC〃EB,这与EC与EB交于E矛箔，所以EB液DF.

根据定义，RBFD是等腰梯形.

例2如图2-44所示.ABCD是梯形，AD〃BC,ADVBC,AB=ACH.AB_LAC,BD=BC,AC,BD交于0.求

/BCD的度数.

FI

图2—44

分析由于410是等腰三角形，若能确定顶点/CBD的度数，则底角/BCD可求.由等腰RtAABCnJ

求知斜边BC（即BD）的K.乂相形的高，即RtZXABC斜边上的中线也可求出.通过添辅助线可构造直角三角

形，求出NBCD的度数.

解过D作DEJ_EC于E,则DE的长度即为等腰RtZXABC斜边上的高AF.设AB=a,由于AABF也是等腰

宜角三角形，由勾股定理知

AF2+BF2=AB2,

即

,2

2AF2=a2（AT=BF）,AF3=—,

所以

又

BC2=AB2+AC2=2AB::=2a2,

由于BC=DB,所以，在RtaBED中,

a2

DE2_DE2_J1

DB7"BC7"2?"4,

所以评;

从而/EBD=30°（直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理）.在aCBD中,

ZBCD=r(1800-ZEBD)=7'.

例3如图2/5所示.直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90",ZADC=135°,CD的垂直平分线交BC于

N,交AB延长线于F,垂足为M.求证：AD=BF.

分析MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC.由AD〃BC及NADC=135°知，NC=45°,从而NNDC=45°,

ZDNC=90°,所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF.

证连接DN.因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC.由已知，AD〃BC及NADC=135°

知

ZC=45",

从而

ZNDC=45°.

在△NDC中，

ZDNC=90a(=ZDNB),

所以AB'D是矩形，所以

AF〃ND,NF=NDNM=45°.

△BNF是一个含有锐角45°的面角三角形，所以BN=BF.又

AD=BN,

所以AD=BF.

例4如图2-46所示.直角梯形ABCD中，NC=90°,AD〃BC,AD+BC=AB,E是CD的中点.若AD=2,BC=8,

求AABE的面积.

分析由于AB=AD+BC,即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质

在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论).取腰AB的中点F,

连接EF.由梯形中位线性质知；EF=1(AD+EC)=5,且EF“AD

2(或BC).过A

引AG_LBC于G交EF于H,则AH,GH分别是△AEF与△BEF的宸，所以

AG2=AB<BG2=(8+2)2-(8-2尸=100-36=64,

所以AG=8.这样S&AW(=Si,WF+SzSM：r)可求.

解取AB中点F,连接EF.由梯形中位线性质知

EF〃AD(或BC),

EF=1(AD+BC)=〈(2+8)=5.

乙乙

过A作AG_LBC于G,交A于H.由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH,GH均垂直于EF.在RlZXABG

中，由勾股定理知

AG^AB--BG2

=(AD+BC)2-(BC-AD)2

=10<62=8\

所以AG=8,

从而AH=GH=4,

所以

SGAMSAAEF+SGWF

=《EF・AH+：EF・GH

22

=(EF・(AH+GH)

=：EF・AG=gx5X8=20.

例5如图2-47所示.四边形ABCF中，AB〃DF,NI=N2,AC=DF,FCVAD.

(1)求证：ADCF是等腰梯形：

(2)若△ADC的周长为16里米(cm),AF=3厘米，AC・FC=3厘米，求四边形ADCF的周长.

分析欲证ADCF是等腰梯形.归结为证明AD〃CF,AF=DC,不要忘了还需证明AF不平行丁DC.利用已

知相等的要素，应从全等三角形下手.计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能

将△ADC的周长过渡到梯形的周长.

解（1）因为AB〃DF,所以N1=N3.结合已知N1=N2,所以/2=/3,所以

EA=ED.

又AODF,

所以EC=EF.

所以△EAD及AECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知/3=/4,从而AD〃CF.不

难证明

△ACD^ADFA(SAS),

所以AF=DC.

若AF〃DC,则ADCF是平疔四边形，则AD=CF与FCVAD矛盾，所以AF不平行于DC.

综上所述，ADCF是等腰梯形.

（2）四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF.①

由于

△ADC的周K=AD+DC+AC=：6（厘米），②

AF=3（厘米），③

FC=AC-3,④

将②，③，④代人①

四边形ADCF的周K=AD+DC+（AC-3）+AF

=(AD+DC+AC)-3+3

=16（厘米）.

