浙江省浙东北联盟 2025届数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

浙江省浙东北联盟2025届数学高二第二学期期末达标检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx2．把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A． B．C． D．3．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两颗骰子向上点数不同”，事件B为“至少有一颗骰上点数为3点”则（）A． B． C． D．4．.从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，并且必须相邻（在的前面），共有排列方法（）种.A． B． C． D．5．设曲线在点处的切线方程为，则（）A．1 B．2 C．3 D．46．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（）A． B． C． D．7．已知复数，，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．8．设集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，则A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}9．已知位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是()A．众数为7 B．极差为19C．中位数为64.5 D．平均数为6410．已知,则()A． B． C． D．11．一工厂生产某种产品的生产量（单位：吨）与利润（单位：万元）的部分数据如表所示：从所得的散点图分析可知，与线性相关，且回归方程为，则（）A． B． C． D．12．已知双曲线的离心率为,过其右焦点作斜率为的直线，交双曲线的两条渐近线于两点（点在轴上方），则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以获胜的概率______14．已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________．15．的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则________.16．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.18．（12分）已知圆C经过点,且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于P,Q两点.（1）求圆C的方程；（2）若，求实数的值.19．（12分）在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足.(1)求(2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．（12分）三棱柱中，分别是、上的点，且，．设，，.（Ⅰ）试用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的长.．21．（12分）已知定义域为的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入（单位百元）频数赞成人数（1）由以上统计数据填下面列联表，并问是否有的把握认为“月收入以元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于百元的人数月收入低于百元的人数合计赞成__________________________________________不赞成__________________________________________合计__________________________________________（2）若对在、的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的人中不赞成“楼市限购令”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：，其中.参考值表：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

对各选项逐一判断即可，利用在上为增函数，在上为减函数,即可判断A选项不满足题意，令，即可判断其在递增，结合复合函数的单调性判断法则即可判断B选项满足题意对于C,D，由初等函数性质，直接判断其不满足题意.【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在上为增函数，在上为减函数,所以y（3x﹣3﹣x）在R上为增函数，不符合题意；对于B，，所以是奇函数，令，则由，两个函数复合而成又，它在上单调递增所以既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数，符合题意，对于C，y＝x﹣1是反比例函数，是奇函数，但它在（﹣1，1）上不是减函数，不符合题意；对于D，y＝tanx为正切函数，是奇函数，但在（﹣1，1）上是增函数，不符合题意；故选：B．本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了复合函数单调性的判断法则及初等函数的性质，属于中档题。2、C【解析】取BD的中点E，连结CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱锥的侧视图，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面积S=××=，故选C.3、D【解析】

用组合数公式计算事件A和事件AB包含的基本事件个数，代入条件概率公式计算．【详解】解：两颗骰子各掷一次包含的基本事件的个数是1．事件A包含的基本事件个数有，则．事件AB包含的基本事件个数为10，则．所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：，故选：D．本题考查条件概率，属于基础题．4、C【解析】

排列方法为,选C.5、D【解析】

利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题6、B【解析】

确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，可知，利用条件概率的计算公式，可得，故选B.本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、B【解析】

根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，，，且，所以，，化简得，，当时，取得最大值为.本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.8、D【解析】

根据交集定义求解．【详解】由题意A∩B={1,5}．故选D．本题考查集合的交集运算，属于基础题．9、C【解析】

根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数．【详解】根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A错误；极差是75﹣57＝18，B错误；中位数是64.5，C正确；平均数为60（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D错误．故选C．本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题．10、D【解析】分析：先根据诱导公式得，再利用二倍角公式以及弦化切得结果.详解：因为，所以,因此，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.11、C【解析】

根据表格中的数据计算出和，再将点的坐标代入回归直线方程可求出实数的值.【详解】由题意可得，，由于回归直线过样本中心点，则有，解得，故选：C.本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.12、B【解析】

由双曲线的离心率可得a＝b，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），联立渐近线方程，求得B，C的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值．【详解】由双曲线的离心率为，可得ca，即有a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x，设右焦点为（c，0），过其右焦点F作斜率为2的直线方程为y＝2（x﹣c），由y＝x和y＝2（x﹣c），可得B（2c，2c），由y＝﹣x和y＝2（x﹣c）可得C（，），设λ，即有0﹣2c＝λ（0），解得λ＝1，即则1．故选：B．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用二项分布可求甲以获胜的概率.【详解】设“甲班以3:1”获胜为事件.若甲班以3:1获胜，则前3局甲班恰好胜2局，然后第4局胜．所以，.故答案为:.本题考查古典概型的概率的计算，注意利用常见的分布（如二项分布、超几何分布等）来帮助计算概率，本题为基础题.14、【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15、1【解析】

分别求得各项系数和与各项的二项式系数和，从而求得的值．【详解】解：在的展开式中，令可得设各项的系数和为，而各项的二项式系数和为，，故答案为：1．本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．16、【解析】

由曲线y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b的取值范围．【详解】由曲线y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，∴圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，即∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线y=3+，得y=3，把（4，3）代入直线y=x+b，得bmin=3﹣4=﹣1，②联立①②，得．∴实数b的取值范围是[﹣1，1+2]．故答案为.本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式在上有解，那么在上，.但在上的单调性不确定，故需分三种情况讨论.解析：（1），①当时，在上，在上单调递增；②当时，在上；在上；所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于.①当，即时，由（1）可知在上单调递增，在上的最小值为，由，可得，②当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上的最小值为，由，可得；③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去.综上所述，实数的取值范围为.点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在上有解”可以转化为“在上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在上，有”.18、（1）；（2）0【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0.19、(1)见解析.(2)见解析.【解析】试题分析：（I）由，n分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想；（II）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当时，，∴或(舍,).当时，，∴．当时，，∴．猜想：.(2)证明：①当时，显然成立．②假设时，成立，则当时，,即∴.由①、②可知，，.点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立．20、（1）（2）【解析】分析：（1）直接利用三角形加法和减法法则得到.(2)先求，再求MN的长.详解：（Ⅰ）（Ⅱ），，.：本题主要考查向量的运算法则和基底法，考查向量的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力.21、（1）；（2）【解析】

（1）先由求