湖南长沙市一中2025年高二下数学期末联考试题含解析

湖南长沙市一中2025年高二下数学期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如果，则的解析式为（）A． B．C． D．2．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种 B．36种 C．72种 D．144种3．已知A（2，0），B（0，1）是椭圆的两个顶点，直线与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若，则斜率k的值为（）A． B． C．或 D．或4．在等差数列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．65．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种6．下列导数运算正确的是（）A． B．C． D．7．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A． B． C． D．8．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A．1 B． C． D．9．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，则的面积为（）A．3 B． C． D．10．设是等差数列的前项和，已知，，则等于（）．A． B． C． D．11．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．12．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于，，则__________．14．若是函数的极值点，则的极小值为______.15．已知函数若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____.16．已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数，）(1)求曲线和直线的普通方程；

(2)设直线和曲线交于两点，求的值.18．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：年份201320142015201620172018年宣传费（万元）384858687888年销售量（吨）16.818.820.722.424.025.5经电脑拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：75.324.618.3101.4（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。现从这6年中任选2年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中为自然对数的底数，）附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为19．（12分）如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点.（I）证明：面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）如图，二面角的大小为，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.21．（12分）已知，椭圆C过点，两个焦点为，，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为．求椭圆C的方程；求的值．22．（10分）已知函数.（1）若，求的最小值，并指出此时的取值范围；（2）若，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据配凑法，即可求得的解析式，注意定义域的范围即可．【详解】因为，即令，则，即所以选C本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题．2、D【解析】

由排列、组合及简单的计数问题得：由题意可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，再相乘得解．【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，由于是分步进行，所以共有种，故选：D.本题考查排列、组合及简单计数问题，根据问题选择合适的方法是关键，此类问题常见的方法有元素优先法、捆绑法、插空法等，本题属于中等题.3、C【解析】

依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为，，，且满足方程，进而求得的表达式，根据，求得的表达式，由D在AB上知，进而求得的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k．【详解】依题设得椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为，．设，其中，且满足方程，故，由，知，得，由D在AB上知，得．所以，化简得，解得或．故选C．本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立，求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．4、B【解析】在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则5、C【解析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有种.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.6、B【解析】

由判断；由判断；由判断判断；由判断.【详解】根据题意，依次分析选项，对于，，错误；对于，，正确；对于，，错误；对于，，错误；故选B．本题主要考查指数函数、对数函数与幂函数的求导公式以及导数乘法的运算法则，意在考查对基本公式与基本运算掌握的熟练程度，属于中档题．7、C【解析】

先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．本题考查程序框图，是基础题．9、C【解析】

通过余弦定理可得C角，再通过面积公式即得答案.【详解】根据余弦定理，对比，可知，于是，根据面积公式得，故答案为C.本题主要考查余弦定理和面积公式的运用，比较基础.10、C【解析】试题分析：依题意有，解得，所以.考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．11、D【解析】分析：根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上都有，进而将不等式变形转化可得或，解可得x的取值范围，即可得答案.详解：根据题意，设，其导数，又当时，，则有，即函数在上为减函数，又，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在区间和上都有，又由为奇函数，则在区间和上都有，或，解可得：或.则x的取值范围是.故选：D.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析与的解集.12、D【解析】

执行循环，根据判断条件确定结束循环，输出结果.【详解】第1步：a＝7-2n＝5，a＞0成立，S＝S＋a＝5，n＝2；第2步：a＝7-2n＝3，a＞0成立，S＝S＋a＝8，n＝3；第3步：a＝7-2n＝1，a＞0成立，S＝S＋a＝1，n＝4；第4步：a＝7-2n＝－1，a＞0不成立，退出循环，输出S＝1．选D.本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求直线AB的方程，再利用弦长公式求.【详解】由题得抛物线的焦点为，所以直线AB的方程为，即.把代入得，所以=.故答案为：本题主要考查抛物线的弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、【解析】

求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．【详解】，是的极值点，，即，解得，，，由，得或；由，得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

的极小值为．

故答案为：．本题考查了利用导数研究函数的极值，属中档题．15、【解析】

将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数的取值范围．【详解】作出的函数图象如图所示：画出函数的图象，由图象可知当时，有1零点，当时，有3个零点；当或时，有2个零点。故答案为.本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题.16、【解析】

根据模长公式求出，即可求解.【详解】，复数的实部为.故答案为：.本题考查复数的基本概念以及模长公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】【试题分析】（1）先利用直角坐标与极坐标之间的关系将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，运用消参法将直线的参数方程化为直角坐标方程；（2）由于曲线是圆心，半径是，先求圆心到直线的距离是，再运用弦心距、半径、弦长之间的关系求出．解：（1）曲线的极坐标方程可以化为：，所以曲线的普通方程是：即，直线的普通方程是，即；（2）圆心到直线的距离是，所以．18、(1)；(2)见解析.【解析】

分析：（1）由数据可得：,从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得回归方程；（2），结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：（1）由令得，由数据可得：,,于是，得故所求回归方程为（2）条件，于是求出，即6年中有3年是“效益良好年”，，由题得，012所以的分布列如表所示，且。点睛：本题主要考查非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于难题.是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程.19、（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

（I）连接，交于，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明平面；（Ⅱ）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，并设，计算出平面的一个法向量，记直线平面所成角为，于是得出可得出直线与平面所成角的正弦值。【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为在面内，不在面内，所以面；（Ⅱ）以，，为，，轴建立空间直角坐标系（不妨设）.所以，，，，设面的法向量为，则，解得.因为，记直线平面所成角为.所以.本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的计算，常见的有定义法和空间向量法，可根据题中的条件来选择，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。20、(1)见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.试题解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角为直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中点，连接，.∵四边形为正方形，∴，∴，即为二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值为.（3）取的中点，连接，∵，二面角为直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.点睛：立体几何的证明需要对证明的逻辑关系清楚，证明线线垂直，先由线面垂直得到线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；用普通法求二面角，讲究“一作、二证、三求”，通过辅助线先把二面角的平面角及计算所需线段作出来，再证明所