湖南省湘东六校2025年高二下数学期末检测模拟试题含解析

湖南省湘东六校2025年高二下数学期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等式x4+a1x3+A．(1,2,3,4)B．(0,3,4,0)C．(0,-3,4,-1)D．(-1,0,2,-2)2．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．12 B．10C．9 D．3．若a∈R，则“a=2”是“|a|=2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．直线与圆有两个不同交点的充要条件是（）A． B． C． D．5．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是()A． B．C． D．6．集合，则（）A． B． C． D．7．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（）A． B． C． D．8．在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为（）A． B．2 C． D．9．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了,当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为（）A． B．C． D．10．函数的极大值为（）A．3 B． C． D．211．已知集合，，则（）A． B． C． D．12．若复数（）不是纯虚数，则（）A． B． C． D．且二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．己知函数，则不等式的解集是_______.14．若实数满足条件则的取值范围为____________.15．已知离散型随机变量服从正态分布，且，则____.16．数列中，已知，50为第________项.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知矩形内接于圆柱下底面的圆O，是圆柱的母线，若，，异面直线与所成的角为，求此圆柱的体积.18．（12分）已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.19．（12分）已知函数.（1）若的最小值为3，求实数的值；（2）若时，不等式的解集为，当时，求证：.20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设动点在圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，且直角坐标系中，点的横坐标大于点的横坐标，求点的直角坐标.21．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.（1）证明：对任意，总有∥平面；（2）当的长度最小时，求二面角的平面角的余弦值．22．（10分）某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目:通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有可能结果为:获利、损失、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为；项目:新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利、亏损，且这两种情况发生的概率分别为.经测算，当投入两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.(1)求的值;(2)若将万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：本题可以采用排除法求解，由题设条件，等式左右两边的同次项的系数一定相等，故可以比较两边的系数来排除一定不对的选项，由于立方项的系数与常数项相对较简单，宜先比较立方项的系数与常数项，由此入手，相对较简．解：比较等式两边x3的系数，得4=4+b1，则b1=1，故排除A，D；再比较等式两边的常数项，有1=1+b1+b2+b3+b4，∴b1+b2+b3+b4=1．故排除B故应选C考点：二项式定理点评：排除法做选择题是一种间接法，适合题目条件较多，或者正面证明、判断较困难的题型．2、C【解析】

先利用等比中项的性质计算出的值，再利用对数的运算性质以及等比中项的性质得出结果．【详解】由等比中项的性质可得，等比数列的各项均为正数，则，由对数的运算性质得，故选C.本题考查等比中项和对数运算性质的应用，解题时充分利用这些运算性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题．3、A【解析】

通过充分必要条件的定义判定即可.【详解】若a=2，显然|a|=2；若|a|=2，则a=±2，所以“a=2”是“|a|=2”的充分而不必要条件，故选A.本题主要考查充分必要条件的相关判定，难度很小.4、A【解析】

由已知条件计算圆心到直线的距离和半径进行比较，即可求出结果【详解】圆，圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式：，，故选本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意将其转化为圆心到直线的距离，然后和半径进行比较，较为基础．5、C【解析】

根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论.【详解】根据的图象可知，当或时，，所以函数在区间和上单调递增；当时，，所以函数在区间上单调递减，由此可知函数在和处取得极值，并且在处取得极大值，在处取得极小值，所以的图象最有可能的是C.故选：C.本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反.6、B【解析】,，故选B.7、C【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排数字1，可以排出个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排1，可以排出个四位数，则一共有个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.8、C【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标可得和，圆心到直线的距离，故，所以应选C.考点：极坐标方程与直角坐标之间的互化．【易错点晴】极坐标和参数方程是高中数学选修内容中的核心内容，也是高考必考的重要考点.解答这类问题时，一定要扎实掌握极坐标与之交坐标之间的关系，并学会运用这一关系进行等价转换.本题在解答时充分利用题设条件，运用将极坐标方程转化为直角坐标方程，最后通过直角坐标中的运算公式求出弦长，从而使问题巧妙获解.9、C【解析】

