广东省汕头市潮南实验学校校2024-2025学年数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

广东省汕头市潮南实验学校校2024-2025学年数学高二第二学期期末调研模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为()A．6 B．7 C．8 D．92．双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B．C． D．4．已知函数，当时，，则a的取值范围是A． B． C． D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A． B． C． D．6．已知，则的值为（）A． B． C． D．7．在中，，则（）A． B． C． D．8．函数的定义域为R，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为A． B． C． D．R9．已知直线与曲线相切，则实数k的值为（）A． B．1 C． D．10．在平面直角坐标系中,方程表示在x轴、y轴上的截距分别为的直线,类比到空间直角坐标系中,在轴、轴、轴上的截距分别为的平面方程为()A． B．C． D．11．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的的值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：xy则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________．14．已知函数，则______．15．的展开式中的系数为，则__________．16．复数满足，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知二次函数，设方程有两个实根（Ⅰ）如果，设函数的图象的对称轴为，求证：；（Ⅱ）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围.18．（12分）设a∈R，函数f（1）当a=1时，求fx在3（2）设函数gx=fx+ax-1-e1-x，当g19．（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）．参考公式：，参考数据：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82820．（12分）如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．21．（12分）在中，，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.22．（10分）已知集合（1）若，求实数的值；（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数.【详解】设抽取件，次品全部检出的概率为，化简得，代入选项验证可知，当时，符合题意，故选C.本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.2、C【解析】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是，而抛物线的准线方程为，由题设可得，则，所以（为坐标原点）的面积为，应选答案C。3、A【解析】

先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体，由一个底面半径为1，高为的半圆锥，和一个底面边长为2的正方形，高为的四棱锥组合而成．故这个几何体的体积.故选A本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、A【解析】∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选A．5、B【解析】

由三视图得到该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面是等腰直角三角形，且，三棱锥的高为1．∴该三棱锥的体积．故选B．本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．6、B【解析】

直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可.【详解】解：因为，则.故选：B.本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.7、D【解析】

利用余弦定理计算出的值，于此可得出的值．【详解】，，由余弦定理得，，因此，，故选D．本题考查利用余弦定理求角，解题时应该根据式子的结构确定对象角，考查计算能力，属于基础题．8、A【解析】

把原不等式化为右侧为0的形式，令左侧为，利用导数得到的单调性，得解集．【详解】原不等式化为，令，则，对任意的，都有成立，恒成立，在R上递减，，的解集为，故选：A．此题考查了利用导数研究单调性，解决不等式问题，难度适中．对于没有解析式或者表达式比较复杂的不等式，通常采取的方法是，研究函数的单调性和零点，进而得到解集。9、D【解析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.10、A【解析】

平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是.【详解】由类比推理得：若平面在轴、轴、轴上的截距分别为，则该平面的方程为：，故选A.平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令，看是否为.11、B【解析】

模拟程序运行，依次计算可得所求结果【详解】当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；故选B本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意所在位置12、D【解析】

根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．【详解】解：根据，，代入计算，可以排除；根据，，代入计算，可以排除、；将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意故选：．本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】分析：求出二阶导数，再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．详解：，，由得，，即的图象关于点对称，∴，∴．故答案为1．点睛：本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．14、.【解析】

由题设条件，先求出，．【详解】由题，可得则即答案为本题考查分段函数的函数值求法，解题时要认真审题，仔细解答，是基础题．15、【解析】由条件知的展开式中的系数为：解得=故答案为．16、5.【解析】分析：先求复数z，再求.详解：由题得所以.故答案为：5.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的共轭复数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析（2）【解析】分析：（1）有转化为有两根：一根在与之间，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可证；（2）先有，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况的讨论，再利用两个之和与两根之积列不等式可求的取值范围.详解：（1）设，且，则由条件x1<2<x2<4得（2），又或综上：点睛：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解；二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解，此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想.18、（1）增区间是x∈34,1，减区间是x∈【解析】试题分析：（1）当a=1时，求得f(x)，求导f'(x)，令h(x)=2x-x2-ex-1，则h'(x)=2-2x-ex-1在(34,2)是减函数，从而h(x)在(34,2)上是减函数，进而得出f(x)在(试题解析：（1）当a=1时，f(x)=则f'(x)=(2x-x2显然h'(x)在区间(34,2)内是减函数，又∴h(x)在区间(34,2)内是减函数，又∵h(1)=0∴当∴f'(x)>0当x∈(1,2)时，h(x)<0∴f'(x)<0∴f(x)在区间(34（2）由题意，知g(x)=(x2根据题意，方程-x2∴Δ=4+4a>0，即a>-1，且x∵x1其中f'(x)=(2x-∵-所以上式化为(2-又∵2-x1>0，所以不等式可化为x①当x1=0，x1②当x1∈(0,1)时，2令函数k(x)=显然k(x)是R内的减函数，当x∈(0,1)，k(x)<k(0)=③x1∈(-∞,0)时，2由②，当x∈(-∞,0)，k(x)>k(0)=2ee+1考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为x1[2e1-x1-λe1-19、(1)身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(2)不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．【解析】

（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.【详解】（Ⅰ）填写列联表如下：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100（Ⅱ）K2的观测值为≈1.333＜3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出，注意保留三位小数，注意观测值与概率之间的大小关系与趋势.20、(1);(2)当时，投资费用最低，此时的最小值为.【解析】

（1）由题意，设，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.【详解】（1）连接，在中，，故，据平面几何知识可知,在中，，故，所以，显然，所以函数的定义域为，即函数关系式为，且．（2）化简（1）中的函数关系式可得：令，则，代入上式得：当且仅当时取“＝”，此时求得，又，所以∴当时，投资费用最低，此时的最小值为.本题主要考查了三角函数的实际应用，以及基本不等式求最值问题，其中根据平面几何的知识和三角函数的关系式和恒等变换的公式，得到函数的解析式是解答的关键，着重靠考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.【详解】（1