北京市西城区第14中学2024-2025学年高二下数学期末达标检测模拟试题含解析

北京市西城区第14中学2024-2025学年高二下数学期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于（）A． B． C． D．2．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．3．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B．C． D．4．已知变量，之间的一组数据如下表：13572345由散点图可知变量，具有线性相关，则与的回归直线必经过点（）A． B． C． D．5．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米A． B．C． D．6．焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．C．或 D．7．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A．求a，b，c三数中的最大数 B．求a，b，c三数中的最小数C．将a，b，c按从小到大排列 D．将a，b，c按从大到小排列8．复数z满足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i9．已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）A． B． C． D．10．若集合，，则（）A． B． C． D．11．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小12．已知离散型随机变量的分布列如下，则（）024A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图1，在棱长为的正方体中，P、Q是对角线上的点，若，则三棱锥的体积为________14．若的展开式中的常数项为，则实数的值为______.15．抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.16．已知向量，且，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.18．（12分）已知数列的前项和为，，（）．（1）求数列的通项公式；（2）设（），数列的前项和为，证明：（）．19．（12分）已知函数，若函数有两个零点，.（1）求的取值范围；（2）证明：20．（12分）已知,且.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.21．（12分）已知集合，.（1）若，，求实数的取值范围；（2）若，且，求实数的取值范围.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据二项分布的数学期望计算，即可得出答案。【详解】根据题意可得出，即所以故选C本题考查二项分布，属于基础题。2、B【解析】分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积.详解：因为，所以所以由直线与曲线围成的封闭图形的面积是,选B.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．3、B【解析】

先求出所求直线的斜率，再写出直线的点斜式方程化简整理即得解.【详解】由题得直线的斜率为所以直线的方程为，即：故选B本题主要考查相互垂直的直线的斜率关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解析】

由表中数据求出平均数和即可得到结果.【详解】由表中数据知，，，则与的回归直线必经过点.故选：C．本题主要考查回归分析的基本思想及应用，理解并掌握回归直线方程必经过样本中心点，属基础题.5、D【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米，故截面中阴影部分的面积S=平方米，又由圆柱形的罐子的高h=9米，故水的体积V=Sh=48立方米，故选D．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档．6、A【解析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．7、B【解析】

根据框图可知，当a>b时，把b的值赋给a，此时a表示a、b中的小数；当a>c时，将c的值赋给a，a表示a、c中的小数，所以输出a表示的是a，b，c中的最小数.【详解】由程序框图，可知若a>b，则将b的值赋给a，a表示a，b中的小数；再判断a与c的大小，若a>c，则将c的值赋给a，则a表示a，c中的小数，结果输出a，即a是a，b，c中的最小数．本题考查程序框图的应用，解题的关键是在解题的过程中模拟程序框图的运行过程，属于基础题.8、D【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】z=2i1-i=2i(1+i)本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9、B【解析】解析：因，故，因，故，则，所以，应选答案B．10、A【解析】

分别化简集合和，然后直接求解即可【详解】∵，，∴.本题考查集合的运算，属于基础题11、D【解析】

先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】，，，∴先增后减，因此选D.12、B【解析】

先计算，再根据公式计算得到【详解】故答案选B本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

棱锥的体积转化为的体积，求出底面积与高，从而可得结果.【详解】到平面的距离是面对角线的一半，即，到直线的距离即到直线的距离，，，棱锥的体积等于的体积，本题主要考查锥体体积公式的应用，解题的关键是利用等积变换，将棱锥的底面积与高确定，属于基础题.14、【解析】

求出的展开式的通项，令的指数为0，求出常数项，建立的方程，即可求解.【详解】依题意展开式的通项公式为.令，得，所以展开式中的常数项为，解得.故答案为：本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.15、【解析】

先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案为：．本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16、2【解析】由题意可得解得.【名师点睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的运算：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望是【解析】

（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.【详解】解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率.（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列为：0123∴.本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础.18、(1)(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由数列递推式结合，可得（），然后利用累积法求得数列通项公式；（2）把数列的通项公式代入()，然后利用裂项相消法求和，放缩得答案试题解析：（1）当时，，解得；当时，，，以上两式相减，得，∴，∴，∴（2）当时，；当时，，∴，∴（）．点睛：本题主要考查了这一常用等式，需注意的范围，累乘法求通项公式以及数列求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.19、(1)(2)见证明【解析】

（1）确定函数定义域，求导，讨论的范围确定函数的单调区间，最后得到的范围.（2）将，两个零点代入函数，通过化简得到：需证.转化为不等式，设函数求导根据单调性求最值得到证明.【详解】解；（1）函数的定义域为，当时，恒成立，则在递减，至多一零点当时，解得，解得，所以在递减.在递增函数要有两个零点，则最小值，解得经检验，即，则在有一个零点.又，，令，，则恒成立.所以在单调递增，即所以，即，则在必有一零点.所以时，函数有两个零点，（2）因为，为的两个零点，所以即，不妨碍，则即要证，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证，令，则，现在只需证设，则，所以在单调递增，即所以本题考查了函数的零点问题，证明不等式，技巧强，综合性大，意在考查学生综合应用能力.20、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；（Ⅱ）根据均值不等式和已知条件的灵活应用可以证明.【详解】证明Ⅰ，b，，且，，，当且仅当时，等号成立

Ⅱ，，，，，本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.21、（1）；（2）【解析】

结合指数函数和对数函数性质可分别求得集合和集合；（1）由交集定义得到，分别在和两种情况下构造不等式求得结果；（2）由并集定义得到，根据交集结果可构造不等式求得结果.【详解】（1）当时，，解得：，满足当时，，解得：综上所述：实数的取值范围为（2），解得：实数的取值范围为本题考查根据集合包含关系、交集结果求解参数范围的问题，涉及到指数函数和对数函数性质的应用；易错点是在根据包含关系求参数范围时，忽略子集可能为空集的情况，造成范围求解错误.22、（1）见解析（2）【解析】

（1）依据线面平行的判定定理，在面中寻找一条直线与平行，即可由线面平行的判定定理证出；(