广西南宁市马山县金伦中学4+N高中联合体2024-2025学年数学高二下期末统考试题含解析

广西南宁市马山县金伦中学4+N高中联合体2024-2025学年数学高二下期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（）A． B． C． D．2．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为()A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.753．已知函数为内的奇函数，且当时，，记，则间的大小关系是（）A． B．C． D．4．命题p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数满足x2＜1，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+16．若集合，函数的定义域为集合B，则A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）7．已知集合，则集合的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．88．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（）A． B． C． D．9．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（）A．2 B．4 C．±2 D．±410．在二维空间中，圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；在三维空间中，球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=4A．4πr4 B．3πr411．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C．命题“若，则”是假命题D．命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题12．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若随机变量，且，则__________.14．________．15．在名男生和名女生中各选出名参加一个演唱小组，共有__________种不同的选择方案.16．设随机变量的分布列（其中），则___．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）直线与抛物线交于两点，若（为坐标原点），则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.18．（12分）已知是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含项的系数为84.(1)求的值；(2)求的展开式中有理项的系数和.19．（12分）已知命题方程表示双曲线，命题点在圆的内部.若为假命题，也为假命题，求的取值范围.20．（12分）某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予500元奖励，若该生分数在给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。21．（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.证明：直线的斜率成等差数列.22．（10分）已知函数.（I）解不等式：；（II）若函数的最大值为，正实数满足，证明：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.【详解】的可能取值为.表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.所以.故选A.求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.2、B【解析】

因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是，则该射击运动员射击4次看做4次独立重复试验，则至少击中3次的概率3、D【解析】

根据奇函数解得，设，求导计算单调性和奇偶性，根据性质判断大小得到答案.【详解】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，，所以在内单调递减又，故，选D.本题考查了函数的奇偶性单调性，比较大小，构造函数是解题的关键.4、B【解析】

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，∴解得：0＜a＜1，②当a＝0时，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则0＜a＜1；所以当0≤a＜1；推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；能推出0≤a＜1；故P是q的必要不充分条件．故选：B．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了二次型函数恒成立的问题，考查了指数函数的单调性，属于基础题．5、D【解析】

构造函数g（x）＝f（x），利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求．【详解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），则g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，则f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．综上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故选：D．本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．6、D【解析】试题分析：，，所以。考点：1.函数的定义域；2.集合的运算。7、D【解析】分析：先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．详解：由题意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，则B的子集个数为：23=8个，故选D．点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.8、C【解析】

由题意得到关于a,c的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】由双曲线的通径公式可得，由结合双曲线的对称性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性质有：，即：，据此有：，，解得：，双曲线中，故的离心率为.本题选择C选项.双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．9、C【解析】

求出抛物线的焦点坐标，推出M的坐标，然后求解，得到答案．【详解】由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为的中点，如图所示，可知的横坐标为1，则的纵坐标为，故选C．本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10、B【解析】

根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W'【详解】由题知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故选本题主要考查学生的归纳和类比推理能力。11、C【解析】对于A，命题“”的否定是“”，故错误；对于B，命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若，则”在时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在中，若，则或”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C.12、B【解析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由条件求得，可得正态分布曲线的图象关于直线对称．求得的值，根据对称性，即可求得答案.【详解】随机变量，且，可得，正态分布曲线的图象关于直线对称．，故答案为：．本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．14、【解析】分析：根据，即可求出原函数，再根据定积分的计算法则计算即可.详解：，故答案为：.点睛：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题.15、【解析】

根据分步计数原理计算可得.【详解】从名女生中选出二人,有种选法,从5名男生中选出二人,有种选法,所以根据分步计数原理可得,从名男生和名女生中各选出名参加一个演唱小组，共有种不同的选法.故答案为:30.本题考查了分步计数原理,属于基础题.16、【解析】

根据概率和为列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，解得.故填本小题主要考查随机变量分布列概率和为，考查方程的思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】

（1）由抛物线的定义知得值即可求解（2）设的方程为：，代入，消去得的二次方程，向量坐标化结合韦达定理得，则定点可求【详解】（1）由抛物线的定义知，抛物线的方程为：（2）设的方程为：，代入有，设，则，,的方程为：，恒过点，本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，向量运算，准确计算是关键，是中档题18、（1）2,7；（2）1.【解析】

（1）由二项式系数和求得，然后再根据展开式中含项的系数为84求得．（2）由（1）先求出二项式中的有理项，结合题意可得展开式中的有理项，进而得到所求．【详解】（1）由题意可知，解得．故二项式展开式的通项为，令得含项的系数为，由题意得，又，∴．（2）由（1）得展开式的通项为，∴展开式中的有理项分别为，，，∴的展开式中有理项的系数和为1．（1）本题考查二项展开式通项的应用，这也是解决二项式问题的重要思路．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．（2）解题时要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．19、【解析】【试题分析】先分别确定命题“方程表示双曲线”中的的取值范围和“命题点在圆的内部”中的取值范围，再依据建立不等式组求解：解：因为方程，表示双曲线，故，所以或，因为点在圆的内部，故，解得：，所以，由为假命题，也为假命题知假、真，所以的取值范围为：.20、（1）本次考试复赛资格最低分数线应划为100分；（2）5人，2人；（3）元.【解析】

（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线，即是求考试成绩中位数，只需满足中位数两侧的频率之和均为0.5即可；（2）先确定得分在区间与的频率之比，即可求解；（3）先确定的可能取值，再求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【详解】（1）由题意知的频率为：，的频率为：所以分数在的频率为：，从而分数在的，假设该最低分数线为由题意得解得．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。（2）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间与各抽取5人，2人，结果是5人，2人．（3）的可能取值为2，3，4，则：，从而Y的分布列为Y260023002000(元)．本题主要考查频率分布直方图求中位数，以及分层抽样和超几何分布等问题，熟记相关概念，即可求解，属于常考题型.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）由椭圆的离心率为，以及点M在椭圆上，结合a，b，c关系列出方程组求解即可；（2）分过椭圆右焦点的直线斜率不存在和存在两种情况，进行整理即可.详解：（1）；(2)因为右焦点,当直线的斜率不存在时其方程为，因此，设，则，所以且，所以，，因此，直线和的斜率是成等差数列.当直线的斜率存在时其方程设为，由得，，所以，因此，，，，，所以，，又因为，所以有,因此，直线和的斜率是成等差数列，综上可知直线和的斜率是成等差数列.点睛：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学转