八年级上册数学：专题72 平行线的性质【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

专题7.2平行线的性质【十大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型1由平行线的性质求角度】.................................................................1

【题型2由平行线的性质解决折叠问题】..........................................................5

【题型3平行线性质的实际应用】................................................................10

【题型4由平行线的判定与性质进行证明】........................................................13

【题型5由平行线的判定与性质进行计算】........................................................17

【题型6由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】............................................21

【题型7由平行线的判定与性质琼定角度定值问题】...............................................28

【题型8由平行线的判定与性质探究规律问题】...................................................37

【题型9由平行线的判定与性质解决三角尺问题】.................................................44

【题型10由平行线的判定与性质解决旋转问题】...................................................49

，举一反三

【知识点平行线的性质】

1.两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.

2.两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.

3.两条平行线被第三条直线所做同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.

【题型1由平行线的性质求角度】

【例1】（2023下•福建厦门•八年级校考期中）如图，CD||AB,OE平分乙4OD,。/10E,OG1CD,aDO=50°,

则下歹lj结论：®Z-AOE=65°；②OF平分，800；③NGOE=zDOF；④4力OE=^GOD.其中正魂的有.

［答案］®®®

【分析】由CDII4B,ACD0=50%根据两直线平行，内错角相等，即可求得NB。。的度数，N/0E的度数；

又由。/_LOE,即可求得4BOF的度数，得到。/平分48。0,由OG_LCO,即可求得4GOE与ND。尸的度数,

得到结论

【详解】解：二以）||45,“DO=50。,

:.乙BOD=Z.CDO=50°,

J.LAOD=1SO°-£BOD=130°,

YOE平分〃OD,

；

J./.AOE=-2^AOD=65°

故①正确；

•：OF1OE,

：.LEOF=90°,

"BOF=180°—乙EOF-Z.AOE=25°,

■:乙BOD=50°,

・・・0/平分48。/）；

故②正确；

*：0G1CD,CDWAB,

：,0G1AB,

：.AAOG=90°,

：,LGOE=90°-/LAOE=25°,

•:乙DOF=LLBOD=25°,

2

LGOE=乙DOF；

故③正确：

'：LGOE=zDOF=25°,4EO尸=90°,

：.LGOD=乙EOF-Z.GOE-乙DOF=40%

'：LAOE=65°,

/.Z/lOE*乙GOD

故④错误.

故答案为：①②③

【点睛】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义.此题难度适中，注意掌握数形结合思

想的应用.

【变式1・1】（2023上•重庆沙坪坝•八年级重庆八中校考期中）如图所示，已知MIICD,点£在线段力。上（不

与点力、点。重合)，连接若/C=15。，LAEC=60°,则乙4的值为()

A.45°B.75°C.46°D.76°

【答案】A

【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可.

【详解】*：/-C+Z.ADC=/.AEC.

：.LADC=Z-AEC-zC=60°-15°=45°,

,：AB\\CD,

・•・，力=LADC=30°,

故选：A.

【点睛】此题考查了三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键.

【变式1-2](2023下•陕西西安•八年级校考期末)如图,已知AMIIBN,〃=60。，点P是射线4M上一动点

(与A不重合)，BC、8。分别平分4ABp和/P8N,交射线AM于C、D,(推理时不需要写出每一步的理由)

⑴求乙CBD的度数.

(2)当点P运动时，那么的度数比值是否随之发生变叱？若不变，请求出这个比值；若变化，请

找出变化规律.

【答案】(l)NCBD=60°；

(2)不变，理由见解析

【分析】(1)由平行线的性质可求得乙43N,再根据角平分线的定义和整体思想可求得“8。：

(2)由平行线的性质可得ZAP8="BN,乙ADB=3BN,再由角平分线的定义可求得结论.

