数学北师大版必修2学案151平行关系

§5平行关系

5.1平行关系的判定

知识点一直线与平面平行的判定定理

［填一填］

［答一答］

1.直线和平面平行的判定定理中如果没有“不在一个平面内”的

限制条件，结论还成立吗？为什么？

提示：结论不一定成立.因为直线。可能在平面。内.

2.证明直线和平面平行的关键是什么？

提示：证明直线和平面平行的关键是在平面内找一条与已知直线

平行的直线.

3.如果一条直境与平面内无数条直线平行，那么这条直线与这个

平面平行吗？

提不一^定平行，有可能直线在平面内.

知识点二平面与平面平行的判定定理

［填一填］

［答一答］

4.如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为

什么？

提示：不一定平行.如果不是两条相交直线，即使在一个平面内

有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是

因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行,

显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行.

1.直线与平面平行的判定定理

直线与平面平行的判定定理是判定直线与平面平行的最常用、最

基本的方法，它体现了空间问题转化为平面问题的基本思路.

在具体证明过程中，常需要解决两个问题，一是在平面内找到一

条直线，二是证明平面外的直线与该直线平行.第一个问题的解决常

借助已知条件或构造过平面外直线的平面与己知平面相交，这时交线

就是要寻找的直线；第二个问题，也就是在平面内证明两条直线平行

的问题，这时可能会用到如下定理或性质：三角形的中位线定理，梯

形的中位线定理，平行四边形的性质，梯形的性质等.

总之，在证明时要由具体条件选择合理的方法.

2.直线与平面平行的判定方法

(1)利用定义：说明直线与平面无公共点(往往用反证法).

(2)利用直线与平面平行的判定定理.

3.应用判定定理的思维误区

⑴直线与直线的平行有传递性，直线与平面的平行没有传递性,

a//ba//a

如Galla、“0/a"b等.

b//a\b//a

(2)应用判定定理注意三个条件，漏掉一个条件就可能出错，如

aa,h//a^/h//a,此时，〃可能在平面a内，也可能与a平行.

4.对平面与平面平行的判定定理的三点说明

(1)具备两个条件.

判定平面。与平面夕平行时，必须具备两个条件：

①平面夕内两条相交直线b,即。/?,bP，

②两条相交直线m匕都与平面。平行，即b//a.

(2)体现了转化思想.

此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.

(3)此定理可简记为：线面平行二面面平行.

类型一线面平行、面面平行判定定理的理解

【例1]能保证直线a与平面a平行的条件是()

A.ba,a//b

B.ba,c//a,a//b,a//c

C.ba,A,BRa,C,DGb,且

D.a《a,ba,a//b

【思路探究】判定线面平行，可用定义，也可用判定定理.

【解析】A错误，若。a,a//bf则。〃0或。a;B错误，若

ba,c//a,a//b,a//cf则o〃a或aa;C错误，若满足此条件，

则a//a或〃a或〃与a相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺

少的三个条件.故选D.

【答案】D

规律方法正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线和平

面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用

排除法.

在以下说法中，正确的个数是（B）

①平面。内有一条直线和平面夕平行，那么这两个平面平行；

②平面。内有两条直线和平面夕平行，那么这两个平面平行；

③平面。内有无数条直线和平面”平行，那么这两个平面平行；

④平面a内任意一条直线和平面P都无公共点，那么这两个平面

平行.

A.0B.1C.2D.3

解析：①平面〃和平面夕相交时，平面。内与两平面交线平行的

直线与平面夕都平行，所以该命题不正确；

②当两条直线相交时，两个平面平行；当两条直线平行时，平面a

和平面夕可能相交，所以该命题不正确；

③a内这无数条直线相互平行时，两平面可能相交，此时这些直线

和两平面的交线平行，所以该命题不正确；

④由直线和平面平行的定义可知，平面a内任意一条直线与平面P

都平行，所以平面Q和平面夕没有公共点，即两个平面平行，所以该

命题正确.

综上所述，只有④正确，故选B.

类型二线面平行的判定

【例2】如下图，直三棱柱A8C45G中，。是AB的中点.证

明：8G〃平面4CD

在平面ACO内找到利用线面平行的

【思路探究】

与平行的直线判定定理证明

关系，从而使问题得以解决.

如图，在三棱柱ABC—A8G中，若。分别为8G，3c的

中点，求证：平面45。〃平面AGD

证明：如图所示，连接AC交AG于点”，因为四边形AACG

是平行四边形，

所以“是AC的中点，连接

因为。为BC的中点，所以AiB〃DH.

因为平面AXB平面4BO1,所以平面4归。1.

