2026届新高考数学热点精准复习等式性质与不等式性质

2026届新高考数学热点精准复习

等式性质与不等式性质[课程标准要求]1.掌握等式的性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.知识梳理1.两个实数比较大小的方法=＜＞知识梳理2.等式的性质性质1对称性:如果a=b,那么

;性质2传递性:如果a=b,b=c,那么

;性质3可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;b=aa=c知识梳理3.不等式的性质性质1对称性:a>b⇔

;性质2传递性:a>b,b>c⇒

;性质3可加性:a>b⇔a+c>b+c;性质4可乘性:a>b,c>0⇒

;a>b,c<0⇒

;性质5同向可加性:a>b,c>d⇒

;性质6同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒

;性质7同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).b<aa>cac>bcac<bca+c>b+dac>bd基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(

)(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d.(

)(3)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(

)(4)设a=x2+2,b=2x,则a>b.(

)×√√×基础自测2.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(

)B基础自测基础自测3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)设a,b,m均为正数,且a<b,那么(

)C基础自测基础自测4.(多选题)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则(

)ACD考点一比较数与式的大小[例1](1)已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是(

)[A]P>Q [B]P≥Q[C]P<Q [D]P≤QA【解析】(1)因为P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),所以P－Q=a2+b2+c2+3－2(a+b+c)=(a－1)2+(b－1)2+(c－1)2≥0,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,因为a,b,c为不全相等的实数,因此等号不成立,即P－Q>0,所以P>Q.故选A.A[A]p<m<n [B]p<n<m[C]m<p<n [D]n<p<m比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.注意:作商法的适用范围为同号两数比较大小或同号的乘积式、指数式比较大小.解题策略(1)已知实数x,y,z满足x2=4x+z－y－4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(

)[A]y>x≥z [B]z≥x>y[C]y>z≥x [D]z≥y>x[针对训练]D≥考点二不等式基本性质的应用AD[例2](多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有(

)解题策略利用不等式性质判断命题真假的方法(1)直接运用不等式的性质进行推理验证,注意不等式性质成立的前提条件.(2)取特殊值验证,排除错误选项从而得到答案,取值注意三个原则:一是特殊值要符合题设条件;二是取值尽量要简单,便于计算;三是取值要有代表性.[针对训练]D(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是(

)考点三不等式性质的综合应用B(－3,－1)解题策略求代数式的取值范围,通过已知和结论之间的关系充分利用不等式的性质变形求解,求解时常利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.[针对训练]C(1)已知1<a+2b<2,－2<2a－b<1,则8a+b的取值范围是(

)【解析】(1)因为8a+b=2(a+2b)+3(2a－b),1<a+2b<2,－2<2a－b<1,所以2<2(a+2b)<4,－6<3(2a－b)<3,所以－4<8a+b<7,故8a+b的取值范围是(－4,7).故选C.(9,41)(2)(2025·浙江杭州模拟)已知正数a,b,c满足a2+c2=16,b2+c2=25则k=a2+b2的取值范围为

.

【解析】(2)因为正数a,b,c满足a2+c2=16,b2+c2=25,所以c2=16－a2,a2>0,所以0<c2<16,同理,由c2=25－b2得0<c2<25,所以0<c2<16,两式相加得a2+b2+2c2=41,即a2+b2=41－2c2,又因为－16<－c2<0,则－32<－2c2<0,所以9<41－2c2<41,即9<k<41.[选题明细表]单选每题5分,多选每题6分.知识点、方法题号比较大小4,5,7,8不等式性质1,2,3,11综合应用6,9,10,12,13,14,15基础巩固练CABDC3.已知6<a<60,15<b<18,则下列结论正确的是(

)A[A]a>c>b [B]a>b>c[C]c>b>a [D]b>c>aB5.(2025·浙江金华模拟)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则(

)[A]N<P [B]P<M[C]N<M [D]M+N<2P[A](0,3) [B][0,3)[C](3,+∞) [D](1,3)Bx2b>d>c>a8.(5分)已知实数a,b,c,d满足下列三个条件:①d>c;②a+b=c+d;③a+d<b+c.那么a,b,c,d的大小关系是

.

【解析】由②③,得2a+b+d<2c+b+d,化简得a<c.由a+b=c+d及a<c可得b>d,又d>c,所以b>d>c>a.79.(5分)已知对于实数x,y,满足|2x+3y|≤10,|x－y|≤5,则|x+2y|的最大值为

.综合运用练11.(多选题)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论正确的是(

)ADB13.(5分)(2025·河北石家庄模拟)若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x－y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是

.

[15,19]15.(14分)若a>b