【详解】(1)-AM||BN,

•••乙ABN+乙4=180°,

【详解】（1）如图1,•••乙4cB=90。，乙A=40。，

:./.ABC=50°,

,:8G平分匕ABC,

•••Z.CBG=25°,

•••DEIIBC,

Z.CDE=乙BCD=90°,

vDG平分NAOE,

:.4CDF=45°,

:.Z.CFD=45°,

:.LG=乙CFD-乙CBG=45°-25°=20°：

（2）如图2,乙4=2乙G,理由是：

由（1）如：乙ABC=2乙FBG,乙CDF=4CFD,

设乙48G=x,乙CDF=y,

vZ.ACB=乙DCF,

二乙4+Z.ABC=乙CDF+Z.CFD,即乙4+2x=2y,

•••y=：乙4+x,

同理得心力+LABG=匕。+乙CDF,

乙，即

*,•z71+%=G+y+%=Z-G42—z./l+x,

•••z/l=2LG:

【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质，解决该题型题目时，利用平行线

的性质找出相等（或互补）的角是关键.

【题型2由平行线的性质解决折叠问题】

【例2*2023下•山东青岛•八年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，E尸是折痕，若4巨尸8=

34%则以下结论正确的是（）

①/C'EF=34°：®Z,AEC=146°；③4BGE=68°：®Z-BFD=112°

A.®®B.®®C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各结论进行逐一分析，即可解答.

【详解】解:4"8=34。，

乙CEF=乙EFB=34°,①结论正确；

由折叠可知，Z,C'EF=Z.CEF=34°,

•••£AEC=180°-LC'EF-乙CEF=180°-34°-34°=112°,②结论错误：

-ACWBD1,^AEC=112°

:•乙BGE=180°-^AEC=68°,③结论正确；

vCE\\DF,B.ABGE=Z.CGF=68°,

匕BFD=180°-乙CGF=112°,④结论正确；

所以，以上结论正确的是①③④，

故逐C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，解题关键是平行线的性质.

【变式2-1]（2023上•福建福州•八年级期中）如图,在△力8C中，DEWBC,乙8=50。，将△40E沿DE折叠

得到△4DE,则48n4]的度数为°.

【分析】由两直线平行，同位角相等推知乙4DE=乙3=50。；由圻叠的性质知乙4DE=乙4以乩结合三角形

的内角和即可求得乙8。4的度数.

【详解】解：TDEIIBC,

Z.ADE=匕8=50°.

又,：LADE=Z-A^DE,

•••z.AxDA=2/8,

:.Z.BDA1=180°-2乙B=180°-2x50°=80°.

故答案为：80°.

【点睛】本题考查了平行线性质、翻折变换（折叠问题），折叠II勺性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角把等是解题的

关键.

【变式2-2］（2023下.广东佛山•八年级校考期中）如图，已知长方形纸片四。。，点E,F在4）边上，点G,

”在8c边上，分别沿EG,FH折叠，使点。和点A都落在点M处，若a+0=12O。，则匕EMF的度数为（）

A.57°B.58°C.59°D.60°

【答案】D

【分析】根据平行线的性质得到乙OEG=a,LAFH=/?,由折叠得乙。EM=2/.DEG=2a,Z.AFM=2乙AFH=

2口，求出乙MEF和4然后根据三角形内角和等于180。即可求出答案.

【详解】解：工•在长方形力BCD中,ADHBC,

LDEG=a,£.AFH=p,

由折叠得：4DEM=24DEG=2a,Z.AFM=2Z.AFH=2/7,

：.LMEF=180°-2a,ZMFF=180°-2/?,

：.LEMF=180°-（180°-2a）-（180°-2£）

=2（a+/?）-180°,

*：a+p=120%

：.LEMF=240°-180°=60°；

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和

等于180。与轴对称的性质.

【变式2-3](2023下•浙江台州•八年级统考期末)如图，有一张长方形纸条A8CD,AD\\BC,在线段CF上

分别取点G,H,将四边形CDGH沿直线GH折叠，点C,。的对应点为U,DL将四边形A8FE沿直线EF折

叠，点A,8的对应点为4,B',设/EFB=a(0VaV90。).

⑴若。'在直线4。的上方,当％=50。且满足C'HII"F时，求乙G/G的度数.

