宁夏大学附中2025年数学高二下期末达标测试试题含解析

宁夏大学附中2025年数学高二下期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则二项式展开式的常数项是（）A．1120 B．140 C．-140 D．-11202．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25B．2，4，8，16，32C．1，2，3，4，5D．7，17，27，37，473．若函数在上可导，，则（）A．2 B．4 C．-2 D．-44．若，且m，n，，则（）A． B． C． D．5．复数的虚部是（）A．1 B．﹣i C．i D．﹣16．已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则以上命题正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知，，，，且满足，，，对于，，，四个数的判断，给出下列四个命题：①至少有一个数大于1；②至多有一个数大于1；③至少有一个数小于0；④至多有一个数小于0.其中真命题的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③8．已知则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a9．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小10．已知点P是椭圆上的动点,当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（）A． B． C． D．11．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．288种 B．144种 C．720种 D．360种12．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了套卷，即：全国I卷，全国II卷，全国III卷.小明同学马上进入高三了，打算从这套题中选出套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________．14．某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段

人数

１

３

６

６

２

１

１

若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为分15．已知，且复数是纯虚数,则_______.16．用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于P、Q两点，射线OP与曲线相交于点A，射线OQ与曲线相交于点B，求的值．18．（12分）如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，为的重心，已知，，，.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）设点在线段上，使得，试确定的值，使得二面角为直二面角.19．（12分）已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的范围.20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线，，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且，求的最大值．21．（12分）在中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产、、三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）纪念品纪念品纪念品精品型普通型现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取个，其中种纪念品有个．（1）求的值；（2）从种精品型纪念品中抽取个，其某种指标的数据分别如下：、、、、，把这个数据看作一个总体，其均值为，方差为，求的值；（3）用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为的样木，从样本中任取个纪念品，求至少有个精品型纪念品的概率．22．（10分）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；(2)讨论函数的单调性.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.2、D【解析】此题考查系统抽样系统抽样的间隔为：k=50答案D点评：掌握系统抽样的过程3、D【解析】由题设可得，令可得，所以，则，应选答案D．4、D【解析】

根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【详解】则故选：D本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.5、D【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【详解】解：∵复数，∴复数的虚部是﹣1，故选：D．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．6、C【解析】

直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．【详解】①若a∥α，b⊂α，则a与b平行或异面，故①错误；②若a∥α，b∥α，则a∥b，则a与b平行，相交或异面，故②错误；③若，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故③正确；④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b无公共点，∴平行或异面，故④错误．∴正确的个数为1．故选C．本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题．7、A【解析】

根据对，，，取特殊值，可得②，④不对，以及使用反证法，可得结果.【详解】当，时，满足条件，故②，④为假命题；假设，由，，得，则，由，所以矛盾，故①为真命题，同理③为真命题．故选：A本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.8、D【解析】

对于看成幂函数，对于与的大小和1比较即可【详解】因为在上为增函数，所以，由因为，，，所以，所以选择D本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较．2、和0、1比较．9、D【解析】

先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】，，，∴先增后减，因此选D.10、C【解析】分析：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，与椭圆方程联立，利用，解得，即可得出结论.详解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，联立，化为，，解得，取时，，解得，，.故选：C.点睛：本题考查了直线与椭圆的相切与一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11、B【解析】

根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意分步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序《将进酒》排在《望岳》的前面，这首诗词的排法有种②，这首诗词排好后，不含最后，有个空位，在个空位中任选个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有种安排方法则后六场的排法有种故选本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。12、D【解析】

先计算出套题中选出套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.【详解】通过题意，可知从这套题中选出套试卷共有种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有种可能，于是所求概率为.选D.本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.14、80【解析】解：∵×20=4，∴随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所画的分数线是80分，故答案为8015、【解析】

由复数的运算法则可得，结合题意得到关于的方程，解方程即可确定实数的值.【详解】由复数的运算法则可得：，复数为纯虚数，则：，据此可得：.故答案为．本题主要考查复数的运算法则，纯虚数的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、或【解析】假设的内容应是否定结论，由否定后为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解析】分析：（1）把曲线的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程；

把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程即可；

（Ⅱ）由点是圆的圆心得线段是圆的直径，从而得；

在极坐标系下，设，，，分别代入椭圆方程中，求出的值，求和即得的值．详解：1曲线的参数方程是为参数，化为普通方程是；化为极坐标方程是；又曲线的极坐标方程是，化为直角坐标方程是；2点、的极坐标分别是、，直角坐标系下点，；直线与圆相交于P、Q两点，所得线段PQ是圆的直径；，，；又A、B是椭圆上的两点，在极坐标系下，设，，分别代入方程中，有，；解得，；；即．点睛：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程、极坐标方程化为普通方程，明确参数以及极坐标中各个量的含义，是较难的题目．18、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】

（1）方法一：由重心的性质得出，再由，结合相似三角形的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用重心的坐标公式计算出点的坐标，可计算出，可证明出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；（2）计算出和，利用向量的坐标运算计算出，即可得出异面直线与所成角的余弦值；（3）由，得出，可求出的坐标，然后可计算出平面（即平面）的一个法向量和平面的一个法向量，由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求出实数的值.【详解】（1）方法一：如图，连接，因为是的重心，是的中点，即，，，，所以，，又因为平面，平面，平面；方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、，是的重心，则点的坐标为，，，即，又因为平面，平面，平面；（2），，，所以异面直线与所成角的余弦值；（3），，，，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，即，令，可得，，所以，平面的一个法向量为，由，得，得，取，则，，所以，平面的一个法向量为，由于二面角为直二面角，所以，，则，解得，合乎题意.本题考查直线与平面平行的判定、异面直线所成角的计算以及空间的动点问题，一般是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行转化，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.19、（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解析】试题分析：（1）由题意，根据两个绝对值式的零点，对的取值范围进行分段求解，综合所有情况，从而可得不等式的解；（2）由不等式的解集为，由（1）作函数图形，结合图形，可直线斜率，从而可求出实数的取值范围，由此问题可得解.试题解析：（1）由已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即.所以，所求实数的范围为.20、（3）（3）【解析】

试题分析（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=3cosθ+3cos（θ+）=3cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解：（Ⅰ）曲线C：ρ=3acosθ（a＞2），变形ρ3=3ρacosθ，化为x3+y3=3ax，即（x﹣a）3+y3=a3．∴曲线C是以（a，2）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=2．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=3．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=3cosθ+3cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=3cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值3．考点：简单曲线的极坐标方程．21、（1）；（2）；（3）．【解析】

（1）根据分层