北京市中央美术学院附属实验学校2024-2025学年数学高二下期末学业质量监测模拟试题含解析

北京市中央美术学院附属实验学校2024-2025学年数学高二下期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量，，若，，则（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.362．已知复数z=1-i，则z2A．2 B．-2 C．2i D．-2i3．若，则下列结论中不恒成立的是（）A． B． C． D．4．若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”.下列方程：①②；③④对应的曲线中存在的“自公切线”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④5．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）A． B． C． D．7．已知全集U＝{x∈Z|0<x<10}，集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则(∁UA)∩B＝()A．{6，8} B．{2，4} C．{2，6，8} D．{4，8}8．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A． B． C． D．9．已知，，，则的大小关系为()．A． B． C． D．10．在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A． B．与所成角为C．平面 D．与平面所成角的余弦值为11．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中（）A．正方体的体积取得最大B．正方体的体积取得最小C．正方体的各棱长之和取得最大D．正方体的各棱长之和取得最小12．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知曲线的方程为，集合，若对于任意的，都存在，使得成立，则称曲线为曲线.下列方程所表示的曲线中,是曲线的有__________（写出所有曲线的序号）①；②；③；④14．在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是__________．15．数列的前n项和记为，则__________.16．正方体ABCD-A1B1C1D三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下7540岁或40岁以上55总计（1）根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？（2）用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行答谢.设抽到的消费者中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.临界值表：18．（12分）已知都是正数（1）若，求证：；（2）若，求证：19．（12分）（12分）某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞qξ

0

1

2

3

p

6125a

b

24125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。20．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望21．（12分）已知函数，.（1）解关于的不等式；（2）若函数在区间上的最大值与最小值之差为5，求实数的值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）为了研究广大市民对共享单车的使用情况,某公司在我市随机抽取了111名用户进行调查，得到如下数据：每周使用次数1次2次3次4次5次6次及以上男4337831女6544621合计1187111451认为每周使用超过3次的用户为“喜欢骑共享单车”.(1)分别估算男、女“喜欢骑共享单车”的概率；(2)请完成下面的2×2列联表,并判断能否有95%把握,认为是否“喜欢骑共享单车”与性别有关.不喜欢骑共享单车喜欢骑共享单车合计男女合计附表及公式：k2=nP(1.151．111.151.1251.1111.1151.111k2.1722.7163.8415.1246.6357.87911.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由求出，进而，由此求出.【详解】解：因为，，，所以，解得或（舍），由，所以.故选：A.本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题.2、A【解析】解：因为z=1-i，所以z23、D【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，

当时，C错．

故选D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．4、B【解析】

化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线．【详解】①是一个等轴双曲线,没有自公切线;②,在和处的切线都是,故②有自公切线;③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线;④即结合图象可得,此曲线没有自公切线.故选:.本题考查命题的真假判断与应用,考查学生的数形结合的能力,难度一般.5、C【解析】

利用导数研究函数y=的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．画出函数图象，数形结合得答案．【详解】设y=，则y′=，由y′=1，解得x=e，当x∈（1，e）时，y′＞1，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜1，函数为减函数．∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如图画出函数图象：可得m的取值范围是（1，）．故答案为：C．（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查函数图像和性质的综合运用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力.(2)本题的解答关键有两点，其一是利用导数准确画出函数的图像，其二是化简得到f（x）=m或f（x）=．6、C【解析】点是曲线上任意一点,所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，直线的斜率为1，由，解得或（舍）.所以曲线与直线的切点为.点到直线的距离最小值是.选C.7、A【解析】

先化简已知条件,再求.【详解】由题得,因为,,故答案为A本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.8、B【解析】