(2)在(1)的条件下，猜想直线£7和GH的位置关系，并证明

(3)在点G,〃运动的过程中，若CY/II＞凡请直接用含有cr的式子表示NC〃G的度数

【答案】(1)40。

(2)EF1GH,理由见解析过程

(3)iCHG=90°-a或1800-a

【分析】(1)由折叠的性质可得：NB尸9=2乙EFB=100°,乙CHG=^CHC^由平行线的性质可得/CHC'=

Z-B'FH=80。，即可求解：

(2)由平行线的性质可求乙P/H=/CHG=40。，可求乙EFP=90。，即可得结论；

(3)分两种情况讨论，由平行线的性质和折叠的性质可求解.

【详解】(1)解：由折叠得：Z.BFB'=2Z.EFB=100°,乙CHG=三乙CHC1

:•2B'FH=180°-100°=80°,

♦.•C'HllB'F,

：.Z.CHCr=乙B'FH=80°,

：.LCHG=-Z.CHC,=40°；

2

(2)解：猜想：EFA.GH,理由如下：

如图，过点尸作FPIIHG交4D于点P,

AB9

BFH

J.LPbH=Z.CHG=4U\

•:乙EFB=50°,

:.乙EFP=180°-40°-50°=90°,

即EF1FP.

又

：.EF1GH；

(3)解：如图‘当C'、》在直线4)的上方时,

由折叠得：乙BFB，=2乙EFB=2a,Z.CHG=giCHU,

工国FH=180°-2a.

•••CHIEF,

:•乙CHC=乙B'FH=180°-2a,

・"CHG=沁m=90。-a；

如图，当C'、。在直线4。的下方时，

由折叠得：乙BFB'=2乙EFB=2a,乙DGH=^DGD,

VZDH5C,

=乙FPG=2a,乙DGH+乙CHG=180°,

:C'HllB'F,C'HIID'G,

・・・D'G||B'F,

:•乙DGD'=乙FPG=2a.

・・・，DG”=〃DGD'=a,

.\ZCHG=18Uu-a,

综上所述：Z-CHG=90°-a或180。一a.

【点睛】本题主要考杳了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题

是解题的关键.

【题型3平行线性质的实际应用】

【例3】（2023下•河北沧州,八年级统考期末）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面48与

CD平行,入射光线〃?与出射光线〃平行，若入射光线,与镜面48的夹角崖1=40。，且42=40。,则46的

度数为（）

A.100°B.90°C.80°D,70°

【答案】A

【分析】先根据乙1和上2的度数，求出45的度数，最后根据平行线的性质得出即可.

【详解】解：•••21=40。，42=40。，21+42+45=180。，

:.Z5=180°-40°-40°=100°,

••・入射光线m与出射光线n平行，

/.Z6=Z5=100°.

故选：A.

【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质定理推理是解此题的关键.

【变式3-1]（2023下•山西临汾•八年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图,

已知AGIIEGAB||DE,若4DEF=120。，则NA的度数为()

图①图②

A.60°B.65°C.70°D,75°

【答案】A

【分析】连接CF，根据4811c尸，从。||£?可得出乙。^=乙84;，再由平行线的性质即可得出结论.

【详解】解：连接CF,延长AG交C尸于点H,作MNIIAG,如图

图①图②

vAB||CF||DE,乙DEF=120°

：•/.CEF=180°一120°=60°.Z.AHF=/.BAG

*：AG||EF,AG||MN

LAHF=乙MNF,EFIIMN

•••Z.CFE=乙FNM=/.BAG=60°.

故选：A.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键.

【变式3-2］（2023・天津•天津实验中学校考模拟预测）光线在不问介质中的传播速度不问，因此当光线从水

中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.若

水面和杯底是互相平行的，且=45°,乙2=122°,则43=。，Z4=。.

空气

W

【答案】4558

【分析】先根据EG〃FH得出/3的度数，再由AB〃CD得出NECD的度数，根据CE〃DF即可得出结论.

【详解】解：如图:

G8

//H

空气

A

CD

VEG/7FH,Nl=45。,

.\Z3=Z1=45°.

VAB/7CD,Z2=122°,

.•.ZECD=180o-122o=58°.

