湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高二（下）5月月考数学试卷(图片版含答案)

2024-2025学年湖北省沙市中学高二下学期5月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。5展开式中的常数项为()2.某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布N100,σ2)，且成绩不低于110分的人数为200，则此次考试数学成绩高于90分的人数约为()3.记sn为等比数列{an}的前n项和.若a4一a2=6，a5一a3=12，则=()4.曲线y=eax+x在点(0,1)处的切线与直线x一y+2=0垂直，则a=()5.公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是()A.B.C.D.7.设F1，F2是双曲线c：一=1(a>0,b>0)的左，右焦点，O是坐标原点.过F2作c的一条渐近线的垂线，垂足为P，若2PF1=F1F2，则c的离心率为()8.如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知等差数列{an}的前n项和为sn，若a1≠a2，且对于任意正整数n都有sn≥s2025，则()A.a1<0B.是公差为的等差数列C.s4049≤0D.彐n∈N*，anan+1<010.现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是()A.若自由放置，共有3125种不同的放法B.恰有一个盒子不放球，共有240种放法C.每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种D.将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种11.设函数则A.f(x)的单调递增区间为(—∞,B.f(x)有三个零点C.若关于x的方程[f(x)]2+(1—a)f(x)—a=0有四个不同实根，则a∈(0,1)D.若f(x)≤mx+m对于∀x≥0恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.斜率为1的直线l经过抛物线Y2=8x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为．13.已知函数上存在零点，则实数a的最小值为．14.现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作bn，即b1=0，则b4=，数列{bn}的通项公式bn=．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=lnx—ax2+2(a∈R).(1)若x=1是函数Y=f(x)的极值点，求a的值；(2)讨论f(x)的单调性．16.(本小题15分)已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．(1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列；(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率．17.(本小题15分)Z且则称数列{φn}为ξn的“四分差数列”.已知数列{bn}为数列{an}的“四分差数列”．(2)设an=n+1．①求{bn}的通项公式；②若数列{cn}满足且的前n项和为Tn，证明18.(本小题17分)已知椭圆的左焦点为F1，点在椭圆C上，且NF1⊥x轴.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点M0(1,4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；(3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．19.(本小题17分)已知函数f(x)=xlnx-λ(x-1)．(1)当x≥1时，f(x)≥0，求λ的取值范围；(2)函数g(x)=f(x)-λx2+(λ-1)x有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2)，证明：lnx1+3lnx2>4；(3)求证：+++…+<ln2n∈N*．2.B3.B7.C15.【详解】(1)由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞)，且“x=1是函数y=f(x)的极值点，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；:满足x=1是函数y=f(x)的极值点，因此当a≤0时，因为x>0，所以1—2ax2>0，则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当时，f′>0，f单调递增；当时，f′(x)<0，f(x)单调递减；则函数f(x)的单调增区间为单调减区间为综上可知：当a≤0时，f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间；当a>0时，函数f(x)的单调增区间为单调减区间为所以X的分布列如下，X012P121663(2)记第一次从甲袋随机摸出1个球，摸出的是1,2,3对应事件分别为A1,A2,A3，第二次摸到的是3号球为事件，所以P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=×+×+×=．所以{bn}的通项公式bn=n+1；18.【详解】(1):a2=b2+1，22联立:a2=4，:椭圆C的方程+=1．(2)“F1(1,0)，M0(1,4)，:F1M0中点坐标为:线段F1M0的垂直平分线的斜率为—，联立解得线段F1M0的垂直平分线与设M(x0,y0)，当y0=0时，F1M的垂直平分线方程为当y0≠0时，F1M的垂直平分线方程为，x0+1xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)+yx0+1xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)+yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(2),0)—1y=x+“线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(4),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)“yEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)+(xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)+2x0+1=x0+1)2EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),0)“(5,0),(3,0)也满足方程，19.【详解】(1)函数f(x)=xlnx—λ(x—1)，f′(x)=lnx+1—λ,且f(1)=0，①当λ≤1时，因为x≥1，故f′(x)≥0恒成立，此时f(x)单调递增，所以f(x)≥0成立；)时f′(x)≤0，此时f(x)单调递减，故f(x)≤f(1)=0，不满足题意；综上可知：λ≤1．因为函数有两个不同的极值点x1,x2(其中x1<x2)，故lnx1=2λx1,lnx2=2λx2．要证：lnx1+3lnx2