四川省眉山市仁寿县文宫中学2024-2025学年高二数学第二学期期末考试试题含解析

四川省眉山市仁寿县文宫中学2024-2025学年高二数学第二学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程y=0.56x+a，据此模型预报身高为A．70.09kg B．70.12kg C．70.552．已知函数f(x)=lnx+ln(a-x)的图象关于直线A．0 B．1 C．lna D．3．若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（）A． B． C． D．4．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形中随机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（）附：若随机变量，则，.A．0.1359 B．0.7282 C．0.6587 D．0.86415．如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧河岸边选定一点，测出、的距离是，，，则、两点间的距离为（）A． B． C． D．6．已知函数与的图像有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．中至少有两个偶数 B．中至少有两个偶数或都是奇数C．都是奇数 D．都是偶数8．在极坐标系中，点关于极点的对称点为A． B． C． D．9．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为（）A．性别与是否喜欢理科有关B．女生中喜欢理科的比为C．男生不喜欢理科的比为D．男生比女生喜欢理科的可能性大些10．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）A．120B．240C．280D．6011．如图，平行六面体中，，，，则（）A． B． C． D．12．已知函数（其中）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．高一（10）班有男生人，女生人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，则抽取男生的人数为__________人．14．已知下列命题：①若，则“”是“”成立的充分不必要条件；②若椭圆的两个焦点为，且弦过点，则的周长为16；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④若命题：，则：其中为真命题的是__________（填序号）．15．的展开式中的系数为______.16．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，且点为其右焦点，求椭圆的标准方程.18．（12分）已知数列的前项和为，且满足，（1）求，，，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19．（12分）如图，矩形和等边三角形中，，平面平面．（1）在上找一点，使，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．20．（12分）已知椭圆：的左焦点左顶点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点.若，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，，求的值.22．（10分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：由上表知x=170，y=69，所以a=y=0.56×172-26.2=70.12，所以男生体重约为70.12kg考点：线性回归方程．2、A【解析】

利用对称列方程解得a，从而求出f(1)。【详解】由题意得x1+xf所以f(x)=lnx+本题主要考查了函数对称轴的问题，即在函数上任意两点x1,x2关于直线3、A【解析】

通过平移得到，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案.【详解】向左平移个单位长度后得到的图像，则其对称中心为,或将选项进行逐个验证,选A.本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4、D【解析】

根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解.【详解】由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：故所求的概率为，故选：D本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.5、A【解析】

利用三角形的内角和定理求出，再利用正弦定理即可求解.【详解】由三角形的内角和可得，在中，由正弦定理可得，所以，故选：A本题考查了正弦定理在生活中的应用，需熟记正弦定理，属于基础题.6、B【解析】

将函数有三个公共点，转化为有三个解，再利用换元法设，整理为，画出函数图形得到答案.【详解】函数与的图像有三个不同的公共点即有三个解整理得：设，当单调递减，单调递增.如图所示：原式整理得到：图像有三个不同的公共点，即二次方程有两个解，一个小于0.一个在上或当时，当时，另一个零点在上，满足条件.故答案为B本题考查了函数的零点问题，根据条件转化为方程的解，再利用换元法简化计算，本题综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.7、B【解析】

用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：B.本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.8、C【解析】分析：在极坐标系中，关于极点的对称点为详解：∵关于极点的对称点为，

∴关于极点的对称点为．

故选：C．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．9、C【解析】

本题为对等高条形图，题目较简单，逐一排除选项，注意阴影部分位于上半部分即可．【详解】解：由图可知，女生喜欢理科的占，故B正确；男生喜欢理科的占，所以男生不軎欢理科的比为，故C不正确；同时男生比女生喜欢理科的可能性大些，故D正确；由此得到性别与喜欢理科有关，故A正确．故选：．本题考查等高条形图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．10、A【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种C51。再从剩余的四双中选两只但是不能为一双，先从四双中选两双有C答案A点评：选的时候一定注意不要重复和遗漏。11、D【解析】

利用，即可求解.【详解】，,.故选：D本题考查了向量加法的三角形法则、平行四边形法则、空间向量的数量积以及向量模的求法，属于基础题.12、D【解析】

根据复合函数增减性与对数函数的增减性来进行判断求解【详解】，为减函数，若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递增，与题不符，舍去若底数，根据复合函数同增异减的性质，可得函数在定义域内单调递减，的定义域满足，，因在区间上单调递减，故有，所以答案选D复合函数的增减性满足同增异减，对于对数函数中底数不能确定的情况，需对底数进行分类讨论，再进行求解二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】分析：根据分层抽样的定义直接计算即可.详解：设抽取男生的人数为，因为男生人，女生人，从该班的全体同学中抽取一个容量为的样本，所以，取男生的人数为，故答案为.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.14、①③【解析】逐一分析所给的各个说法：①∵a，b，c∈R，∴“ac2>bc2”⇒“a>b”，反之，当时，由不成立。若，则“”是“”成立的充分不必要条件；故①正确；②若椭圆的两个焦点为F1,F2,且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为4a=20，故②不正确；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，所以命题q一定是真命题，故③正确；④若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0，则¬p:∀x∈R,x2+x+1⩾0，故④错误。故答案为：①③。15、56【解析】

利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.【详解】的展开式的通项公式为.令，解得，故其系数为.故答案为：.本题考查利用二项式通项公式求指定项系数，属基础题.16、【解析】

每名旅客都有种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数.【详解】由于每名旅客都有种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有种.故答案为：.本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

由题可先利用定义求椭圆的长轴长,再求椭圆的标准方程即可.【详解】由题,设椭圆方程,则由椭圆的定义有,故,又,所以.所以.故答案为：本题主要考查利用定义求椭圆的标准方程的方法,属于基础题型.18、（1），，，；（2）见解析【解析】

（1）根据条件可求出a1，利用an与Sn的关系可得到数列递推式，对递推式进行赋值，可得和的值，从而可猜想数列的通项公式；

（2）检验时等式成立，假设时命题成立，证明当时命题也成立即可.【详解】（1），当时，，且，于是，从而可以得到，，猜想通项公式；（2）下面用数学归纳法证明：．①当时，满足通项公式；②假设当时，命题成立，即，由（1）知，，即证当时命题成立.由①②可证成立．本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力.注意在证明时需用上假设，化为的形式.19、（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：(1)分别取的中点，利用三角形的中位线的性质，即可证明面，进而得到；（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面法向量成的角去求解.试题解析：（1）为线段的中点，理由如下：分别取的中点，连接，在等边三角形中，，又为矩形的中位线，，而，所以面，所以；（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，，三角形为等边三角形，．于是，设面的法向量，所以，得，则面的一个法向量，又是线段的中点，则的坐标为，于是，且，又设面的法向量，由，得，取，则，平面的一个法向量，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（Ⅰ）根据条件依次求得，和，从而可得方程；（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），PB的直线方程为y-9=-k（x-2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值.详解：（Ⅰ）由题意可得，，由，得所以椭圆的方程为.（Ⅱ）当时，，的斜率之和为，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，的方程为.联立消得.所以同理所以，.所以.所以的斜率为定值点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21、（1）；（2）