VCE/7DF,

・•・Z4=ZECD=58°.

故答案是：45；58.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等.解题的关键是熟练掌握

平行线的性质进行解题.

【变式3-3］（2023下•吉林松原•八年级统考期中）如图1,为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能

电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2,电池板43与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要

使4BIICD,需将电池板CD逆时针旋转a度，a=.（0<a<90）

（图1）（图2）

【答案】20

【分析】先根据48与太阳光线互相垂直，得出"EB=28。，再根据平行线的性质可得当时，乙GFD=

乙FEB,即可得出结论.

【详解】解：与太阳光线互相垂直，

/.zFE5=90o-62o=28°,

当4BIICD时，^GFD=/.FEB=28°,

，需将电池板逆时针旋转48。-28°=20°,

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等.

【题型4由平行线的判定与性质进行证明】

【例4】（2023上•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨风华中学校考期中）完成下面的证明：

如图，已知ABIIEF,EPIEQ,zl+/.APE=90°,求证：ABWCD.

证明："ABWEF,

:.Z.APE=(),

vEP1EQ,

•••/PEQ=().

即/2+Z3=90°,

•••/APE+Z3=90°,

vZ1+N4PE=90°,

:.zl=,

:.||CO().

又•••A8IIEF,

ABWCD().

【答案】Z2,两直线平行，内错角相等：90。，垂直定义；Z3：EF,内错角相等，两直线平行：平行于同一

直线的两条直线互相平行

【分析】先根据平行线的性质得到乙4Pf=d再根据余角的性质得到42+△3=90。，再根据平行线的判

定及性质即可得到结论.

【详解】证明：-ABWEF,

：•，APE=Z2（两直线平行，内错角相等）,

•••EP1EQ,

」PEQ=90°（垂直定义）,

即，2+Z.3=90°.

:.Z.APE+43=90。，

vZ1+Z.APE=900,

•••zl=z.3,

・••EFWCD（内错角相等，两直线平行）.

X-.ABWEF,

ABWCD（平行于同一直线的两条直线冗相平行）.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

【变式4-1］（2023下•山东潍坊•八年级阶段练习）如图所示，已知48IIDC,AE^^BAD,CZ）与力E相交于

点儿Z.CFE=ZE,试证明：ADWBC.

【答案】见解析

【分析】根据平行线性质得出=根据角平分线定义得出48/1E=4小4几求出尸二4。根

据平行线的判定得出即可.

【详解】证明：・・NB||DC,

:.Z.BAE=Z.CFE,

-AE^^/-BAD,

Z.BAE=Z.DAF,

•••/CFE=/-DAF,

,:乙CFE=Z.F,

AZ.DAF=乙E,

：.AD\\BC.

【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的性质和判定定理进行推理

是解此题的关键.

【变式4-2]（2023下•贵州遵义•八年级校联考期中）如图，点A、D、E、尸四点共线,已知BE||CF,L5=4

求证：zl=z2.完善下面的解答过程.

证明：因为/3=乙4（已知），

所以AEII（）,

所以NW=Z5（）,

因为45=Z.A（已知），

所以4EOC=,

所以DC||AB,

所以乙5+乙ABC=180%（）

即：45+43+/2=180°,

因为BEIICF（已知），

所以NBC/+43=180°,

即：z5+zl+Z3=180°,

因此41=Z2（）.

【答案】8C;内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；乙4,同旁内角互补；等量代换

【分析】由内错角相等,两直线平行可得AEIIBC,则有乙EDC=>5,从而可求得“DC=乙力，即可得DC||4B,

乙5+匕48c=180°,即可求证.

【详解】解：・・23="（已知），

A/F||BC（内错角相等，两直线平行）.

：^EDC=Z5（两直线平行，内错角相等）.

Vz5=乙4（已知），

:.乙EDC=44.

・・・DCIIAB,

・"5+〃8C=180。（两直线平行,同旁内角互补）.

即：45+43+42=180°,

*：BE\\CF（己知）,

：.LBCF+Z3=180°,

即：匕5+匕1+43=180°,

・"1=c2（等量代换）.

