湖北省武汉市钢城第四中学2025年高二下数学期末统考模拟试题含解析

湖北省武汉市钢城第四中学2025年高二下数学期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量与向量的模均为2，若，则它们的夹角是（）A． B． C． D．2．若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：13．A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:①②③④其中是一阶整点的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④5．已知二项式的展开式的第二项的系数为，则（）A． B． C．或 D．或6．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A．0795 B．0780 C．0810 D．08157．若复数是虚数单位），则的共轭复数（）A． B． C． D．8．展开式中第5项的二项式系数为（）A．56 B．70 C．1120 D．-11209．在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．10．已知向量，若，则（）A． B． C． D．11．点A、B在以PC为直径的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面积是24π，则异面直线PB和AC所成角余弦值为（）A．33 B．32 C．1012．已知函数是定义在上的奇函数，且以2为周期，当时，，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．极坐标方程为所表示的曲线的离心率是______．14．的展开式中的系数为，则__________．15．在北纬圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于（为地球半径），则这两地间的球面距离为_______.16．设函数在上是增函数，则实数的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）设是的两个零点，证明：．18．（12分）在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分别为PB,AC的中点,（１）求证:MN//平面PAD（２）求点B到平面AMN的距离19．（12分）伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人数510151055使用手机支付人数31012721（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用不适用合计（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；参考数据如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828参考格式：，其中20．（12分）已知椭圆的左右顶点分别是，，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线（C点不同A、B）与直线交于R，D为线段的中点，证明：直线与曲线E相切；21．（12分）已知过抛物线y2=2pxp>0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于（1）求抛物线的方程;（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+λ22．（10分）已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由题意结合数量积的运算法则可得，据此确定其夹角即可.【详解】∵，∴，∴，故选A.本题主要考查向量夹角的计算，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、B【解析】

设这个圆柱的母线长为，底面半径为，根据已知条件列等式，化简可得答案.【详解】设这个圆柱的母线长为，底面半径为，则，化简得，即，故选：B本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.3、D【解析】分析：根据公式，可直接计算得详解：，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略中的负号导致出错.4、D【解析】

根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．【详解】对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；

对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．

故选D．本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”．5、A【解析】分析：根据第二项系数，可求出；由定积分基本性质，求其原函数为，进而通过微积分基本定理求得定积分值。详解：展开式的第二项为所以系数，解得所以所以选A点睛：本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题。6、A【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为所以抽取的第40个数为选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.7、D【解析】

根据复数除法运算法则可化简复数得，由共轭复数定义可得结果.【详解】本题正确选项：本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算法则化简复数，属于基础题.8、B【解析】分析：直接利用二项展开式的通项公式求解即可.详解：展开式的通项公式为则展开式中第5项的二项式系数为点睛：本题考查二项展开式的通项公式，属基础题.9、C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10、C【解析】

首先根据向量的线性运算求出向量，再利用平面向量数量积的坐标表示列出方程，即可求出的值．【详解】因为，，所以，因为，所以，即，解得或，又，所以．故选：C．本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量数量积的坐标表示，属于基础题．11、C【解析】

首先作出图形，计算出球的半径，通过几何图形，找出异面直线PB和AC所成角，通过余弦定理即可得到答案.【详解】设球O的半径为R,则4πR2=24π，故R=6，如图所示：分别取PA,PB,BC的中点M,N,E，连接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因为E为BC的中点，则AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M本题主要考查外接球的相关计算，异面直线所成角的计算.意在考查学生的空间想象能力，计算能力和转化能力，难度较大.12、A【解析】

根据题意可得：，代入中计算即可得到答案。【详解】由于；因为函数是定义在上的奇函数，且以2为周期；所以又因为，所以；故答案选A本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

将极坐标方程化为直角坐标方程，即可求得曲线的离心率.【详解】极坐标方程，展开化简可得，即，因为代入可得则曲线为双曲线，由双曲线标准方程可知，所以双曲线离心率为，故答案为：.本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，双曲线离心率的求法，属于基础题.14、【解析】由条件知的展开式中的系数为：解得=故答案为．15、【解析】

设甲、乙两地分别为，地球的中心为，先求出北纬60°圈所在圆的半径，再求A、B两地在北纬60°圈上对应的圆心角，得到线段AB的长，解三角形求出的大小，利用弧长公式求这两地的球面距离.【详解】设甲、乙两地分别为，北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于（为地球半径），（是两地在北纬60圈上对应的圆心角），故.所以线段设地球的中心为，则是等边三角形，所以，故这两地的球面距离是.本题考查球面距离及相关计算，扇形弧长和面积是常用公式，结合图形是关键.16、【解析】分析：函数在上是增函数等价于，从而可得结果.详解：因为函数在上是增函数，所以恒成立，因为，实数的取值范围是故答案为.点睛：本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.详解：（1），当时，，则在上单调递增．当时，令，得，则的单调递增区间为，令，得，则的单调递减区间为．（2）证明：由得，设，则．由，得；由，得．故的最小值．当时，，当时，，不妨设，则，等价于，且在上单调递增，要证：，只需证，，只需证，即，即证；设，则，令，则，，在上单调递减，即在上单调递减，，在上单调递增，，从而得证．点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.18、（１）见解析（２）【解析】

试题分析：（１）是正方形中对角线中点三点共线，为中点为的中位线（２）设点B到平面AMN的距离为h，,,,,,,，代数得考点：线面平行的判定和点面距的求法19、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）根据题中的数据补充列联表，计算出的值，根据临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的问题下结论；（2）先确定年龄在和的人数，可得知的取值有、、、，然后利用超几何分布列的概率公式计算概率，列出随机变量的分布列，并计算出的数学期望。【详解】（1）根据题意填写列联表，如下；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用33235不适用7815合计104050根据表中数据，计算K2的观测值，所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）由题意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：0123pξ的数学期望是．本题第（1）问考查独立性检验，关键在于列出列联表并计算出的观测值，第（2）问考查离散型随机分布列与数学期望，这类问题首先要弄清楚随机变量所服从的分布列，并利用相关公式进行计算，属于常考题型，考查计算能力，属于中等题。20、（1）；（2）；（3）证明略；【解析】

（1）根据顶点坐标可知，将代入椭圆方程可求得，进而得到椭圆方程；（2）设，，可得到，将代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设，可得直线方程，进而求得和点坐标；利用向量坐标运算可求得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可知：将代入椭圆方程可得：，解得：椭圆的方程为：（2）设，由轴，可得：，即将代入椭圆方程得：动点的轨迹的方程为：（3）设，则直线方程为：令，解得：，即直线与曲线相切本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、动点轨迹的求解问题、直线与圆位置关系的证明等知识；求解动点轨迹的常用方法是利用动点表示出已知曲线上的点的坐标，从而代入已知曲线方程整理可得动点轨