山东临沂市临沭县第一中学2025届数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

山东临沂市临沭县第一中学2025届数学高二第二学期期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．由曲线和直线，，（）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为()．A． B． C． D．2．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．4．已知，的最小值为，则的最小值为（）A． B． C． D．5．若执行如图所示的程序框图，输出的值为，则输入的值是（）A． B． C． D．6．曲线上一点处的切线方程是（）．A． B．C． D．7．若，则()A．2 B．0 C．-1 D．-28．已知函数与的图象上存在关于对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．310．设函数，有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A． B． C． D．11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（）人．（K2≥k1）1．1511．111k13.8416.635A．12 B．6 C．11 D．1812．不等式x-5+A．-5,7 B．-∞,+∞C．-∞,-5∪7,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为．14．已知函数，若曲线在点处的切线经过圆的圆心，则实数的值为__________．15．已知函数在时有极值，则_______.16．样本中共有5个个体，其值分别为，0，1，2，1．则样本方差为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新高考最大的特点就是取消文理分科，除语文、数学、外语之外，从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全文（选择政治、历史、地理）的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生，女生各25人进行模拟选科.经统计，选择全文的人数比不选全文的人数少10人.（1）估计在男生中，选择全文的概率.（2）请完成下面的列联表；并估计有多大把握认为选择全文与性别有关，并说明理由；选择全文不选择全文合计男生5女生合计附：，其中.P（）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知非零向量，且，求证：．19．（12分）（）．（1）当时，求的单调区间；（2）若，存在两个极值点，，试比较与的大小；（3）求证：（，）．20．（12分）（12分）某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞qξ

0

1

2

3

p

6125a

b

24125(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。21．（12分）面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为SKIPIF1<0．求:（1）他们能研制出疫苗的概率；（2）至多有一个机构研制出疫苗的概率．22．（10分）如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.（1）求两点在球上的球面距离；（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用定积分求出阴影部分区域面积关于的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果．【详解】设阴影部分区域的面积为，则，，其中，令，得，当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且最小值为，因此，阴影部分区域面积的最小值为，故选C．本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．2、B【解析】分析：根据题意，将化简成斜率的表达形式；所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加1,。详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。由不等式组成的可行域可表示为：由图可知，斜率最小值为斜率最大值为所以斜率的取值范围为所以所以选B点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。3、C【解析】

根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.【详解】如图：抛物线的准线方程为，焦点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得,圆的圆心为，半径，可得的最大值为，由，可令，则，即，可得：，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值为故选：C本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.4、C【解析】

如图所示：在直角坐标系中，取点，，，得到的轨迹方程为，故，得到答案.【详解】如图所示：在直角坐标系中，取点，，，则，，满足，设，过点作垂直于所在的直线与，则的最小值为，即，根据抛物线的定义知的轨迹方程为：.取，故，即，当垂直于准线时等号成立.故选：.本题考查了向量和抛物线的综合应用，根据抛物线的定义得到的轨迹方程是解题的关键.5、C【解析】

将所有的算法循环步骤列举出来，得出不满足条件，满足条件，可得出的取值范围，从而可得出正确的选项.【详解】，；不满足，执行第二次循环，，；不满足，执行第三次循环，，；不满足，执行第四次循环，，；不满足，执行第五次循环，，；满足，跳出循环体，输出的值为，所以，的取值范围是.因此，输入的的值为，故选C.本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题.6、A【解析】

求导利用导数的几何意义求出曲线上一点处的切线斜率,再用点斜式写出方程即可.【详解】由题.故.故曲线上一点处的切线方程是.化简得.故选：A本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题.7、C【解析】令可得：，令，可得：，据此可得：-1.本题选择C选项.点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．8、D【解析】

由题意可知有解，即在有解，求导数，确定函数的单调性，可知m的范围.【详解】∵函数与的图象上存在关于对称的点，∴有解，∴，∴在有解，，∴函数在上单调递增，在上单调递增，∴，故选D.本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为在有解，属于中档题．9、C【解析】分析：先根据题意画出图形，由已知条件可知三角形为直角三角形，且，再根据直角三角形射影定理可求得所求投影的值.详解：根据题意画出图像如下图所示，因为，所以为中点，所以是圆的直径，所以.由于，所以三角形为等边三角形，所以，根据直角三角形射影定理得，即.故选C.点睛：本小题主要考查圆的几何性质，考查向量加法的几何意义，考查直角三角形射影定理等知识.属于中档题.10、B【解析】