故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等：44同旁内角互补；等量代换

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用.

【变式4-3］（2023下•辽宁大连•八年级统考期末）如图，Z-GDB+zF=180°,乙DEF=乙B.用等式表示上4ED

与/"CK的数量关系，并证明.

【答案】LAED=乙HCK,证明见解析

【分析】根据同角的补角相等得到一=4BD凡进而证明力B||EF得到乙8DE+AE产=180。，由此可得NB+

4RDE=180。得到DE||BC,再由平行线的性质和对顶角相等即可证明乙力EC=乙HCK.

【详解】解：乙AED=LHCK,证明如下：

■:乙GDB+ZF=180°,乙GDB+乙BDF=180°,

=乙BDF,

：.AB||EF,

，乙8DE+4DE/=180°,

•・・/8=乙DEF,

:.乙B+(BDE=180°,

：.DE||BC,

J.Z.AED=LACB,

又TLHCK=Z.ACB,

：.^.AED=乙HCK.

【点睛】本题主要考兖了平行线的性质与判定，对顶角相等，同景的补角相等等知识，熟知平行线的性质与

判定条件是解题的关键.

【题型5由平行线的判定与性质进行计算】

【例5】(2023下•山西吕梁•八年级统考期中)综合与实践

如图，三角形力8c中，4ABe=30°,Z.BCA=90°,LBAC=60°.将三角形/BC向右平移得至U三龟尺DEF.分

别连接AD，CF,BE.

备用图

(I)线段力0与。尸的数量关系和位置关系是：,其依据是

(2)求证：Z.ADF+Z.BEF=90°；

(3)猜想4氏40与乙夙??的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)40=CF,ADWCF；图形平移前后，连接各组对应点的线段平行且相等

⑵见解析

(3)LBAD-LBCF=30°.理由见解析

【分析】(1)根据平移的性质即可解答；

(2)延长。尸至点G.由题意可知L4DI尸GII8E,根据平行线的性质即得出乙IOF二乙。FG,乙BEF=LGFE,从

而得出4ADF+4BEF=ZDFG+ZGFE=4DFE,由三角板的特点可知4DFE=90°,即得出4力。尸+乙BEF=

90°；

(3)延长E8至H,由40I8E,可推出484。=乙48H.由CF||8E,可推出匕8。/=乙CBH,从而即可得出乙BAD-

ZBCF=々ABH-ZCBH=々ABC.由三角板的特点可知乙4BC=30°,即得出/8力。-乙BCF=30°.

【详解】(1)4C=CF,ADWCF；图形平移前后，连接各组对应点的线段平行且相等；

（2）证明：如图，延长CF至点G.

：.Z.ADF=Z.DFG,乙BEF=LGFE,

AzADF+ZBEF=zDFG4-zGFE=zDFE=90°,

(3)/.BAD-Z-BCF=30°.理由如下：

如图，延长E8至H,

：.ABAD=乙ABH,

：.ABCF=MBH,

AzBAD-zBCF=4ABH-zCBH=zABC=30°.

【点睛】本题考查平移的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算.正确的作出辅助线是解题关键.

【变式5・1】（2023上•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图,已知DEIIBC,乙48c=105°,

点F在射线B4上，月/EOF=125',则功FB的度数为.

A

；DE

BC

【答案】20°或130°

【分析】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论，画出图形，分别依据平行线的性质，即可得到的

度数，解题的关键是知道分两种情况对点F讨论.

【详解】解：分两种情况：

①如图，延长E0交48于G,

VDEHFC,

：.LFGD=（B=105°,

又,：乙EDF=125°,

工乙DFB=125°-105°=20°；

②如图，过户作FGIIBC,

VDEH5C,

：.FG\\DE\\BC,

：,LEDF+乙DFG=180°,乙B+LBFG=180°,

又1•々ABC=1050,4ED"=125°,

：.LBFG=75°,Z.DFG=55°,

・"DFB=750+55°=130。，

故答案为:20。或130。.