例6如图2-48所示.等腰梯形ABCD中，AB〃CD,对角线AC,BD所成的角NA0B=60°,P,Q,R分别

是OA,BC,0D的中点.求证：△PQR是等边三角形.

B

图2—48

分析首先从P，R分别是OA,0D中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半•，为此,

只需证明QR,QP等于腰长之半即可.注意到△OAB与aOCD均是等边三角形，P,R分别是它们边上的中点，

因此，BP1OA,CR1OD.在RtZ^BPC与Rt^CRB中,PQ,RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线,

因此，«=1^=腰次；之半.问题获解.

证因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相笔.进

而推知，/OAB=/OBA及/OCI>/ODC.又已知，AC与BD成60°角，所以，ZSODC与AOAB均为正三角形.连

接BP,CR,则BPJ_OA,CR±OD.在RtABPC与RtACRB中，PQ,RQ分别是它们的斜边BC上的中线,所以

PQ=RQ=1BC.①

又RP是△OAD的中位线，所以

RP=^AD.②

因为AD=BC,③

由①，②，③得

PQ=QR=RP,

即APOR是正三角形.

说明本题证明引人注目之处有二：

(1)充分利用特殊图形中将殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OR上的中点P,可带来BP_LOA的性

质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质.

(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀

22'从而使APQR的三边相等.

练习十三

1.如图2-49所示.梯形ABCD中，AD/7BC,AB=AD=DC,BDXCD.求NA的度数.

C

图2—49

2.如图2-50所示.梯形ABCD中，AD〃BC,AE〃DC交BC于E,△ABE的周长=13厘米，AD=4厘米.求

梯形的局长.

3.如图2・51所示.梯形ABCD中，AB〃CD,NA+NB=90°,AB=p,CD=q,E,F分别为AB,CD的中点.求

EF.

4.如图2-52所示.梯形ABCD中，AD〃BC,M是腰DC的中点,MN_LAB于N,且MN=b,AB=a.求梯形

ABCD的面积.

图2-52

5.已知：梯形ABCD中，DC〃AB,NA=36°,NB=54°,M,N分别是DC,AB的中点.求证:

(AB-CD).

2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和。分两档：第二试各题，

请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在

评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试（A）

一、选择顾：（本顾满分42分,每小颍7分）

1.设实数。,力/满足：a+/）+c=3,/+加+。2=4,则岂+任《+立《=（）

2-c2-a2-b

A.0B.3C.6D.9

【答】D.

Va+b+c=3,a2+/>2+c2=4,

工三

..3+*+3=K=(2+c)+(2+a)+(2+〃)

2—c2-a2-b2-c2-a2-b

=6+(a+6+c)=9.

2.若抛物线》=/+以+c与x轴只有•个公共点，且过点/(皿〃)，8(〃・8,〃)，则〃=()

A.8.B.12.C.16.D.24.

【答】C.

依题意，TTn=m2+bm+c=(//,-8)2+/>(/w-8)+c.于是可得b=8-2，〃.

•.•抛物线)，=/+版+。与x轴只有一个公共点，••"2-4C=0,♦•.。=1〃=(4一；„)2

4

因此n=m2+bnt+c—m2+(8-2m)m+(4—m)2=16.

3.矩形力88中，AD=5.AB=\O,E、尸分别为矩形外的两点，BE=DF=4,AF=CE=3,

则£/=()

A.4j\5.B.15.C.01T.D.10>/2.。.

［答］C./I-----\

易)知/AFD=/BEC=90°,△BEC0△DFA.：,Z.DAF=NBCE.______4

延长E4,£8交于点G.”、、、、/

'：/GAB=90°-Z.DAF=ZADF,Z.GBA=90°-Z.CBE=ZSCE=Z.DAF,、、/

:.ABGASAAFD,且4G8=90。，，力G=8,BG=6,

：.GF=\\,GE=10,/.EF=>JGE2+GF2=>/22\.

4.已知。为坐标原点，位于第一象限的点力在反比例函数j；=1(x>0)的图象匕位于第二象限的

x

4

点8在反比例函数y=一-(x<0)的图象上，且。1_LO8,则tan43O的值为()

x

2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共8页）

【答】A.

过点/、4分别作4c_Lx轴，•轴，喉足为C、0.由。4,08得408=90。，『是可

得△4OCS4O8。,所以tan450=岩

5.己知实数x,y满足关系式v-.Y-y=l,则戈2+_/的最小值为

A.3-26B.6-442.C.I.D.6+4万

【答】B.

