江苏省南京市江宁区2024-2025学年高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

江苏省南京市江宁区2024-2025学年高二数学第二学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若随机变量的数学期望，则的值是()A． B． C． D．2．椭圆的长轴长为（）A．1 B．2 C． D．3．已知的边上有一点满足，则可表示为()A． B．C． D．4．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量）垂直，则（）A． B． C． D．5．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则()A． B． C． D．6．在的展开式中，的系数等于A．280 B．300 C．210 D．1207．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．8．下列四个命题中，其中错误的个数是（）①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；③球的面积是它大圆面积的四倍；④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长．A．0 B．1 C．2 D．39．若为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．2 C．-3 D．310．函数的最大值为（）A． B． C． D．11．从中不放回地依次取个数，事件表示“第次取到的是奇数”，事件表示“第次取到的是奇数”，则（）A．B．C．D．12．已知，则（）A．18 B．24 C．36 D．56二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________．14．已知圆：的两焦点为，，点满足，则的取值范围为______.15．若幂函数的图像经过点，则__________．16．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A（2，1）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程．（2）求｜AP｜•｜AQ｜的值．18．（12分）设椭圆经过点，其离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值.19．（12分）已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．20．（12分）已知函数.（I）讨论极值点的个数.（II）若是的一个极值点，且，证明：.21．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，求证：.（为自然对数的底数）22．（10分）如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.详解：随机变量则的数学期望，据此可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、B【解析】

将椭圆方程化成标准式，根据椭圆的方程可求，进而可得长轴.【详解】解：因为，所以，即，，所以，故长轴长为故选：本题主要考查了椭圆的定义的求解及基本概念的考查，属于基础题．3、D【解析】

由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.4、D【解析】

先根据等差数列通项公式得向量，再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求结果.【详解】由题意得，因为向量与非零向量）垂直，所以因此故选：D本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力，属中档题.5、A【解析】

首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.【详解】故.故本题正确答案为A.本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.6、D【解析】

根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．【详解】解：在的展开式中，项的系数为．故选D．本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．7、C【解析】

求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，由题意有，所以，，故离心率.故选：C．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8、C【解析】

结合球的有关概念:如球的大圆、球面积公式、球面距离等即可解决问题,对于球的大圆、球面积公式、球面距离等的含义的理解,是解决此题的关键.【详解】对于①,若两点是球的一条直径的端点,则可以作无数个球的大圆,故①错;

对于②三部分的面积都是，故②正确对于③,球面积=,是它大圆面积的四倍,故③正确;

对于④,球面上两点的球面距离,是这两点所在大圆上以这两点为端点的劣弧的长,故④错.

所以①④错误.

所以C选项是正确的.本题考查球的性质,特别是求两点的球面距离,这两个点肯定在球面上,做一个圆使它经过这两个点,且这个圆的圆心在球心上,两点的球面距离对应的是这个圆两点之间的对应的较短的那个弧的距离.9、C【解析】

本题首先可以确定复数的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出方程组，通过计算即可得出结果．【详解】因为为纯虚数，所以，解得，故选C．本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0，考查运算求解能力，考查方程思想，是简单题．10、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.详解：由柯西不等式得，所以（当且仅当即x=时取最大值）故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.11、D【解析】试题分析：由题意，，∴，故选D．考点：条件概率与独立事件．12、B【解析】，故，.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【详解】设圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14、【解析】

点满足则点在椭圆内,且不包含原点.故根据椭圆定义再分析即可.【详解】由题有点在椭圆内,且不包含原点.故,又当在线段上（不包含原点）时取得最小值2.故.故答案为：本题主要考查了椭圆的定义及其性质,属于基础题型.15、【解析】

设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.【详解】设：，图像经过点，即故答案为本题考查了幂函数的计算，属于简单题.16、1【解析】

先根据侧面展开是面积为的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解.【详解】如图所示：设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是半径为l，面积为的半圆面，所以，解得，因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长，所以，故圆锥的底面半径.本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；x2＋y2＝2y；（2）3【解析】

（1）由直线的倾斜角与所过定点写出直线的参数方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，即可得到答案．（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，得到关于的一元二次方程，再由根与系数的关系，以及的几何意义，即可求解的值．【详解】(1)由题意知，倾斜角为α的直线l过点A（2，1，所以直线l的参数方程为(t为参数)，因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，把y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cosα)t＋3＝0，设P、Q的参数分别为t1、t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，且由Δ＝(4cosα)2－4×3>0，所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.本题主要考查了直线的参数方程的求解，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18、(1);(2).【解析】分析：（1）由经过点P，得，由离心率为得=，再根据a2=b2+c2联立解方程组即可；（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得，易知判别式△＞1，设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积，令其为，即可解出m值，验证是否满足△＞1．详解：（1）解：由已知解得，，∴椭圆的方程为.（2）解：由得：由得：设，，则，∴又到的距离为，∴即，解得：.符合，故.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．19、(1)；(2)【解析】

（1）根据两个集合的交集为，可知，即充要条件就是.（2）由（1）可知，要找充分不必要条件，即是在找一个值，都是符合题意的值.【详解】(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．本小题主要考查利用集合的交集来求解参数的取值范围，考查找充分不必要条件的方法，属于中档题.20、（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析【解析】

（I）根据题目条件，求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而求得函数的极值的个数。（II）根据是的一个极值点，得出，再根据，求出的范围，再利用（１）中的结论，得出的单调性，观察得出，对与的大小关系进行分类讨论，结合函数单调性，即可证明。【详解】（I）∵，，．∴或1、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调递减；若，则，单调递增；此时，有两个极值点：，．2、当，即时，，f（x）单调递增，此时无极值点.3、当，即时，若，则，单调递增；若，则，单调递减；若，则，单调递增；此时，有两个极值点：，．故当时，无极值点：当时，有两个极值点.（II）由（Ⅰ）知，，且，∴，由（1）中3知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又（这一步是此题的关键点，观察力）1、当即时，在上单调递减，此时，成立.2、当即时，成立.3、当即时，在上单调递增.此时，成立.综上所述，，当时，“=”成立.本题主要考查了求含有参数的函数的极值点的个数问题，以及利用利用导数证明不等式问题，解题时用到了分类讨论的思想。21、（1）当时，只有增区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）证明见解析.【解析】分析：⑴求出函数的导数