2024高考数学大二轮复习专题4三角函数解三角形第1讲基础小题部分增分强化练文

PAGEPAGE1第1讲基础小题部分一、选择题1．(2024·高考全国卷Ⅲ)若sinα＝eq\f(1,3)，则cos2α＝ ()A.eq\f(8,9) B.eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9) D．－eq\f(8,9)解析：∵sinα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(7,9).故选B.答案：B2．(2024·高考天津卷)将函数y＝sin(2x＋eq\f(π,5))的图象向右平移eq\f(π,10)个单位长度，所得图象对应的函数 ()A．在区间[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上单调递增B．在区间[－eq\f(π,4)，0]上单调递减C．在区间[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上单调递增D．在区间[eq\f(π,2)，π]上单调递减解析：y＝sin(2x＋eq\f(π,5))＝sin2(x＋eq\f(π,10))，将其图象向右平移eq\f(π,10)个单位长度，得到函数y＝sin2x的图象．由2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin2x在区间[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上单调递增．故选A.答案：A3．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝ A.eq\f(2π,3) B.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(5π,6)解析：由3sinA＝5sinB，得3a＝5b又因为b＋c＝2a所以a＝eq\f(5,3)b，c＝eq\f(7,3)b，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\f(5,3)b2＋b2－\f(7,3)b2,2×\f(5,3)b×b)＝－eq\f(1,2).因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).答案：A4．若先将函数y＝sin(4x＋eq\f(π,6))图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度，则所得函数图象的一条对称轴方程是 ()A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,6)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,2)解析：由题意知变换后的图象对应的函数解析式为y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x，易知其一条对称轴的方程为x＝eq\f(π,2)，故选D.答案：D5．(2024·湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝sin(ωx－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，ω>0，x∈R，且f(α)＝－eq\f(1,2)，f(β)＝eq\f(1,2).若|α－β|的最小值为eq\f(3π,4)，则函数f(x)的单调递增区间为()A．[－eq\f(π,2)＋2kπ，π＋2kπ]，k∈ZB．[－eq\f(π,2)＋3kπ，π＋3kπ]，k∈ZC．[π＋2kπ，eq\f(5π,2)＋2kπ]，k∈ZD．[π＋3kπ，eq\f(5π,2)＋3kπ]，k∈Z解析：由f(α)＝－eq\f(1,2)，f(β)＝eq\f(1,2)，|α－β|的最小值为eq\f(3π,4)，知eq\f(T,4)＝eq\f(3π,4)，即T＝3π＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝eq\f(2,3)，所以f(x)＝sin(eq\f(2,3)x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(2,3)x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,2)＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.答案：B6．(2024·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 ()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－eq\f(1－cos2x,2)＋2＝eq\f(3,2)cos2x＋eq\f(5,2)，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.答案：B7．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB·(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，则△ABC为()A．等边三角形B．钝角三角形C．锐角非等边三角形D．等腰直角三角形解析：由2acosB＝c⇒2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c⇒a2＝b2，所以a＝b.因为sinAsinB(2－cosC)＝sin2eq\f(C,2)＋eq\f(1,2)，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2eq\f(C,2)＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因为cosC≠2，所以sinAsinB＝eq\f(1,2)，因为a＝b，所以sin2A＝eq\f(1,2)，所以A＝B＝eq\f(π,4)，所以C＝eq\f(π,2)，所以△ABC是等腰直角三角形，故选D.答案：D8．三角函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＋cos2x的振幅和最小正周期分别是 ()A.eq\r(3)，eq\f(π,2) B.eq\r(3)，πC.eq\r(2)，eq\f(π,2) D.eq\r(2)，π解析：f(x)＝sineq\f(π,6)cos2x－coseq\f(π,6)sin2x＋cos2x＝eq\f(3,2)cos2x－eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos2x－\f(1,2)sin2x))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，故选B.答案：B9．已知f(x)＝2sin(2x＋eq\f(π,6))，若将它的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴的方程为 ()A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,2)解析：由题意知g(x)＝2sin[2(x－eq\f(π,6))＋eq\f(π,6)]＝2sin(2x－eq\f(π,6))，令2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq\f(π,3)＋eq\f(k,2)π，k∈Z，当k＝0时，x＝eq\f(π,3)，即函数g(x)的图象的一条对称轴的方程为x＝eq\f(π,3)，故选C.答案：C10．(2024·昆明模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若满意c＝eq\r(2)，acosC＝csinA的△ABC有两个，则边长BC的取值范围是()A．(1，eq\r(2)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2) D．(eq\r(2)，2)解析：因为acosC＝csinA，由正弦定理得sinAcosC＝sinCsinA，易知sinA≠0，故tanC＝1，所以C＝eq\f(π,4).过点B作AC边上的高BD(图略)，垂足为D，则BD＝eq\f(\r(2),2)BC，要使满意条件的△ABC有两个，则BC>eq\r(2)>eq\f(\r(2),2)BC，解得eq\r(2)<BC<2.故选D.答案：D11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的最小正周期是π，若将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后所得的函数图象过点P(0，1)，则函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ()A．在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上单调递减B．在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上单调递增C．在区间[－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)]上单调递减D．在区间[－eq\f(π,3)，eq\f(π,6)]上单调递增解析：依题意得ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，平移后得到函数y＝sin(2x＋φ＋eq\f(2π,3))的图象，且过点P(0,1)，所以sin(φ＋eq\f(2π,3))＝1，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))，易知函数f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上单调递增，故选B.答案：B12．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的马路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．2eq\r(2)km B．3eq\r(2)kmC．3eq\r(3)km D．2eq\r(3)km解析：画出示意图如图，由条件知AB＝24×eq\f(15,60)＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，所以BS＝eq\f(ABsin30°,sin45°)＝3eq\r(2).答案：B二、填空题13．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则eq\f(sin2A,sinC)＝________.解析：由正弦定理得eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(a,c)，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝2·eq\f(sinA,sinC)·cosA＝2×eq\f(4,6)×eq\f(52＋62－42,2×5×6)＝1.答案：114．(2024·高考江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则φ的值为________．解析：由函数y＝sin(2x＋φ)(－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，得sin(eq\f(2π,3)＋φ)＝±1，因为－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)＋φ<eq\f(7π,6)，则eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝－eq\f(π,6).答案：－eq\f(π,6)15．(2024·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝eq\f(1,2).由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8,2bc)＝eq\f(4,bc)＞0，∴cosA＝eq\f(\r(3),2)，bc＝eq\f(4,cosA)＝eq\f(8\r(3),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)16．关于函数f(x)＝cos2x－2eq\r(3)sinxcosx有下列命题：①若存在x1，x2有x1－x2＝π，则f(x1)＝f(x2)成立；②f(x)在区间[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上单调递增；③函数f(x)的图象关于点(eq\f(π,12)，0)中心对称；④将函数f(x)的图象向左平移eq\f(5π,12)个单位后将与y＝2sin2x的图象重合．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：f(x)＝cos2x－2eq\r(3)sinxcosx＝2cos