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四级数学考试卷及答案一、选择题（每题4分，共20分）1.函数f(x)=2x^3-3x^2+4在点x=1处的导数是：A.5B.7C.11D.132.已知向量a=(3,-2)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的数量积为：A.-4B.4C.0D.83.以下哪个函数是偶函数？A.f(x)=x^2+1B.f(x)=x^3-1C.f(x)=x^2-xD.f(x)=x^3+x4.以下哪个级数是收敛的？A.1+1/2+1/4+1/8+...B.1-1/2+1/4-1/8+...C.1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...D.1+1/2+1/3+1/4+...5.以下哪个矩阵是可逆的？A.|12||34|B.|10||00|C.|20||03|D.|11||12|二、填空题（每题4分，共20分）6.函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是_______。7.已知函数f(x)=sin(x)，求f'(x)=_______。8.向量a=(1,2)与向量b=(3,-1)的叉积是_______。9.已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求前n项和Sn=_______。10.已知矩阵A=|12||34|求矩阵A的行列式|A|=_______。三、解答题（每题15分，共30分）11.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的极值点。12.已知矩阵A=|12||34|求矩阵A的逆矩阵A^-1。四、证明题（每题15分，共15分）13.证明：对于任意实数x，有e^x>1+x。五、应用题（每题15分，共15分）14.一个工厂生产两种产品A和B，产品A的成本为10元/件，售价为15元/件；产品B的成本为20元/件，售价为30元/件。现在工厂有10000元的预算用于购买原材料。请问工厂应该如何分配预算，以使得总利润最大化？---答案：一、选择题1.B2.A3.A4.B5.C二、填空题6.07.cos(x)8.-59.2^(n+1)-210.-2三、解答题11.首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x1=1,x2=2/3。然后计算二阶导数f''(x)=6x-6，f''(1)=0，f''(2/3)=-2<0，所以x=2/3是极大值点，x=1是极小值点。12.矩阵A的逆矩阵A^-1=1/(-2)|-42||-31|四、证明题13.证明：令g(x)=e^x-1-x，求导得g'(x)=e^x-1。当x>0时，g'(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增；当x<0时，g'(x)<0，所以g(x)在(-∞,0)上单调递减。因此g(x)≥g(0)=0，即e^x≥1+x。五、应用题14.设生产产品A的预算为x元，则生产产品B的预算为(10000-x)元。总利润y=(15-10)(x/

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