浙教版八年级下册数学举一反三系列 专题16 二次根式全章五类必考压轴题（学生版）

专题L6二次根式全章五类必考压轴题

【浙教版】

必考点1二次根式的双重非负性的运用

1.已知X、），为实数，且y="-2023+V2023-则'+'的值是（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

2.已知后FT7-x|+依-卬=3y-2则2、-1完的值为（）.

A.22B.20C.18D.16

3.已知化简J。+—4+,4的结果为

4.若实数小儿c满足关系式“二199+"99-。=曲+厂C+、口,则,=.

5.已知整数人），满足3+720221-J2022y+〃022孙=2Q22则”•-3T的最小值为.

6.已知实数“，＞而满足等式J3"5y=3f+（2x+3y一石=斤户-产=5,求VE

的值.

必考点2'二次根式的规律探究

［若+打打小+»打小・齐齐•・・+小+含+苴,则⑷=（）（其中⑶表示

不超过人的最大整数）

A.2019B.2020C.2021D.2022

口=最+

J1+1==，其中”为正整数.设*n+口+…+，

则5”森值是

）

2。22斐2023.2022高D.2。23点

A.B.&闫C.

3,将-组数据",3,2回用3内，按下面的方法进行排列：H,四3,26,8

3sVTi2〃3VlV52

，，，，；

若26的位置记为（L,）,2遍的位置记为（2'3）,则这组数中面的位置记为（）

A.®可B.®勺c,6,2）口.（6,9

4.观察卜.列各式：

"7拜…焉

y/1+热3，+f>1+闩,x4........③

请利用你所发现的规律，解决下列问题:

献'"[1____________(”为正整数)；

11+：+：+J1+J+.++J+"+…+11+=

(2)计算VP27V2*3*<V202”203Jz

（3）如果户热+.打…4+就那么"

/♦二

5.观察卜面的式子：Sj=l+-,S2=1+"，S3=l+...Sn=l+

（l）计算：底，艮:猜想质;（用n的代数式表示）；

⑵计算：S=百+店+医+“.+底（用n的代数式表示）.

必考点3N复合二次根式的化简

Vo+2y[b(a>0b>Qa+2<b>01m

1.材料：如何将双重二次根式一,,〜化简呢？如能找到两个数，

n(m>0n>0),使得(师>+(何'a,即m+n”且使标.诉="即…心那么

a±2乃=(师产+(何工±2而•«=(师士阿.・.、匕±2后=|标士向，双重二次根式得以化简.

V3±2V2

例如化简：工

因为3=1+2且2=1M2：

/.3±2V2=(VI)2+(V2)2±2VIxV2・・.y/3±2yf2=|1±V2|

由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成、°±2"的形式，且能找到m,n(m>0,”>0)使得

m+n=a,且叱。=力，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

15±2避V12±2V53

(I)填空：=,=；

内士60

⑵比简：；

、…43-显W

⑶计算：+.

2.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2V2=(l+V2)：

,善于思考的小明进行了以下探索:

a+=(m+nV?)-=m?+2n2+2mnV20匕m力a=m2+2n2

若设'7(其中°、“、叫”均为整数)，则有0m+zn

b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解

决下列问题:

。+

⑴若by/7=(m+nVT),，当Q、b、tn、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示Q、b，得：a—

b=

__•

⑵若a+6V5=,(m+。且Q"、n叫]n71均为正整数，求。Q的值；

(3)比简下列格式：

々5+2、后

入17-2依

②

③，4-J10+2V5+(4+J1O+2V5

内一2〃

3.小明在做二次根式的化简时，消到了比较复杂的二次根式,通过资料的杳询•他得到了该二次

根式的化简过程如下

《5-2V8=(2-2x&xG+3

_((&)"-2x&xVJ.(、与“

J(V2-V3)2

(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简4-2百.

(2)善于动脑的小明继续探究：当a,儿机，〃为正整数时，若"26=(师+囱，则

a+2V5=(m+n)+24mn=m+n,h=mn斐a+2VI7=(标+⑸

，以，右,且a,m，〃为正整数,

tn>n.MH

；求xa,in,〃的色.

4.阅读材料：

材料一:数学上有一种根号内乂带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根

号如，(4产+(V5)2-2xVixV2=J(VI-V2)2=|VI-V2|=V2-1

材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利

用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到.