【变式5-2］（2023上•安徽合肥•八年级校考期中）如图，在△48C中，点。在BC上，点E在/1C上，40交BE于

F.己知EGIIAD交8c于G,EG平分4BE",EH上BE交BC于H.

A

BDGHC

⑴求乙8FD的度数.

(2)若乙84D=乙EBC,乙C=47°,求乙区4。的度数.

【答案】(1)45。

(2)88°

【分析】(1)由EH1BE得到=90°,由EG平分NBE斤得到/BEG=45°,进而由4。IIEG得到乙BFD=

45°；

(2)由三角形的外角性质得到MAD=KBAD+418E,然后结合48/10="8。得到"18。=LBFD=45°,

再结合“=47。和三角形的内角和求得MAC的度数.

【详解】(1)解：•••EH1BE,

•••乙BEH=90°,

VEG平分乙BE",

4BEG=乙HEG=口BEH=45°,

2

又WAD,

:.Z.BFD=乙BEG=45°；

(2)解：•••(BFD=乙BAD+/.ABE,乙BAD=4EBC,

:.乙BFD=乙EBC+乙ABE=匕ABC=45°,

vLC=47°,

•••LBAC=180°-乙ABC一乙C=180°—45°-47°=88°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，三角形的内角和与外角的性质，解题的

关键是熟知平行线的性质求得ZBFD的度数.

【变式5-3](2023下•江苏泰州•八年级校考期中)如图，在ZMBC中，点。、尸在8c边上，点E在48边上，

点G在4c边上，EF与GO的延长线交于点H,乙BDH=AAEH=^ADH.

GC

(1)£H与4。平行吗？为什么？

(2)若乙H=40。,求乙BAD的度数.

【答案】⑴平行，见解析

(2)40°

【分析】⑴EHIMD,理由如下：由已知条件，乙BDH=LB,根据平行线的判定可得IIGH,根据平行

线的性质得284。+AADH=180°,等量代换得到4酸。+^AEH=180°,即可得出答案；

(2)结合(1)根据平行线的性质即可得解.

【详解】(1)EH||AD,理由如下：

■:乙BDH=乙B,

•••AB||GH,

：•^DAD十^LADII=180°,

vZ.AEH=Z.ADH,

:./.BAD+Z.AEH=180°,

:.EH||4D；

(2)v乙BAD+乙ADH=180°,

又•；EH||AD,

:.z//+Z.ADH=180°,

乙H=乙BAD,

vZ/7=40°,

•••Z.BAD=40°.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键.

【题型6由平行线的判定与性质探究角度之间的关系】

【例6】(2023下•河北石家庄•八年级石家庄市藁城区第一中学校联考期中)如图，直线mil几，直线PQ和直

线执、n分别交于D两点，点4,8分别在直线m、九上，点。在直线PQ上，连接。4OB.

(1)猜想：如图1,若点。在线段“Q上,Z.OAC=25。Z-OBD=3。。则4A08=.

(2)探究：如图1,若点。在线段PQ上,写出〃。8,乙。4C,乙。30之间的数最关系并说明理由;

(3)拓展：如图2,若点。在射线CP上或在射线0Q上时，写出4108,^OAC,乙。80之间的数量关系并说明

理由.

【答案】(1)55°

(2)乙40B=40力。+乙08。，理由见解析

(3)乙A0B="BD-WAC^AOB=Z.0AC-乙0BD,理由见解析

【分析】(1)如图所示，过点。作0E||m,可得m||n||0E,根据两直线平行，内错角相等可得〃。E=WAC=

25。，乙BOE=Z.0BD=30°,由此即可求解；

(2)证明方法同(1)；

(3)根据点的不同位置，分类讨论，①如图2,当点。在射线CP上时，过点。作OE||m：②如图3,当点。在

射线DQ上时，过点。作OEII771；根据平行性的性质，图形结合分析•，即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，过点。作。Elim,

'：ra||n,

AmIInII0E,

：.LA0E=LOAC=25°,乙BOE=乙OBD=30°,

：.LAOB=LAOE+乙BOE=LOAC+乙OBD=25°+30°=55。,

故答案为:55°.