设x+y=，,则由胭设条件可知孙=x+y+l=/+1,所以x,y是关f，〃的一元二次方程

/―〃〃+/+1=0的两个实数根，于是有：△=/一4（，+1）20,解得壮2+2力或Y2-20\

又因为丁+/=（丫+y）2-2*＞；=--2“+1）=（/-1）2-3,所以，当，=2-2应（即戈=»=1—①）

时，/+/取得最小值，最小值为（2-20'-1）2-3=6-40.

6.设〃是小于100的正整数且使5/+3〃-5是15的倍数，则符合条件的所有正整数〃的和是（）

A.285.B.35O.C.540.D.635.

【答】D.

•・・5〃2+3"-5是15的倍数，・・・5|（5〃2+3〃-5）,，5|3%，5|〃，设〃=5〃？（m是正整数3

则5n2+3n-5=\25m2+15勿—5=120m2+15m+5（〃J-1）.

•••5M+3〃-5是15的倍数，,〃P-1是3的倍数，，相=3A+1或，〃=34+2,其中A是非负整数.

.•.〃=5（3%+1）=154+5或〃=5（弘+2）=154+10.其中A是非负整数.

，符合条件的所有正至数〃的和是（5+20+35+50+65+30+95）+（10+25+40+55+70+55）

二、填空题।（本题满分28分，每小题7分）

【答】II.

力是一元二次方程V—x—1=0的两根，。力=-1,a+b=1.a2=a+\,b1=b+\,

3a+劭+W=3a3+4/>+2h:=3a(a+1)+4/>+2(h+1)=3a2+3a+6力+2

a'

=3(a+1)+纭+66+2=6(a+/>)+5=11.

2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）

2.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为_____.

恪】5

设三角形的三边长为〃也。(«>/>><-),则3a2a+〃+c=24,2a<a+(/>+c)=24,所以

8<a<12,故a的可能取值为8,9,10或II,满足题意的数组(a,b,c)可以为:

(8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6),

(10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(II,9,4),(11,8,5),(11.7,6),

共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，所以，所求慨率为1.

12

3.已知锐角△48C的外心为O,AO文BC于D,E、尸分别为△48。、△/1CN>的外心，若

AB>AC,EF=BC,则NC-N8=____________.

【答】60°.

作£W_L8C于点M,FN1BC干EN."_L£W于点尸.

•・•£、F分别为△460、△ACO的外心，.•.〃、N分别为83、CD的中

点.又EF=BC,；.PF=MN=LBC=LEF.；."EF=300.

22

又EFJ.4D.EMA.BC,工乙4DC=NPEF=30。.

又Z/1DC=N8+N8/IQ=N8+；(180°—2NC)=90°+N8-NC,

，NC-N8=90°-ZADC=60°.

4.将数字1,2,3,……,34,35,36填在6X6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从

左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为

【答】63.

设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为4,8,C,D,E,F.

因为力所在行前面需要填两个比力小的数字，所以力不小于3：因为8所在行前面需要填两个比8小

的数字，且力及力所在行前面两个数字都比6小，所以8不小于6.

同理可知：C不小于9,D不小于12,E不小于15,F不小于18.

因此，第三列所填6个数字之和/+8+C+O+E+/>3+6+9+12+15+18=63.

如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的•种填法(后三列的数字填法不唯­).

123192021

456252729

789222324

101112262830

131415313435

161718323336

第一试⑻

一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)

2•2>2222

1.设实数a,Ac满足：a+b+c=3,/+从+/=4,则占吆1+土工+匕==()

2-c2-a2-b

A.12.B.9.C.6.D.3.

【答】B.解答与(A)卷第1题相同.

2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页(共8页)

2.题目和解答与(A)卷第2题相同.

3.题目和解答与(A)卷第3题相同.

4.已知实数xj满足关系式./+母+/=3,则(工-/2的最大值为()

A.3.B.6,C,9.D.12.

【答】D.

设x-y=f,则*可+，代入题设等式得(y+l)2+(y+l)y+)J=3,整理得3/+3少+/-3=0.

由判别式A=(3/)2-12(/-3)20得一2JJWY26，故(x-y)2=/G2.

5.题目和解答与(A)卷第4题相同.

6.设〃是小于100的正整数且使2/-3〃-2是6的倍数，则符合条件的所有正整数〃的和是()

A.784.B.850.C.1536.D.1634.

【答】D.