青海省西宁市沛西中学2025年数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

青海省西宁市沛西中学2025年数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（）A． B． C． D．2．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设事件为下雨，事件为刮风，那么（）A． B． C． D．3．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（）A．24种 B．16种 C．12种 D．10种5．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是周期函数；②三角函数是周期函数；③是三角函数A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②①6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．8．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为A． B． C． D．9．下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”B．已知是R上的可导函数，则“”是“x0是函数的极值点”的必要不充分条件C．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”D．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题10．设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．执行如图所示的程序框图，则程序输出的结果为（）A． B． C． D．12．若复数是纯虚数（是实数，是虚数单位），则等于（）A．2 B．-2 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数设函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是_______.14．已知，则___________；15．二项式的展开式中含项的系数为____16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说:我没去过城市；乙说:我去过的城市比甲多，但没去过城市；丙说:我们三人去过同一城市，由此可判断甲去过的城市为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.18．（12分）某电视台举办闯关活动，甲、乙两人分别独立参加该活动，每次闯关，甲成功的概率为，乙成功的概率为.（1）甲参加了次闯关，求至少有次闯关成功的概率；（2）若甲、乙两人各进行次闯关，记两人闯关成功的总次数为，求的分布列及数学期望.19．（12分）某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表.表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计（2）根据频率分布直方图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.附：20．（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）是否存在实数，使得与的单调区间相同，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若，求证：在上恒成立.21．（12分）某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组,有7名男同学,3名女同学,在这10名学生中,1班和2班各有两名同学,3班至8班各有一名同学,现从这10名同学中随机选取3名同学,利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自不同班级的概率;(2)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列及数学期望22．（10分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，解方程即可．详解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故选：C．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2、B【解析】

确定，再利用条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，可知，利用条件概率的计算公式，可得，故选B.本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、A【解析】

根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在上为减函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【详解】构造函数，；当时，，；；在上单调递减；，；由不等式得：；，且；；原不等式的解集为．故选：．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解析】

根据每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，利用分步乘法计数原理即可求解.【详解】每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，故该十字路口行车路线共有（种）故选：C本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.5、A【解析】

根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的顺序.【详解】根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，可知：①是周期函数是“结论”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③是三角函数是“小前提”；故“三段论”模式排列顺序为②③①.故选：A本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.6、A【解析】

该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可.【详解】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积，三棱锥的体积为，故该几何体的体积为.故选A.本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.7、C【解析】由题意得为球的直径,而,即球的半径;所以球的表面积.本题选择C选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8、A【解析】

根据题目可知，分别求出男生甲被选中的概率和男生甲女生乙同时被选中的概率，根据条件概率的公式，即可求解出结果．【详解】由题意知，设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则，，所以，故答案选A．本题主要考查了求条件概率方法：利用定义计算，特别要注意的求法．9、B【解析】试题分析：对于A，命题“若，则”的否命题为：“若，则”，不满足否命题的定义，所以A不正确；对于B，已知是R上的可导函数，则“”函数不一定有极值，“是函数的极值点”一定有导函数为，所以已知是上的可导函数，则“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C，命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D，命题“角的终边在第一象限角，则是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D不正确；故选B．考点：命题的真假判断与应用．10、A【解析】

记，由可得，所以为奇函数，又当时，，结合奇函数性质，可得在上单调递减，处理，得，所以，可得出的范围.【详解】解：因为，所以记，则所以为奇函数，且又因为当时，，即所以当时，，单调递减又因为为奇函数，所以在上单调递减若则即所以所以故选：A.本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，利用导数研究函数的单调性，构造函数法解决抽象函数问题，观察结构特点巧妙构造函数是关键.11、C【解析】依次运行如图给出的程序，可得；，所以输出的的值构成周期为4的数列．因此当时，．故程序输出的结果为．选C．12、B【解析】

利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【详解】∵复数（1+ai）（1﹣i）＝1+a+（1a﹣1）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣1．故选B．本题考查了复数的乘法运算、纯虚数的定义，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、，【解析】

由题意可得有4个不等实根，作出的图象，通过图象即可得到所求范围．【详解】函数有4个不同的零点，即为有4个不等实根，作出的图象，可得时，与的图象有4个交点，故答案为：，．本题考查函数的零点个数，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力，求解时注意准确画出函数的图象是关键.14、【解析】

分别令和，代入求值，然后两式相减计算结果.【详解】当时，当时，，两式相减：，所以：.故答案为：本题考查二项展开式求系数和，重点考查赋值法，属于基础题型.15、【解析】分析：根据二项式定理的通项公式，写出的系数．详解：所以，当时，所以系数为．点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项的表达式，使其满足题目设置的条件．16、A【解析】分析：一般利用假设分析法，找到甲去过的城市.详解：假设甲去过的城市为A,则乙去过的城市为A,C，丙去过A城市.假设甲去过的城市为B时，则乙说的不正确,所以甲去过城市不能为B.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和推理能力.(2)类似本题的题目，一般都是利用假设分析推理法找到答案.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.答：甲同学购买3种书籍的概率为.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.则，，所以，所以.，，.所以X的概率分布为X012P.答：所求数学期望为.本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）这是一个独立重复试验，利用独立重复试验的公式即可计算甲参加了次闯关，求至少有次闯关成功的概率；（2）由题意的取值为，，，，.求出相应概率即可得到的分布列及数学期望.【详解】（1）甲参加了次闯关，记“至少有次闯关成功”为事件，则.（2）由题意的取值为，，，，.，，，，，故的分布列为所以.本题考查了相互独立与对立事件的概率计算公式、独立重复试验的性质，离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、(1)列联表见解析；有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．(2)设备改造后性能更优．(3)分布列见解析；.【解析】分析：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成列联表，求出，与临界值比较即可得结果；（2）根据频率分布直方图和频数分布表，可得到设备改造前产品为合格品的概率和设备改造后产品为合格品的概率，从而可得结果；（3）随机变量的取值为：，利用古典概型概率公式，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的列联表：设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计将列联表中的数据代入公式计算得：∵，∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为设备改造后产品为合格品的概率约为设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.由已知得：随机变量的取值为：．∴随机变量的分布列为：∴.点睛：本题主要考查直方图的应用、离散型随机变量的分布列与期望，以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.20、（1）极小值为，无极大值（2）不存在满足题意的实数．（3）见证明【解析】

（1）当时,可求导判断单调性，从而确定极值;（2）先求出的单调区间，假设存在，发现推出矛盾，于是不存在；（3）若，令，求的单调性即可证明不等式成立.【详解】解：（1）当时，，在上单调递减，在上单调递增当时，极小值为，