2025年中考数学复习专题 ★★　　二次函数综合题复习课件

2025年中考数学复习专题★★二次函数综合题

(2)连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；【分层分析】分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案．

1．(2022·贵阳第24题12分)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围是－1≤n≤1，求二次函数的解析式．解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2－4a＋b，∴二次函数图象的顶点坐标为(－2，－4a＋b)．(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－2，当a＞0时，抛物线开口向上，∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＞c＞e＝f；当a＜0时，抛物线开口向下，∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＜c＜e＝f.

2．(2021·贵阳第24题12分)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数解析式；(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．

(3)抛物线y＝－x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．如答图①所示，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如答图②所示，∵平移不改变图形形状和大小，∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m，∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围：①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，②8＋m≤8，得m≤0，由题意知m＞0，∴m≤0不符合题意，舍去，综上所述，m的取值范围是5≤m≤8.1．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2－2ax＋3a,顶点坐标为(m，n).(1)若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的解析式；(2)求n的最大值；(3)是否存在实数a(a＞1)，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由．

2．(2024·黔南州模拟)已知抛物线y＝ax2－4ax＋4a(a≠0)．(1)抛物线的顶点坐标为

；(2)当－1≤x≤2时，y的最大值为18，求出a的值；(3)在(2)的条件下，若A(m，y1)，B(m＋t，y2)是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)，当A，B两点在抛物线的对称轴的两侧时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t的取值范围．(2，0)解：(2)∵抛物线的顶点坐标是(2，0)，对称轴为直线x＝2，∴若a＜0，则当－1≤x≤2时，y的最大值为0，不符合题意，∴a＞0，抛物线开口向上，∵当x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y＝ax2－4ax＋4a取最大值18，∴18＝a×(－1)2－4a×(－1)＋4a，解得a＝2.(3)由(2)得y＝2x2－8x＋8，∵对称轴为直线x＝2，顶点为(2，0)，∴y最小值是0，∵A，B两点在对称轴两侧，即m＜2＜m＋t，最高点与最低点的纵坐标之差为2，∴抛物线最高点的纵坐标为2.∴当y＝2时，得2x2－8x＋8＝2，解得x1＝1，x2＝3.当m＝1时，则2＜m＋t≤3满足题意，解得1＜t≤2，当m＋t＝3时，则1≤m＜2满足题意；解得1＜t≤2.综上所述，t的取值范围为1＜t≤2.3．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，A(－3，－3)，B(1，－1)两点均在直线l上．(1)求出直线l的解析式；(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．

4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(－1，0)，(0，3)，(1，4)．(1)求二次函数的解析式；(2)当－1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值；(3)当－1≤x≤m时，函数y的取值范围为0≤y≤4，求m的取值范围；(4)点M的坐标为(n，2)，点N的坐标为(n＋4，2)，若线段MN与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．解：(1)y＝－x2＋2x＋3.(3)令y＝0可得，x1＝－1，x2＝3，当0≤y≤4，m的取值范围为1≤m≤3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)，∴当x＝－1时，最小值为y＝0，当x＝1时，最大值为y＝4.

类型二：二次函数与几何综合题(10年5考)

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－4x＋3a(a为常数，且a≠0)与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．(1)抛物线的对称轴为直线x＝

；(2)当抛物线经过原点时．①求抛物线所对应的二次函数解析式；②当m≤x≤m＋2(m为常数)时，y的最小值为－3，求m的值；(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为2a＋1，当以A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求a的值．2解：(2)①y＝x2－4x.②当m＋2<2，即m<0时，二次函数y＝x2－4x在x＝m＋2时取最小值．∴(m＋2)2－4(m＋2)＝－3，解得m1＝－1，m2＝1(舍去)．当m≤2≤m＋2，即0≤m≤2时，二次函数y＝x2－4x在x＝2时取最小值．此时最小值为22－4×2＝－4，不符合题意．当m>2时，二次函数y＝x2－4x在x＝m时取最小值，∴m2－4m＝－3，解得m3＝1(舍去)，m4＝3.综上所述，m的值为－1或3.(3)设抛物线的对称轴交AB于点K，连接PA，PB.在y＝x2－4x＋3a中，令x＝0得y＝3a，∴A(0，3a)，∴B(4，3a)，K(2，3a)．∴P(2，2a＋1)．∴PK＝|－a＋1|.以A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，由图可知，直角顶点为P，∴AK＝PK，∴2＝|－a＋1|，解得a＝－1或a＝3.∴a的值为－1或3.6．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0，3)，A(－3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)若D是线段AC上方抛物线上的一个动点(点D与A，C不重合)，求点D到直线AC的最大距离；(3)当t≤x≤t＋1时，函数y＝－x2＋bx＋c的最大值为－5，求t的值．解：(1)该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.

(3)把y＝－5代入y＝－x2－2x＋3中，解得x1＝2，x2＝－4，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，当t≤x≤t＋1时，函数y＝－x2＋bx＋c的最大值为－5，①当x＜－1时，x＝t＋1＝－4时，取得最大值，解得t＝－5；②当x＞－1时，x＝t＝2时，取得最大值．综上所述，t＝－5或2.7．如