分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案．解答：解：根据他先前进了akm，得图象是一段上升的直线，由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b＜a），得图象是一段下降的直线，由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，综合，得图象是C，故选C．点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．10、B【解析】

求得函数的导数，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解.【详解】由题意，函数，则，令，即，解得或，令，即，解得，即函数在上函数单调递增，在上函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值，故选B.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11、B【解析】

先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】因为所以.故选：B本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、A【解析】

先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案．【详解】若复数（）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：，则复数（）不是纯虚数，故选A本题考查虚数的分类，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意，分析可得函数f（x）＝x2（2x﹣2﹣x）为奇函数且在R上是增函数，则不等式f（2x+1）+f（1）0可以转化为2x+1﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）＝（﹣x）2（2﹣x﹣2x）＝﹣x2（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，函数f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），其导数f′（x）＝2x（2x﹣2﹣x）+x2•ln2（2x+2﹣x）＞0，则f（x）为增函数；不等式f（2x+1）+f（1）0⇒f（2x+1）﹣f（1）⇒f（2x+1）f（﹣1）⇒2x+1﹣1，解可得x﹣1；即f（2x+1）+f（1）0的解集是[﹣1,+∞）；故答案为[﹣1,+∞）．本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．14、【解析】分析：根据满足条件画出可行域，然后分析的最值详解：满足条件即，画出可行域：根据可行域可知，目标函数在A点处取得最小值，在C点处取得最大值，所以的取值范围为点睛：点睛：线性规划要能够准确画出可行域，尤其是判断每一个不等式代表的是直线的左侧还是右侧时不能出错，常用带点方法判断比较准确。15、【解析】∵随机变量X服从正态分布，∴μ=1，得对称轴是x=1．∵，∴P（1<ξ<3）==0.468，∴P（1＜ξ＜3）=0.468=．故答案为．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－1σ<X≤μ＋1σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.16、4【解析】

方程变为，设，解关于的二次方程可求得。【详解】，则，即设，则，有或取得，，所以是第4项。发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。对于指数结构，，等，都可以通过换元变为二次形式研究。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

根据底面圆的内接矩形的长和宽求出圆的半径，再由母线垂直于底面和“异面直线与所成的角为”求出母线长，代入圆柱的体积公式求出值．【详解】解：设圆柱下底面圆的半径为，连，由矩形内接于圆，可知是圆的直径，，得，由，可知就是异面直线与所成的角，即，．在直角三角形中，，圆柱的体积．本题考查了圆柱的体积求法，主要根据圆内接矩形的性质、母线垂直于底面圆求出它的底面圆半径和母线，即关键求出半径和母线长即可．18、（1）（2）【解析】

（1）由定义域为，只需求解的最小值，即可得实数的取值范围；（2）根据（1）求得实数的值，利用基本不等式即可求解最小值．【详解】（1）函数的定义域为.对任意的恒成立，令，则，结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围.（2）由（1）得，则，所以，，当且仅当，即，，时等号成立，的最小值为.本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题.19、（1）或；（2）证明见解析.【解析】

（1）利用绝对值不等式得到，计算得到答案.（2）去绝对值符号，解不等式得到集合，利用平方作减法判断大小得证.【详解】（1）因为（当且仅当时取“=”）.所以，解得或.（2）当时，.当时，由，得，解得，又，所以不等式无实数解；当时，恒成立，所以；当时，由，得，解得，又，所以；所以的解集为..因为，所以，所以，即，所以.本题考查了绝对值不等式，绝对值不等式的证明，讨论范围去绝对值符号是解题的关键.20、(1)的直角坐标方程是.直线的普通方程为.(2).【解析】

（1）消去参数后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.（2）设点，则，利用在椭圆上可得的直角方程，联立直线的普通方程和的直角坐标方程可得的直角坐标.【详解】解：（1）由，得，将互化公式代上式，得，故圆的直角坐标方程是.由，得，即.所以直线的普通方程为.（2）设点.由中点坐标公式得曲线的直角坐标方程为.联立，解得，或.故点的直角坐标是.极