又由三棱柱的性质知，D\C\〃BD,D\C\=BD,所以四边形BDC\D\

为平行四边形，所以OG〃3D|.

又平面A\BDy,BDi平面AiBDi,

所以0G〃平面小引力，

又因为DCiCDH=D,所以平面A8Q1〃平面AGD

类型四平行的综合应用

【例4】如右图所示，三棱锥A-8CO中，M,N,G分别是△

ABC,ABCD,△AB。的重心.

（1）求证：平面MNG〃平面AC。；

⑵求SdMNGS&ACD.

【思路探究】（1）可综合利用三角形重心和平行线段成比例定理

证明.（2）可证明△MNGS^DAC,从而将两三角形的面积之比转化为

求三角形对应边比的平方.

【解】（1）证明：如右图所示，连接8M,BN,8G并延长，分

别交AC,CD,D4于P,E,F,由M,N,G分别是△A3C,丛BCD,

△A3。的重心知P,E,尸分别是AC,CD,QA的中点.连接PE,EF,

PF,

则P£〃A。，且PE=；AD,EF//AC,且FE=：AC,PF//CD,且

PF=；CD.

DRNRC

又诉=赤=7^=2,:・MN〃PE,：.MN//AD,

又.「MNC平面ACO,AD平面AC。，...MN〃平面ACD

同理MG〃平面ACD

♦：MNCMG=M,J平面MNG〃平面4CD

⑵由(1)知需=普=|,・,•器=|,即

义PE=；AD,：.MN=\AD,即^^=4

易证得LMNGS^DAC,

・&MNG」幽吗」1卜」

U9S^CD~^D)一⑶-9・

规律方法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平

面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需

根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：

।线面平行।।面面平行।।

线线平行|一->|线面平行|——­|面面平行|,

的判定的判定

这种转化是处理平行问题的基本思想方法.

已知正方形A8CO如图(1),E,户分别是A-C。的中点，将4

AOE沿。七折起，如图(2)所示，求证：8F〃平面ADE.

证明：,:E,歹分别为43,CO的中点，:・EB=FD.

叉YEB〃FD,・・・四边形EB产。为平行四边形，

：.BF//ED.

丁DE平面ADE,而C平面ADE,：.8尸〃平面ADE.

——规范解答系列——

面面平行证明的一般思路

【例5】如图，在三棱锥S-43C中，.过A作4尸，S3,

垂足为凡点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证：平面EFG〃平面

ABC.

【思路分析】证明面面平行，应依据面面平行的判定定理，在

平面内找两条相交直线平行于平面ABC,根据已知的中点，可从

中位线入手证明.

【精解详析】因为AFLSB,垂足为F,所以F是SB

的中点.又七是S4的中点，所以所〃A8

因为平面ABC,AB平面ABC,

所以石尸〃平面ABC

同理EG//平面ABC.又EFHEG=E,

所以平面E/G〃平面43c

【解后反思】面面平行的判定在高考中考查的并不多，考向单

一，只能依据面面平行的判定定理，而面面平行的判定定理可以帮助

转化为线面平行.在使用判定定理证明面面平行时，需注意是其中一

个平面内的两条相交直线.

如右图，已知四棱柱ABCD-AiBiCiDi，证明：平面4山。〃平面

CDB.

证明：由题设知，BB版DDi,・•・四边形88。]。是平行四边形，

:・BD〃B\D\.

又平面CD】Bi,・・・8。〃平面CD\B、.

VA1D1触BiCi瞅BC,：.四边形AiBCDi是平行四边形，

・・・A|3〃QC.又A/g平面CDTBI,・・・A]3〃平面CD山「

又80GAi8=8,・・・平面430〃平面8山|.

一、选择题

1.若直线/不平行于平面a,且/。。，贝4(A)

A.a内存在直线与/异面

B.。内存在与直线/平行的直线

C.a内存在唯一的直线与/平行

D.。内的直线都与/相交

解析：直线/不平行于平面见且则/与a相交，/与。内

的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行，故B、C、D错，选

A.

2.下列命题，能得出直线能与平面。平行的是(C)

A.直线〃2与平面。内所有直线平行

B.直线〃2与平面。内无数条直线平行

C.直线〃2与平面。无公共点

D.直线〃2与平面。内的一条直线平行

解析：A命题本身说法错误，B当直线机在平面a内，m与a不

平行，C能得出机〃a,D当直线机在平面。内满足相与。不平行，

故选C.

二、填空题

3.在四面体A-3CO中，M,N分别是△AC。，△BCD的重心，

则四面体的四个面中与MN平行的是平面ABD与平面ABC.

解析：如图所示，取CD的中点£,连接AE,BE.则EM