北京市牛栏山一中2024-2025学年高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

北京市牛栏山一中2024-2025学年高二数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．202．命题“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．-3 B．-2C．2 D．34．已知，记，则M与N的大小关系是()A． B． C． D．不能确定5．已知点P的极坐标是，则过点P且平行极轴的直线方程是A． B． C． D．6．函数的图象可能是（）A． B．C． D．7．已知的周长为9，且，则的值为（）A． B． C． D．8．有一项活动,在4名男生和3名女生中选2人参加,必须有男生参加的选法有（）种.A．18 B．20 C．24 D．309．设随机变量X的分布列如下：则方差D(X)＝（）．A． B． C． D．10．下列命题中不正确的是（）A．空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B．空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C．空间中和两条平行直线都垂直的两个平面平行D．空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行11．已知函数则函数的零点个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.14．已知函数在时有极值，则_______.15．执行如图所示的程序框图则输出的实数m的值为______．16．用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有种．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某种子培育基地新研发了两种型号的种子，从中选出90粒进行发芽试验，并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下列联表：（1）将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关；（2）若按照分层抽样的方式，从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本，并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子，设取出的型号的种子数为，求的分布列与期望.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中.18．（12分）已知四棱锥的底面为等腰梯形,,垂足为是四棱锥的高,为中点,设（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．19．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）求的值.20．（12分）已知函数，，，其中为常数且，令函数．（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域．21．（12分）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求证：.22．（10分）命题：函数的两个零点分别在区间和上；命题：函数有极值.若命题，为真命题的实数的取值集合分别记为，.（1）求集合，；（2）若命题“且”为假命题，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。详解：，，代入方程，解得，故选B点睛：回归直线方程必过样本中心。2、A【解析】

根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“，使”的否定是“，使”.故选A本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型.3、C【解析】

根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．4、B【解析】

作差并因式分解可得M-N=，由，∈（0，1）可作出判断．【详解】由题意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N

故选B.本题考查作差法比较式子大小，涉及因式分解，属基础题．5、D【解析】分析：把点的极坐标化为直角坐标，求出过点且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点的极坐标化为直角坐标为故过点且平行极轴的直线方程是，

化为极坐标方程为，

故选D．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．6、A【解析】

求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【详解】解：当时，，则，若，，，若，，，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，

故选：A.本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.7、A【解析】

由题意利用正弦定理可得,再由余弦定理可得cosC的值．【详解】由题意利用正弦定理可得三角形三边之比为3：2：4，再根据△ABC的周长为9，可得．再由余弦定理可得cosC，故选A．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，求得是解题的关键，属于中档题．8、A【解析】

分类：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【详解】若人中有人是男生，则有种；若人都是男生，则有种；则共有种选法.排列组合中，首先对于两个基本原理：分类加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列组合综合问题的基础.9、B【解析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出详解：故选点睛：本题考查了随机变量的分布列的相关计算，解答本题的关键是熟练掌握随机变量的期望与方差的计算方法10、D【解析】

作出几何体，根据图像，结合线面、面面间的关系，即可得出结果.【详解】如下图，m∥n，且m，n与底面α、左面β都平行，但α、β相交，所以，D不正确．由面面平行的判定可知A、B、C都正确．故选D本主要考查空间中，直线、平面间的位置关系，熟记线面、面面位置关系，即可求出结果.11、B【解析】画出函数的图像如图，由可得，则问题化为函数与函数的图像的交点的个数问题。结合图像可以看出两函数图像的交点只有两个，应选答案B。点睛：解答本题的关键是依据题设条件，在平面直角坐标系中画出函数的图像，借助图像的直观将方程的解的个数问题等价转化为两个函数的图像的交点的个数问题，体现了等价转化与化归的数学思想及数形结合的数学思想的灵活运用。12、C【解析】

根据图像最低点求得，根据函数图像上两个特殊点求得的值，由此求得函数解析式，进而求得的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得，解得，故，所以，故选C.本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.14、【解析】

函数在时有极值，由，代入解出再检验即可。【详解】由题意知又在时有极值，所以或当时,与题意在时有极值矛盾，舍去故，故填本题考查根据函数的极值点求参数，属于中档题，需要注意的是求解的结果一定要检验其是否满足题意。15、1【解析】

先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．【详解】模拟执行程序，可得，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出m的值为1．故答案为：1．本题考查程序框图要掌握常见的当型、直到型循环结构；以及会判断条件结构，并得到条件结构的结果；在已知框图的条件下，可以得到框图的结果．16、240【解析】试题分析：先涂（3）有5种方法，再涂（2）有4种方法，再涂（1）有3种方法，最后涂（4）有4种方法，所以共有5×4×3×4=240种涂色方法．考点：排列、组合.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)有99%的把握认为发芽和种子型号有关(2)见解析【解析】

根据表格完成表格的填空并计算出做出判断的可能值为0，1，2，3分别计算出概率，然后计算期望【详解】（1）所以有99%的把握认为发芽和种子型号有关.（2）按分层抽样的方式抽到的20粒种子中，型号的种子共4粒，型号的种子共16粒，所以的可能值为0,1,2,3，，，，所以的分布列为.本题考查了的计算和分布列与期望，只要将联表补充完整，按照计算方法即可求出，继而可以求出分布列与期望，较为基础。18、（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明·＝0即得PE⊥BC.（2）利用线面角的向量公式求直线与平面所成角的正弦值．详解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，则D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因为·＝-＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知条件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则，即，因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查直线平面所成角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.19、（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出，将已知等式代入即可求出的值；（2）由可求出的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果.试题解析：（1）由，得，根据余弦定理得；（2）由，得，∴，，∴．20、（1），，.（2）.【解析】解：(1)f(x)＝，x∈[0，a]，(a>0)．(2)函数f(x)的定义域为[0，]，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈[1，]，f(x)＝F(t)＝＝，∵t＝时，t＝±2∉[1，]，又t∈[1，]时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈[，]．即函数f(x)的值域为[，]．21、(1).(2)见详解.【解析】

(1)设公差为，由已知条件列出方程组，解得，解得数列的通项公式.(2)得出，可由裂项相消法求出其前项和，进而可证结论.【详解】(1)设等差数列的公差为().由题意得则化简得解得所以.(2)证明：，所以.本题考查等差数列和等比数列的基本量运算、裂项相消法求和、不等式的证明.通项公式形如的数列，可由裂项相消法求和.22、（1），或；（2）或【解