浙江省上虞市春晖中学2025年数学高二第二学期期末经典试题含解析

浙江省上虞市春晖中学2025年数学高二第二学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数，则在点处的切线方程为（）A． B． C． D．2．已知函数，则的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种4．若，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C． D．5．设x，y满足约束条件，则的最小值是（）A． B． C．0 D．16．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是A． B． C． D．7．已知双曲线的离心率为，则m=A．4 B．2 C． D．18．设数列，()都是等差数列，若，则等于（）A．60 B．62 C．63 D．669．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．3 D．10．已知随机变量Xi满足P(Xi=1)=pA．E(X1B．E(X1C．E(X1D．E(X111．“x>1”是“log12A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件12．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”分别为那么的大小关系是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14．若实数，满足线性约束条件，则的最大值为_____________；15．从集合{1,2，…，30}中取出五个不同的数组成单调递增的等差数列，则所有符合条件的不同的数列个数是______．16．定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）(1)设是两个正实数，且，求证：；（2）已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根．18．（12分）某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时p的值；(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？19．（12分）已知，设命题：函数在上是增函数；命题：关于的方程无实根.若“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围.20．（12分）中，三内角所对的边分别为，已知成等差数列．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求角的取值范围．21．（12分）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89111．41．41．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．22．（10分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为，所以所以切线方程为选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.2、C【解析】

分段令，解方程即可得解.【详解】当时，令，得；当时，令，得.故选C.本题主要考查了分段函数零点的求解，涉及指数和对数方程，属于基础题.3、D【解析】

先排美国人和俄国人，方法数有种，剩下人任意排有种，故共有种不同的站法.4、B【解析】因为，所以圆心到直线的距离，所以，应选答案B。5、B【解析】

在平面直角坐标系内，画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线，直至当直线在纵轴上的截距最大时，求出此时所经过点的坐标，代入目标函数中求出的最小值.【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图：在可行解域内，平行移动直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大，点是直线和直线的交点，解得，，故本题选B.本题考查了线性规划求目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.6、B【解析】

设,得，且：,时,函数递减，或时,递增．结合复合函数的单调性：当a>1时,减区间为，不合题意，当0<a<1时,为增区间.∴，解得：.故选：B.复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．7、B【解析】

根据离心率公式计算．【详解】由题意，∴，解得．故选B．本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．8、A【解析】

设数列的公差为，则由题意可得，求得的值，得到数列的通项公式，即可求解得值，得到答案.【详解】由题意，数列，都是等差数列，且，设数列的公差为，则有，即，解得，所以，，所以，故选A.本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9、D【解析】分析：作出三视图的直观图，然后根据组合体计算体积即可.详解：如图所示：由一个三棱柱截取G-DEF三棱锥后所剩下的图形，故该几何体的体积为：，故答案为选D.点睛：考查三视图还原为直观图后求解体积的计算，对直观图的准确还原是解题关键，属于中档题.10、C【解析】

根据题目已知条件写出X1,【详解】依题意可知：X01P1-pX01P1-p由于12<p1<p2<1，不妨设本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.11、B【解析】

试题分析：log12考点：充分必要条件.12、D【解析】

由已知得到：，对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）=

令，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜β＜2

，且，选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.14、8【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数所表示直线，平移可得最大值取法.详解：作可行域，则直线过点A（2，1）时取最大值8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15、2【解析】

根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，d∈N*.确定d的可能取值为1，2，3，【详解】根据题意，设满足条件的一个等差数列首项为a1，公差为d，必有d∈则a5=a则d的可能取值为1，2，3，…，1．对于给定的d，a1=a5-4d≤30-4d，当a1分别取1，2，3，(如：d=1时，a1≤26，当a1分别取1，2，3，可得递增等差数列26个：1，2，3，4，5；2，3，…，6；…；26，21，…，30，其它同理)．当d取1，2，3，…，1时，可得符合要求的等差数列的个数为：12故答案为：2．本题主要考查了合情推理，涉及等差数列的性质，关键是确定d的取值范围，属于难题.16、【解析】

利用函数的奇偶性和单调性,可得对恒成立,通过参变分离即得且对恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到的取值范围.【详解】解:定义在R上的函数满足为偶函数对任意的不相等的实数，有成立在上单调递减,在上单调递增由在上恒成立得在上恒成立在上恒成立,即对恒成立此时且对恒成立设,则令,解得,随的变化如下表0当时,设,则当时,在上单调递减,即当时,则.综上所述,故答案为:.本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法.若对任意的不相等的实数,有成立,说明在区间上为减函数;若对任意的不相等的实数,有成立,说明在区间上为增函数.在解抽象不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解析】

(1)先证明，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可.【详解】(1)证明：∵，∴，∴，∴，而均为正数，∴，∴，∴成立．(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则，，．相加有，．①则，与由题意、、互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、(Ⅰ)0.2(Ⅱ)(ⅰ)(ⅱ)8【解析】

(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依题意知，，进而利用公式，即可求解；(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.【详解】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，∴，由，得.且当时，；当时，.∴的最大值点.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，∴.(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，由，得，且，∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19、【解析】

先求命题和命题为真时的范围，若“且”为假，“或”为真，则命题与命题一真一假，分类讨论真假与真假时的范围，再取并集即可.【详解】解：命题：在R上单调递增，，命题：关于的方程无实根，且，，解得命题且为假，或为真，命题与一真一假，①真假,则②真假，则所以的取值范围是本题考查指数函数的单调性、一元二次方程根与判别式的关系，简单逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力.20、(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)由成等差数列，可得，结合基本不等式和正弦定理可以证明出；(Ⅱ)运用余弦定理可以求出的表达式，利用重要不等式和(Ⅰ)中的结论，可以求出，结合余弦函数的图象和角是三角形的内角，最后可求出角的取值范围．【详解】解:(Ⅰ)成等差数列，，，即，当且仅当时取等号由正弦定理得(Ⅱ)由余弦定理，当且仅当时取等号由(Ⅰ)得，，，故角的取值范围是本题考查了等差中项的概念，考查了正弦定理、余弦定理、重要不等式和基本不等式，考查了余弦函数的图象，是一道综合性很强的题目.21、（1）1.36；（2）见解析，9.2【解析】

（1）先计算两次命中8环，9环，11环的概率，然后可得结果.（2）列出的所有可能结果，并分别计算所对应的概率，然后列出分布列，并依据数学期望的公式，可得结果.【详解】（1）两次都命中8环的概率为两次都命中9环的概率为两次都命中11环的概率为设该运动员两次命中的环数相同的概率为（2）的可能取值为8，9，11，，，的分布列为89111．16