天津市九校联考2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天津市九校联考2024-2025学年高三下学期第一次模拟数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合U=−2,0A．{−1,0,1} B．【答案】C【分析】由集合的交，补运算求解即可.【详解】因为U=所以∁U故选：C.2．已知x>0,y>0，则“A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得.【详解】对于函数y=x2025在R上单调递增，由x>0由函数y=lnx在(由上，lnx>lny有所以“x2025>y故选：A3．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则fA．f(x)C．f(x)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合f2【详解】由图象可知f(x)的图象关于原点对称，所以f对于A,f(对于B,f(x)=ln|x对于C,f(x)对于D,f(x)故选：B4．下列说法正确的是（

）A．一组数据1,B．在回归分析模型中，若决定系数R2C．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=8.932，根据小概率值α=0.01的独立性检验x【答案】B【分析】利用百分位数的定义计算可判断A；利用决定系数的意义可判断B；利用相关系数的意义可判断C；利用独立性检验的意义可判断D.【详解】对于A，由60%对于B，决定系数R2=1−i对于C，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1，故C错误；对于D，根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=8.932，根据小概率值α=0.01的独立性检验x故选：B.5．已知a=log3A．b>c>a B．c>b【答案】A【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可.【详解】a=b=0<所以b>故选：A6．已知x=π6是函数fA．5π12,0B．函数f(x)的图象可由yC．函数f(x)D．函数f(x)【答案】D【分析】根据题意，求得f(【详解】由x=π6可得cos(2×π6因为φ<π2，所以φ对于A中，由f(所以5π12,0对于B中，将函数y=2sin2x对于C中，由π6<x因为函数y=cosx在(0,对于D中，−π6<当2x−π3=−π2时，即当2x−π3=π2时，即x所以函数f(x)故选：D.7．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,A．x2−2y23=1 【答案】C【分析】根据题意可知△OPF2是等边三角形，进而可知双曲线浙近线OP的倾斜角为60【详解】如图，根据圆的性质可知∠O又点P在线段OF2中垂线上，则∠O故双曲线浙近线OP的倾斜角为60所以ba=tan将点(2,3)代入双曲线方程，得则双曲线方程为x2故选：C．8．已知数列an和bn的通项公式分别为an=3n,bn=n，在bm与bm+1之间插入数列an的前A．30 B．4944 C．9876 D．14748【答案】B【分析】由题意可得数列bn的前n项和Tn，数列an的前n项和S【详解】因为数列bn的通项公式为bn=所以数列bn的前n项和为T数列an的通项公式为an=所以数列an的前n项和为S所以i=3=1当n=8时，故选：B.9．《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，EF//AB且EF=34AB,△BCFA．211 B．239 C．3【答案】D【分析】将刍甍补成如图所示的三棱柱BCF−【详解】因为AB所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱BCF−ADN，取因为△BCF又因为平面BCF⊥平面ABCD，平面BC所以FG⊥平面又AB⊂平面所以FG又因为AB⊥BC，BC所以AB⊥平面所以三棱柱BC不妨设AB=h,△BC从而V2故选：D.二、填空题10．已知i是虚数单位，化简2+3i【答案】−【分析】根据复乘除法运算直接化简可得.【详解】2+故答案为：−11．在2x2−13【答案】−【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，确定r的值，代入即可求解.【详解】由二项式2x2−13令12−7r3=5，可得故答案为：−16012．已知圆心位于抛物线y2=4x焦点处的圆，与直线3x−4y+【答案】x【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线AB的距离d【详解】易知抛物线y2=4x的焦点为F1,0故圆F的半径为r=因此，所求圆的标准方程为x−故答案为：x−13．某校为增强学生文化底蕴，传承天津传统文化，开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团．假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入，则两人都选择软笔书法社团的概率为；每位同学只能加入一个社团，那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下，两人选择不同社团的概率为．