模板10 三角形解题模板（原卷版）

三角形三角形解题方法指导解题方法指导一、怎样解三角形全等的判定问题证明两条线段相等(或两个角相等)的常用方法是证明这两条段(或两个角)所在的三角形全等.判定两个三角形全等的一般方有“SS"SAS"ASA""AAS",对于直角三角形还有“HL".三角全等的判定方法的选择:(1)当已知两边分别相等时，可找两边的角或第三边，利用“SAS”或“SSS"来证明两个三角形全等.(2)当知两个角分别相等时，可找这两个角的夹边或找任意一组等角的边，利用“ASA”或“AAS"来证明两个三角形全等.(3)当已知一角其对边分别相等时，可找任意一角，利用“AAS"来证明两个三角全等.(4)当已知一角及其一邻边分别相等时,可找任意一角利用AAS”或“ASA"来证明两个三角形全等，也可以找这个角的另一邻边，利用“SAS”来证明两个三角形全等.(5)在直角三角形中除了利用SSS'"SASA""AAS",还可以利用“HL”"来证明两个三角形全等:●注意●注意.判定两个三角形全等时，必须有边参与,若有两边一-角对应相等时，角必须是两边的夹角.判定两个三角形全等时，不仅要看已知条件，还要看题目中隐含的条件.例题演练例题演练例题1（2021·云南九年级一模）如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．例题2（2021·内蒙古鄂尔多斯·九年级一模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．例题3（2021·全国八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．解题方法指导解题方法指导二、怎样解等边三角形问题等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，等边三角形又叫正三角形.等边三角形具有等腰三角形的一切性质，并且还具有如下性质:等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°;所有边上的高、中线与所有角平分线都相等.解与等边三角形有关的问题时，一般都要运用等边三角形中特殊的60°角、三条边中任意两边都相等进行推理或计算例题演练例题演练例题1（2021·甘肃兰州·九年级一模）如图，在等边三角形ABC中，AD＝BE．求证：CD＝AE．例题2（2021·广东东莞·九年级其他模拟）如图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD=BE．求证：AE=CD．例题3（2021·山西九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．解题方法指导解题方法指导三、怎样解等腰三角形有关的问题解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系确定能否构成三角形。当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时，要分类讨论，还要考虑三角形的存在性,即两腰之和大于底边，解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理，遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论.例题演练例题演练例题1（2021·湖北宜昌·）如图，在平行四边形中，P是对角线上的一点，过点C作，且，连接，，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为菱形．例题2（2021·长春市解放大路学校九年级其他模拟）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为________；（2）作的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当的长度最小