如x2♦2&X+3=x2+2&x+(V2)2+1=("&)2+1

..(、+v2)2>C.(x+V2)2+1>1即必+2、2X+3>1

•9••9U|J

...f缶'3的最小值为1

阅读上述材料解决下面问题：

一2V3=45+2vs=

(1),；

⑵求的最值；

X=13一，13-^(4+2>/3)x2r+(V5+l)x)f-5

<3)己知<S'求4的最值.

5.阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,

3+272=(1+V2)

如:,善于思考的康康进行「以下探索:

设n+*4・(・+哂(其中qb加〃均为正整数)，

则有0+人立=+2M^2mn<l(有理数和无理数分别对应相等)，

.o=m2+2n-b^2mr这样康康就找到了一种把式子0♦入々化为平方式的方法.

请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：

a+=(c+dG)・cda

⑴当a、氏小、〃均为正整数时，若'),用含.0的式子分别表示〃、仇得：。

b—

7-4V3=(。一/VJ)€f7-

(2)若"且、'均为正整数，试化简：

⑶比简47+年画

必考点4N二次根式运算与求值技巧

[l9y小a

i.已知a(a一加=3.(5.一田)，求”而f

2.已知"一汨，,一湎1.

⑴求八2孙.«的值.

752TLs_、(y?+2y»力

(2)求"L2)—-值

9-1.b41

3.已/=g

(I)求/—必+标的值;

(2)若，小数部分为,〃，，小数部分为〃，求(m+0(m-n)的值.

、=上了=业m=i--打=工+2

4.已知2,>2,<

(I)求m'”的值;

(2)若代■的=月+2,求历+”的值.

5正数mm满足m+4、丽南—2师—4百+4n=3,求而卬记S5的值

必考点5a分母有理化o

2G1

1.在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如“，5,"3的式子，其实我们还可以将其进一步化简:

2_」得_N!

S.①

g=解咛;②

Lx(vl-l)

757—修<T(vJ)-阿川=显一\

；③

对干以上这种化简的步骤叫做分母有理化,7571।还可以用以卜.的方法化简;

V2-1

V2+1;④

2

⑴请参照方法④化简："E：

5+P

⑵化简：不山

(3)比简：而‘石耳+下♦际I♦、外("为正整数)

2.阅读材料，回答问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因

式.例如:因为口＞口=°,("+D(e7=1,所以“与四々+1与后】互为有理化因式.进

行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.

I/3^2_

(1)b—2的有理化因式是_______；化简：75三一

i_+J4++......

(2)比简：小】标5标T

⑶拓展应用：己知，”痴而.师/=领-频，,=曲.频

试比较小b,。的大小，并说明理由.

3.先阅读下面的材料，再解答问题.

(0+历)(、怎—V5)=(v,a)'-(VF)*=a­£

因为v

所以°一白=(祗+、同(C-网

特别地，

•7^.c—V14+VT3

所以也m

当然，也可以利用得1=1"",

i_14-13(vn)'-(G，

所以/nit—vn-vri<iwn

.(vFvTlX/n-、!!)

―v14-vT3

9

=vT?+vT3

,

这种变形也是将分母有理化.

利用上述的思路方法，计算：

(^T+37vI+=+〃至二2451)(0023+1)

(1):

3_______6____2

34Vl

(ZJ♦

4.【材料阅读】

2

材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如门♦［的式子，可以通过分母有理化进行化简或计

算.如化简：而.具体方法如下:

2(、I)

门-(、丁

方法一:1+1)(b-1)

2_3T_(VT)"--_(—■1)(W.l)_fs

vA1—、*ivi+i4+i-v

方法二:

_把把_t

材料二:我们在学习分式时知道，对于公式°可以逆用.即：°

【问题解决】

（1）化简:

+(75W2-^4Vj)+…+(!»*、叼-、而ITTO)

（2）计算:

___+_____+_____+…+......-!

2-K1人？4127，杆55而同

（3）计算:

5.阅读下列材料，然后回答问题：

在诳行类似于二次根式门♦门的运算时，通常有如下两种方法将其化简；

J=―-="I=口一o

方法（、-2y（以上化简的步骤叫分母有理化）；