湖南省岳阳市2025年高二下数学期末达标检测模拟试题含解析

湖南省岳阳市2025年高二下数学期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线和直线所围成图形的面积是（）A．4 B．6 C．8 D．102．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（）A． B． C． D．3．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差，，则期望（）A．4 B．5 C．6 D．74．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在直线上，若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．5．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．6．已知点，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（）A．事件与事件不相互独立 B．，，是两两互斥的事件C． D．8．已知三个正态分布密度函数（,）的图象如图所示则（）A．B．C．D．9．要将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的概率为（）A． B． C． D．10．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如图：现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为()零件个数x(个)102030加工时间y(分钟)213039A．112分钟 B．102分钟 C．94分钟 D．84分钟11．命题的否定是（）A． B．C． D．12．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为．14．在展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）15．已知为抛物线：的焦点，过且斜率为的直线交于，两点，设，则_______.16．将集合中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，均为正实数，求证：.18．（12分）已知点O（0，0），A（2，一1），B（一4，8）．（1）若点C满足，求点C的坐标；（2）若与垂直，求k．19．（12分）已知实数a＞0且a≠1．设命题p：函数f（x）＝logax在定义域内单调递减；命题q：函数g（x）＝x2﹣2ax+1在（，+∞）上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．21．（12分）已知函数在处取得极大值为.（1）求的值；（2）求曲线在处的切线方程.22．（10分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在阳马中，底面．（1）若，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；（2）证明：四面体为鳖臑；（3）若，，，为线段上一个动点，求面积的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为2，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.详解：曲线和直线的交点坐标为（0,0）,(2,2),(-2,-2),根据题意画出图形，曲线和直线所围成图形的面积是.故选C.点睛：该题所考查的是求曲线围成图形的面积问题，在解题的过程中，首先正确的将对应的图形表示出来，之后应用定积分求得结果，正确求解积分区间是解题的关键.2、B【解析】分析：求出硬币完全落在托盘上硬币圆心所在区域的面积，求出托盘面积，由测度比是面积比得答案.详解：如图：要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为.故选B.点睛：本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题.3、A【解析】

服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出的可能值，再根据，确定的值，再利用均值计算公式计算的值.【详解】因为，所以或，又因为，则，解得，所以，则.故选：A.二项分布的均值与方差计算公式：，.4、D【解析】

设，由，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【详解】设点，由，知：，

化简得：，

点M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，

又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，

，其中，，即可得，

故选：D．本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于中档题．5、C【解析】

先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数的零点在区间内，故选C.本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6、A【解析】

，，向量在方向上的投影为，故选A．7、C【解析】

依次判断每个选项得到答案.【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B.，，两两不可能同时发生，正确C.，不正确D.，正确故答案选C本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.8、D【解析】

正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为，则对应的函数的图像的对称轴为：，∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等故选D．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．9、B【解析】

根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A班，则分甲单独一人安排到A班和甲与另外一人一起安排到A班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A班的所有情况，即可求解.【详解】将甲、乙、丙、丁名同学分到三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有种方法，分配给三个班级的所有方法有种；甲被分到A班，有两种情况：一，甲单独一人分到A班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有种；二，甲和另外一人分到A班，则剩余两个班级各1人，共有种；综上可知，甲被分到班的概率为，故选：B.本题考查了排列组合问题的综合应用，分组时注意重复情况的出现，属于中档题.10、B【解析】

由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可。【详解】解：所以样本的中心坐标为（20，30），代入，得，取，可得，故选：B。本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．11、A【解析】

根据命题“”是特称命题，其否定为全称命题，将“∃”改为“∀”，“≤“改为“＞”即可得答案【详解】∵命题“”是特称命题∴命题的否定为．故选A．本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．12、A【解析】

先化简复数，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，其共轭复数为，对应的点是，所以位于第一象限.故选：A本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】略14、【解析】

求出展开式的通项，利用的指数为零求出参数的值，再将参数代入通项即可得出展开式中常数项的值.【详解】展开式的通项为.令，解得.因此，展开式中的常数项为.故答案为：.本题考查二项展开式中常数项的计算，一般利用展开式通项来求解，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】

直接写出直线方程，与抛物线方程联立方程组解得交点的横坐标，再由焦半径公式得出，求比值即得。【详解】联立，可得，解得，所以，故答案为：。本题考查直线与抛物线相交问题，考查焦半径公式。解题方法是直接法，即解方程组得交点坐标。16、1040【解析】用表示，下表的规律为：…，则第行的第个数，，故答案为.【方法点睛】本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见证明【解析】

方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加整理即可；方法二：利用作差法证明【详解】解：方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加，得，所以.方法二：.所以.本题考查不等式的证明，一般的思路是借助作差或作商法，条件满足的话也可借助基本不等式证明．18、（1）；（2）.【解析】

（1）设出C点的坐标，利用终点减起点坐标求得和的坐标，利用向量运算坐标公式，得到满足的条件求得结果；（2）利用向量坐标运算公式求得，，利用向量垂直的条件，得到等量关系式，求得结果.【详解】（1）因为，，所以．设点C的坐标为，则．由，得解得，，所以点C的坐标为．（2），，因为与垂直，所以，解得.该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式及法则，向量垂直的条件，数量积坐标公式，属于简单题目.19、【解析】

先分别求得p，q为真时的a的范围，再将问题转化为p，q一真一假时，分类讨论可得答案．【详解】∵函数f（x）＝logax在定义域内单调递减，∴0＜a＜1．即：p：{a|0＜a＜1}．∵a＞0且a≠1，∴￢p：{a|a＞1}，∵g（x）＝x2﹣2ax+1在（，+∞）上为增函数，∴a．又∵a＞0且a≠1，即q：{a|0＜a}．∴￢q：{a|a且a≠1}．又∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴“p真q假”或“p假q真”．①当p真q假时，{a|0＜a＜1}∩{a|a且a≠1}＝{a|a＜1}．．②当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|0＜a}＝∅，综上所述：实数a的取值范围是：{a|a＜1}．本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别求得命题p，q为真时的参数的范围是解决本题的关键，考查分类讨论的思想，比较基础．20、（1）见解析（2）【解析】

（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明．（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．【详解】解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．21、(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组可知；（2）由（1）得，据此可得切线方程为.详解：（1），依题意得，即，解得，经检验，符合题意.（2