先由题意得到方程在上仅有一个实根；令，得到函数与直线在上仅有一个交点；用导数的方法判断单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果.【详解】因为函数，有且仅有一个零点；所以方程在上仅有一个实根；即方程在上仅有一个实根；令，则函数与直线在上仅有一个交点；因为，由得，因为，所以；由得，因为，所以；所以，函数在上单调递减，在上单调递增；因此作出函数的大致图像如下：因为函数与直线在上仅有一个交点，所以，记得.故选B本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.11、A【解析】

由题，设男生人数x，然后列联表，求得观测值，可得x的范围，再利用人数比为整数，可得结果.【详解】设男生人数为，则女生人数为，则列联表如下：喜欢抖音不喜欢抖音总计男生女生总计若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则即解得又因为为整数，所以男生至少有12人故选A本题是一道关于独立性检验的题目，总体方法是运用列联表进行分析求解，属于中档题.12、B【解析】

利用绝对值三角不等式，得到x-5+x+3【详解】x-5x-5+x+3故答案选B本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：椭圆的左焦点为，右焦点为，根据椭圆的定义，，∴，由三角形的性质，知，当是延长线与椭圆的交点时，等号成立，故所求最大值为．考点：椭圆的定义，三角形的性质．14、【解析】

利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果.【详解】因为，，切线的斜率，所以切线方程为，即.因为圆的圆心为，所以，所以实数的值为-4,故答案为-4.本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.15、【解析】

函数在时有极值，由，代入解出再检验即可。【详解】由题意知又在时有极值，所以或当时,与题意在时有极值矛盾，舍去故，故填本题考查根据函数的极值点求参数，属于中档题，需要注意的是求解的结果一定要检验其是否满足题意。16、2【解析】

根据题中数据，求出平均值，再由方差计算公式，即可求出结果.【详解】因为，0，1，2，1这五个数的平均数为：，所以其方差为：.故答案为：.本题主要考查计算几个数的方差，熟记公式即可，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）列联表见解析，，理由见解析.【解析】

（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）由题先求得选择全文的有20人,不选全文的有30人,即可完成列联表,再代入公式求解,并与7.879比较即可.【详解】（1）由题中数据可知,男生总共25人,选择全文的5人,故选择全文的概率为（2）因为选择全文的人数比不选全文的人数少10人,男生、女生共有50人,所以选择全文的有20人,不选全文的有30人,由此完成列联表:选择全文不选择全文全计男生52025女生151025合计203050因为,所以至少有的把握认为选择全文与性别有关.本题考查古典概型的概率,考查利用独立性检验解决实际问题,考查数据处理能力.18、证明见解析【解析】

⇔．同时注意，，将要证式子等价变形，用分析法即可获证．【详解】解：∵∴，要证，只需证，只需证，只需证，只需证0，即，上式显然成立，故原不等式得证．用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立．注意应用条件⇔和．19、（1）递减，递增（2）（3）详见解析【解析】试题分析：（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+-2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+-2＞0恒成立，即lnt+-1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n-1＞0，即有n-1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证试题解析：（Ⅰ），定义域，，递减，递增（Ⅱ），，，，，（也可使用韦达定理）设，当时，，当时，，在上递减，，即恒成立综上述（Ⅲ）当时，恒成立，即恒成立设，即，考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用20、（I）1-P(ξ=0)=1-6125=119125，（II）【解析】(1)可根据其对立事件来求：其对立事件为：没有一门课程取得优秀成绩.(2)P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(建立关于p、q的方程，解方程组即可求解.(3)先算出a,b的值，然后利用期望公式求解即可.事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，iP(A1)=4（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-6（II）由题意知P(ξ=0)=P(P(ξ=3)=P(整理得pq=6125，p+q=1由p>q，可得p=3（III）由题意知a=P(ξ=1)=P(=45(1-p)(1-q)+b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=58Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2P(ξ=2)+3P(ξ=3)=921、（1）（2）【解析】试题分析：记A、B、C分别表示他们研制成功这件事，则由题意可得P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝．（1）他们都研制出疫苗的概率P（ABC）=P（A）•P（B）•P（C），运算求得结果．（2）他们能够研制出疫苗的概率等于，运算求得结果试题解析：设“A机构在一定时期研制出疫苗”为事件D，“B机构在一定时期研制出