2024-2025学年天津市滨海新区田家炳中学高一下学期5月期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市滨海新区田家炳中学高一下学期5月期中考试数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−5+10i3+4iA.1+2i B.1−2i C.−1+2i2.已知向量a=(1,2),b=(−2,x)，且a//b，则A.−4 B.4 C.−0.25 D.0.253.三角形ABC中，a=3,b=37,c=4,则A.30° B.60° C.150° D.120°4.在▵ABC中，a=2,b=A.60° B.120° C.60°或120° D.以上都不对5.如图，在平行四边形ABCD中，AC=a,DO=b，则A.12a+b B.−126.下列命题正确的是(

)A.如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直．

B.如果一个平面内的两条直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行；

C.在空间垂直于同一条直线的两条直线平行；

D.垂直于同一平面的两条直线平行．7.已知三棱锥的所有棱长都是1，则这个三棱锥的表面积是(

)A.2 B.4 C.3 D.8.已知向量a=1,2，b=−2,2，cA.−4 B.4 C.−0.25 D.0.259.棱长为23的正方体的外接球的表面积为(

)A.144π B.36π C.12π10.已知a,b,c表示不同的直线，α,β表示不同的平面，给出下面四个命题：(1)若α//β,a⊂α，则a//β(3)若a//β,b⊂β，则a//上面四个命题正确的有(

)A.(1)，(3) B.(2)，(4)

C.(1)，(2)，(4) D.(1)，(3)，(4)．11.a，b是非零向量，则b在a上的投影向量是(

)A.b⋅a∣a∣⋅a B.12.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为2a，则该石凳的体积为(

)

A.103a3 B.203a3二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。13.向量a=1,b=1,a⋅b=114.在三角形ABC中，若b=2，c=23，C=60∘，则角B的大小是15.三角形ABC中，A=60∘，a=13，c=4，16.已知复数z=1−i2+aia∈R17.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P−EFGH，下半部分是长方体ABCD−EFGH，正四棱锥P−EFGH的高为1，EF=2,AE=1，则该组合体的体积为

；

18.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为

．19.已知一个圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的表面积是

；20.在平行四边形ABCD中，点E是AB中点，AF=13AD，BG=1(1)用a，b表示向量，EG=

(2)若EF⊥EG，b:三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题12分)已知三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，b=7，(1)求角B的大小；(2)求sinA(3)求sin(2A+B)的值．22.(本小题12分)在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=6c，b=2(1)求c的值；(2)求sinB(3)求cos(2A−B)的值．23.(本小题13分)如图，在正方体A1B1C1(1)求异面直线A1C1(2)求证：D1B//(3)求CD和平面ACE所成角的正弦值．24.(本小题13分如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC(1)证明：BC⊥平面PAC(2)过A点作AD垂直PC于D，证明：AD⊥(3)若BC=1，AC=3，求点C到平面PAB的距离．参考答案1.A

2.A

3.D

4.C

5.B

6.D

7.C

8.B

9.B

10.C

11.C

12.B

13.0/014.30∘15.1或3

16.−2

17.16318.2:19.4π20.12a+13b

21.解：(1)由余弦定理cosB=又B∈0,π(2)由(1)知sinB=3则sinA=(3)由a<b，所以A<B，所以所以sin2A=2所以cos2A=2所以sin=4

22.解：(1)由余弦定理a2即6c2=4+c2−4c×(2)由(1)可得a=因为cosA=−14，则由正弦定理asinA=bsin(3)由(2)可得sin2A=2cos2A=2显然B∈0,π所以cos=−7

23.解：(1)连接AB1，在正方体A1B1C1所以AC//A1C1，所以∠又▵AB1C为等边三角形，所以∠ACB1(2)连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，因为在正方体ABCD−A1B1C1D又因为E为DD1的中点，所以又因为EO⊂平面ACE，D1B所以直线D1B//(3)设正方体的棱长为2，则VE−ACD又AC=22所以S▵设点D到平面ACE的距离为d，则VE−ACD=VD−AEC=设CD和平面ACE所成角为θ，则sinθ=所以CD和平面ACE所成角的正弦值为6

24.解：(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以又AC⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC(2)因为BC⊥平面PAC，AD⊂平面所以BC⊥AD，又AD⊥PC，PC∩所以AD⊥平面PBC，又PB