【答案】125【分析】两位同学选择相互独立，每位同学选择软笔书法社团的概率相等，按照分步乘法公式求出结果，第二小空为条件概率，根据条件概率公式求解.【详解】一个人选择软笔书法社团的概率为15，所以两人都选择软笔书法社团的概率为1设两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团为事件A,两人选择不同社团为事件B,事件A分为只有一人参加杨柳青年画社团和两人同时参加杨柳青年画社团两种情况，所以P(A根据条件概率计算公式P(故答案为：125；814．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=π3,|AB|=3,|AD|=2，点E为BC【答案】−54【分析】由题意得EF=λAB+μAD【详解】由题意E所以λ+设AFEFFGE=−=−设y=−4故y=从而当点F为线段AD上的动点时，EF⋅故答案为：−54；15．已知函数f(x)=ax2【答案】−【分析】首先分析得a≠0且Δ=4−4a>0【详解】若a=0，则f(x)=a当a>0Δ=4其零点不超过两个，从而必然有a≠0且f(x)=a如图，当0<a<1时，设直线l1与y=ax2且l1,l2经过直线由求根公式可求得点B的横坐标为xB=−所以要满足题意的话，那么当且仅当kl1<kl显然有kl联立直线y=klax2+kl1+舍去kl1=−4一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点，从而kl所以0<a<即0<a<当a<0时，设直线l1与y=ax2+2且l1,l2经过直线由求根公式可求得点B的横坐标为xB=−所以要满足题意的话，那么当且仅当kl2<kl显然有kl联立直线y=klax2+−kl1舍去kl1=2+一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点，从而kl所以a<0时，即a<01−a综上所述，所求为−3故答案为：−3三、解答题16．在△ABC中，角A,B(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin2【答案】(1)27(2)427(3)62【分析】（1）应用正弦边角关系及已知可得b=（2）根据已知得sinC=2（3）由（2）及已知有cosB=1【详解】（1）由题设及正弦边角关系得5ac=3b由余弦定理有c2=a（2）由cosC=15且由正弦定理bsinB=（3）由上b<c，故B为锐角，则所以sin2B=所以sin217．如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥(1)求证：MC//(2)求直线CM与平面S(3)求点M到平面SA【答案】(1)证明见解析(2)π(3)2【分析】（1）根据中位线的性质可证明四边形BC（2）根据线线垂直可得OB⊥平面SAC，即可知∠B（3）由线面角的大小，即可求解.【详解】（1）取SA的中点为N，连接B由于M为SD所以NM//又BC//因此BC//MN故MCMC⊄平面SAB，所以MC//（2）由（1）知：MC所以直线BN与平面SAC的夹角即为直线C取AC的中点为O，连接O由于AB=B又SA⊥平面ABCDAC∩S故OB⊥平面SAC，所以∠B由于OB所以tan∠由于∠BNO故直线CM与平面SAC（3）由（2）知直线CM与平面SACMC故点M到平面SAC的距离为18．已知椭圆C:x2a2+y2b(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,−3)的动直线l与椭圆C交于不同的两点M,【答案】(1)x(2)0【分析】（1）由离心率的定义，三角形的面积，椭圆中a2（2）分直线l的斜率存在与否，当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立表示出韦达定理，再利用图形化简面积表达式，然后利用非对称韦达定理表示出面积表达式，再设t=x2【详解】（1）由题意可得e=又a2=b所以椭圆C的方程为x2（2）若直线l的斜率不存在，则M,若直线l的斜率存在，如图，设直线l的方程为y=联立x24+y2所以Δ=24k所以x1因为S△OM又x1x2因为x1+x所以x1因为k2>3所以x1x2设t=x2x1，由于M在P设ft=t令t+1t令t+1t=4故t∈所以S△19．已知等差数列an满足a2+a5=16(1)求数列an(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列1,2,3，一阶“H拓展”得到数列1,3,2,5,3；二阶“H拓展”得到数列1,（i）求数列bn（ii）设数列cn满足cn=anbn【答案】(1)a(2)（i）bn=【分析】（1）设数列{an}的公差为d，根据a（2）（i）根据bn=1+x1+（ii）当n为奇数时，利用错位相减法求和；当n为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶数项和相加即可得到数列cn的前2n项和【详解】（1）设数列{an}因为a2则2a1故an（2）(ⅰ)bnb=3所以bn即bn+1则{bn−bn(ⅱ)当n为奇数时，cn记A=则A=9A两式相减，得−8化简，得−2得A=n为偶数时，c记B=则B=9故T=1520．已知函数f((1)求函数f((2)若对0<a<1，函数(3)求证：对于任意正整数n，有12【答案】(1)答案见解析；(2)a>(3)证明见解析.【分析】（1）求出函数f(（2）求出函数F(x)的导数，进而求出其最大值，由F(x（3）利用（1）中信息，取a=1得x−1≥【详解】（1）函数f(x)=x当a≤0时，f′(x当a>0时，由