(2)解：LAOB=^.OAC+^OBD,理由如下：

如图1,过点。作。£IIm,

*.*nIIn,

：,raIInIIOE,

：.LAOE=Z.OAC,乙BOE=^OBD,

：.^AOB=^AOE+乙BOE=^OAC十乙OBD,U\l^AOD=^OAC十乙ODD.

(3)解：/-AOB=Z-OBD-WAC^AOB=^OAC-AOBD,理由如下：

①如图2,当点。在射线CP上时，过点。作。E||m,

：.ra||n||OE,

：.LAOE=Z.OAC,乙BOE=LOBD,

：,LAOB=乙BOE-AAOE=Z.OBD-2LOAC,即N408=Z.OBD-^OAC；

②如图3,当点。在射线Z)Q上时，过点。作。£IIm,

:.TnIInIIOF,

：.LAOE=AOAC,乙BOE=LOBD,

：,LAOB=^AOE-乙BOE=/.OAC-乙OBD,^i£AOB=Z.OAC-乙OBD；

综上所述，LAOB=乙OBD-4O4C或/A08=Z-OAC-乙OBD.

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的美键.

【变式6-1](2023下•四川宜宾•八年级统考期末)如图，将线段4B平移至DC,使点A与点。对应，点8与

点C对应，连接4Q,BC.E为BC延长线上一点，连接DE,BD,且NECO=NEDC,作平分/BDE交BE于

点F.

(1)若当44DC=70°f^BDE=110°时，求/C。尸的度数；

(2)若乙CDF=a/D8C=/7,试探究a与/7之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)15。

(2)a=1/?,理由见解析

【分析】(1)平移，得到力DIIBC,推出=乙EDC=70°,角平分线的定义，得至尸=乙BDF=

-ABDE=55°,再根据乙CDF="DE-N/DE进行求解即可；

2

(2)设乙FOE=x/CDF=a,得到乙DCE=乙CDE=X+a,角平分线推出48DC=(BDF-乙CDF=x-a,

进而得到/DBC=乙DCF-乙BDC=(x+a)-(x-a)=2a=2乙CDF,即可得出结论.

【详解】(1)解：•・•将线段88平移至DC,

：.AD||BC,

：.LADB=乙DBC,乙ADC=乙ECD=70°,

工乙ECD=乙EDC=70°,

:“ADC=乙EDC,

•・・。/'卜分乙BDE,

AzFDF=Z.BDF=底BDE=55°,

2

：.LCDF=乙CDE-乙FDE=15。；

(2)a=-/?,

2L

理由：^FDE=x,Z.CDF=a,

则，DCE=Z-CDE=x+a,

•・・。尸平分48困

:•乙BDF=LEDF=x,

:•乙BDC=Z-BDF—乙CDF=x—a,

：.LDBC=乙DCF-Z.BDC=(x+a)-(%-a)=2a=2zCDF,

:•〃:DF=、£DBC,g|Ja=-/?.

22广

【点睛】本题考查平移的性质，平行线的性质，与角平分线有关的计算.解题的关键是掌握平移的性质，理

清角之间的和差，倍数关系.

【变式6-2](2023下•上海静安・八年级上海市市北初级中学校考期中)已知：四边形ABC。，/DII8C(如图

1),点。在直线。上运动，点尸和点C,D不重合，点尸，A,8不在同一条直线上，若记ZD4P,乙APB,

图1

(1)如图2,当点P在线段CD上运动时，写出乙a,邛,乙y之间的关系并说出理由.

图2

(2)如果点P在线段CD的延长线上运动，探究△。，邛,4y之间的关系，并说明理由.

【答案】(l)NS=Na+NV

(2)/0=zy-za

【分析】（1）过点P作PE||4。，如图1,由「。得=由40118c得PE||BC,fflzy=^BPE,

所以4?=Z.APE+乙BPE=La+zy；

（2）如图2,根据平行线的性质由A。IIBC得"BC=41,根据三角形外角性质得乙1=LPAD+乙1PB,

所以44P3=々P3C—4P/4。，即乙夕=乙丫一乙2.