由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．故选B.9、A【解析】

利用指数函数、对数函数的性质求解．【详解】显然，，，，因此最大，最小，故选A.本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用．10、C【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（2，0，2），E（2，1，0），B（2，2，0），F（0，2，1），（0，1，﹣2），（﹣2，0，1），2≠0，∴A1E与BF不垂直，故A错误；（﹣2，2，﹣1），（﹣2，﹣2，0），cos，0，∴A1F与BD所成角为90°，故B错误；（2，0，0），（0，2，1），（0，1，﹣2），•0，0，∴A1E⊥DA，A1E⊥DF，∴A1E⊥平面ADF，故C正确；（﹣2，2，﹣1），平面ABCD的法向量（0，0，1），设A1F与平面ABCD所成角为θ，则sinθ，∴cosθ．∴A1F与平面ABCD所成角的余弦值为，故D错误．故选：C．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11、A【解析】

根据类比规律进行判定选择【详解】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A.本题考查平面几何与立体几何对应类比，考查基本分析判断能力，属基础题.12、C【解析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③【解析】

将问题转化为：对于曲线上任意一点，在曲线上存在着点使得，据此逐项判断曲线是否为曲线.【详解】①的图象既关于轴对称，也关于轴对称，且图象是封闭图形，所以对于任意的点，存在着点使得，所以①满足；②的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为，所以渐近线将平面分为四个夹角为的区域，当在双曲线同一支上，此时，当不在双曲线同一支上，此时，所以，不满足，故②不满足；③的图象是焦点在轴上的抛物线，且关于轴对称，连接，再过点作的垂线，则垂线一定与抛物线交于点，所以，所以，所以③满足；④取，若，则有，显然不成立，所以此时不成立，所以④不满足.故答案为：①③.本题考查曲线与方程的新定义问题，难度较难.(1)对于新定义的问题，首先要找到问题的本质：也就是本题所考查的主要知识点，然后再解决问题；(2)对于常见的，一定要能将其与向量的数量积为零即垂直关系联系在一起.14、【解析】

由题意画出图形，结合三角形中的边角关系得答案．【详解】如图，由图可知，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是ρcosθ＝1．故答案为．本题考查了简单曲线的极坐标方程，是基础题．15、【解析】试题分析：由可得：，所以,则数列是等比数列，首项为3，公比为3，所以。考点：数列求通项公式。16、60°【解析】

由正方体的性质可以知道：DC1//AB1,根据异面直线所成角的定义,可以知道∠B1AD1【详解】如图所示：连接AB1,因为DC1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案为60°本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关；（2）见解析【解析】

(1)先由频率分布直方图得到列联表，再根据公式计算得到卡方值，进而作出判断；（2）消费者中40岁以下的人数为，可能取值为3，4，5，求出相应的概率值，再得到分布列和期望.【详解】（1）根据直方图可知40岁以下的消费者共有人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下754512040岁或40岁以上255580总计100100200依题意，的观测值故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关.（2）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者抽取5名进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为，则的可能取值为3，4，5且，，，则的分布列为：345故的数学期望为3.75.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.18、(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】

（1）根据基本不等式得，，再利用不等式性质三式相乘得结果，（2）根据基本不等式得，，再三式相加得结果【详解】证明：因为为正数，所以，同理，所以因为，所以（2）证明：由，且，可得，同理可得，三式相加，可得，即为，则成立．本题考查利用基本不等式证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.19、（I）1-P(ξ=0)=1-6125=119125，（II）【解析】(1)可根据其对立事件来求：其对立事件为：没有一门课程取得优秀成绩.(2)P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(建立关于p、q的方程，解方程组即可求解.(3)先算出a,b的值，然后利用期望公式求解即可.事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，iP(A1)=4（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-6（II）由题意知P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(整理得pq=6125，p+q=1由p>q，可得p=3（III）由题意知a=P(ξ=1)=P(=45(1-p)(1-q)+b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=58Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+3P(ξ=3)=920、（Ⅰ）（Ⅱ）ξ

0

2

4

6

8

P

数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8=【解析】（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．（2）的可能取值为0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：