2025年湖北省宜昌县域高中协同发展共同体高二数学第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2025年湖北省宜昌县域高中协同发展共同体高二数学第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.8043．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数（个）2345加工时间（分钟）264954根据上表可得回归方程，则实数的值为（）A．37.3 B．38 C．39 D．39.54．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C．2 D．45．已知函数，正实数满足且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为A．，2 B．， C．，2 D．，46．已知线段所在的直线与平面相交于点，且与平面所成的角为，，，为平面内的两个动点，且，，则，两点间的最小距离为（）A． B．1 C． D．7．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（）A． B．-1 C． D．8．在中，，，，则等于()A．或 B． C．或 D．9．已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（）A． B． C． D．10．幂函数的图象过点，那么的值为（）A． B．64 C． D．11．设，，都为大于零的常数，则的最小值为（）。A． B． C． D．12．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．i为虚数单位，设复数z满足，则z的虚部是____14．集合，若，则实数的值为__________．15．已知集合，集合，则_______.16．已知函数，实数满足，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率，记该班级完成首背诵后的总得分为.(1)求且的概率；(2)记，求的分布列及数学期望．18．（12分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，过点且倾斜角为的直线与交于不同的两点.（1）求曲线的普通方程；（2）求的中点的轨迹的参数方程（以为参数）.19．（12分）已知函数.（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）已知，若函数有两个相异零点，且（为与无关的常数），证明：.20．（12分）如图，在四棱锥中，是棱PD的中点，且.（1）求证：CD∥平面ABE；（2）求证：平面ABE丄平面PCD.21．（12分）质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．22．（10分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-，1，−）=0，（0，2，4）（-，1，−）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．考点：平面的法向量2、C【解析】试题分析：由题意可知发病的牛的头数为ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故选C．考点：二项分布的期望与方差．3、C【解析】

求出，代入回归方程，即可得到实数的值。【详解】根据题意可得：,，根据回归方程过中心点可得：，解得：；故答案选C本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题。4、A【解析】

由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，利用所给数据，求出三棱柱与三棱锥的体积，从而可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱，由三视图的性质可知三棱柱的底面面积，高，所以，,所以，几何体的体积为.故选A.本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5、A【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数满足且，且在区间上的最大值为1，所以=1，由解得，即的值分别为，1．故选A．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n的方程．6、D【解析】

过作面，垂足为，连结，得到点的运动轨迹，以为原点，建立空间直角坐标系，在中，利用余弦定理得到动点的轨迹方程，从而得到、两点间距离的最小值，再得到，两点间的最小距离.【详解】如图，过作面，垂足为，连结，根据题意，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动；以为原点与垂直的方向为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，因为为平面内动点，所以设在中，根据余弦定理可得即，整理得，平面内，点在曲线上运动，所以，所以当时，，即，所以，两点间的最小距离为.故选：D.本题考查圆上的点到曲线上点的距离的最值，考查求动点的轨迹方程，余弦定理解三角形，属于中档题.7、D【解析】

先对函数求导，根据是奇函数，求出，进而可得出曲线在点处切线的斜率.【详解】由题意得，.是奇函数，，即，解得，，则，即曲线在点处切线的斜率为.故选.本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.8、D【解析】

已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.【详解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故选D.本题考查正弦定理的应用.已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.9、A【解析】

将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【详解】定圆，，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为：故答案选A本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.10、A【解析】

设幂函数的解析式为∵幂函数的图象过点.选A11、B【解析】

由于，乘以，然后展开由基本不等式求最值，即可求解．【详解】由题意，知，可得，则，所以当且仅当，即时，取等号，故选：B．本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中根据题意给要求的式子乘以是解决问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．12、B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.详解：由，可得,，可得，所以，的虚部是，故答案为点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.14、【解析】

根据并集运算法则计算得到答案.【详解】集合，若则故答案为：本题考查了集合的并集运算，属于简单题.15、{3，4}．【解析】

利用交集的概念及运算可得结果.【详解】，.本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.16、【解析】

根据图像分析，设，代入函数求值即可.【详解】由图像可知，设，，即.故填：1.本题考查了的图像，以及对数运算法则，属于基础题型，本题的关键是根据图像，判断和的正负，去绝对值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)分布列见解析，.【解析】

（1）由知，背诵6首，正确4首，错误2首，又，所以第一首一定背诵正确，由此求出对应的概率；（2）根据题意确定的取值，计算相对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望．【详解】(1)当S6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率.(2)由题意知ξ＝|S5|的所有可能的取值为10,30,50，又，，，，∴ξ的分布列为.本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，意在考查学生的逻辑推理能力与数学计算能力．18、（1）（2）（为参数，）.【解析】

（1）根据变换原则可得，代入曲线的方程整理可得的方程；（2）写出直线的参数方程，根据与曲线有两个不同交点可确定倾斜角的范围；利用直线参数方程中参数的几何意义和韦达定理得到，求得后，代入直线参数方程后即可得到所求的参数方程.【详解】（1）由得：，代入得：，的普通方程为.（2）由题意得：的参数方程为：（为参数）与交于不同的两点，即有两个不等实根，即有两个不等实根，，解得：.设对应的参数分别为，则，且满足，则，.又点的坐标满足的轨迹的参数方程为：（为参数，）.本题考查根据坐标变换求解曲线方程、动点轨迹方程的求解问题；求解动点轨迹的关键是能够充分利用直线参数方程中参数的几何意义，结合韦达定理的形式求得直线上的动点所对应的参数，进而代入直线参数方程求得结果.19、（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】

（1）先利用导数确定单调性，再利用零点存在定理证明结论，（2）先求，再结合恒成立转化证明，即需证，根据条件消，令，转化证，即需证，这个不等式利用导数易证.【详解】（1），令，则在上恒成立，所以，在上单调递减，，，根据零点存在定理得，函数在存在唯一零点，当时，，所以在存在唯一零点；（2）因为，，所以，不妨设，因为，所以，，所以，，因为，，而要求满足的b的最大值，所以只需证明.所以（*）令，则，所以（*），令，则，所以在上单调递增，即综上，.本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数证明不等式，考查综合分析论证能力，属难题.20、(1)见解析；（2）见解析.【解析】

(1)要证CD∥平面ABE，只需说明即可；（2）要证平面ABE丄平面PCD，只需证明平面CDP即可.【详解】（1）证明：根据题意，,故CD∥平面ABE；（2）证明：由于是棱PD的中点，故，而，，因此，显然，故平面CDP，而平面ABE，平面ABE丄平面PCD.本题主要考查线面平行，面面垂直的判定，意在考查学生的空间想象能力和分析能力，难度不大.21、（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.通过，P（E