【详解】（1）乙0=4。+乙丫.理由如下：

过点P作PEIIAD,如图1,

•••PE||AD,

:.za=zAPE,

VAD||BC,

.•・PE||BC,

•••zy=zBPE,

•••zp=zAPE+zBPE=za4-Zy：

（2）如图2,AD||BC,

•••zPBC=z.1,

而Z.1=4PAD4-ZAPB,

•••ZAPB=ZPBC-ZPAD,

即=zy—za.

rai图2

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内

错角相等.

【变式6-3］（2023下•河南焦作•八年级统考期中）如图1,已知乙4=50。，C为射线力。上一点［不与点A重

合），连接BC

【发现】如图2过点C作CEIL48

（1）若乙BCD=730,求NB的度数;

（2）若乙B=30°,求/BCD的度数;

【探究】直接写出图1中乙4,NB和乙BCD之间的数量关系：_；

【拓展】利用【探究】中的结论完成下列问题.

如图3/4=50。，C为射线AD上一点（不与点A重合），在射线BC上取一点。，过点O作直线MN,使MNIIAD,

8E平分4/18C交力。于点E,。产平分乙80N交力。于点尸，0G||8E交710于点G,当点C沿着射线710方向运动

时，NF0G的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值.

【答案】(1)23。(2)80°

【探究】乙BCD=/.BAD+乙B

【拓展】不变，25。

【分析】【发现】（1）根据平行线的性质=乙ECD=50°,再求出ZBCE的度数，利用内错角相等可求

出角的度数；（2）由（1）可得出ZBCD=44+=50°+30°=80°；

【探究】过点C作CEIIAB,类似（1）利用平行线的性质，得出三个角的关系;

【拓展】运用（2）的结论和平行线的性质、角平分线的性质，可求出ZFOG度数，可得结论.

【详解】【发现】⑴・・・CE||48,

=LDCE=50。，4B=乙BCE,

■:乙BCD=73°

：.LB=乙BCE=乙BCD-乙DCE=23°

(2)由(1)可知NBCD=44+"=SO。+30°=80°

【探究】々BCD=乙BAD+乙B,

理由：过点。作CEWAB,如图2,

则乙84。=乙ECD,乙B=乙BCE,

.:乙BCD=Z.ECD+Z.BCE,

:•乙BCD=乙BAD+乙B；

故答案为：乙BCD=4BAD+乙B

【拓展】不变，设乙48E=X,

平分4/1BC,

..LCBE=Z.ABE=x,

由【探究】结论可知N8CD=乙BAD+匕ABC,且乙BAD=50。，

则：^BCD=50°+2x,

'：AD||MN,

，乙BCD=乙BON,

•；OF平分乙BON,

Z.COF=Z.NOF="ON=25>+x,

2

*：OG||BE/COG=Z.CBE=%,

：,LFOG=Z.COF-乙COG=25°+x-x=25°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题关键是熟练掌握用平行线的性质证明角相等，通

过等量代换等方法得出角之间的关系.

【题型7由平行线的判定与性质确定角度定值问题】

【例7】(2023下•湖北十堰•八年级校考期中)如图,已知7MIIBN,乙4=60。，点P是射线AM上一动点(与

点A不重合)，BC,8D分别平分U8P和NPBN,交射线4M于点C,D.

[\}LCBD=°：

(2)当点P运动时，堞是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由;

(3)当点P运动到使ZACB=zABD时，求“BC的度数.

【答案】（1）60

（2）是定值，2

（3）30°

【分析】（1）根据角平分线的定义，和平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可；

（2）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义，进行求解即可；

（3）根据平行线的性质，以及推出Z08N=进而推出2448C+2408N=44=

120°,即可得解.

【详解】（1）解：V/1M||BN,LA=60°,

•••/ABN=180°一4A=120°,

,：BC,8。分别平分ZA8P和上PB/V,

/.乙PBC=-乙PBA,乙PBD=-乙NBP,

22

•:乙ABN=LABP+乙PBN,

:•乙CBD=乙PBC+乙PBD=^（APBA+乙NBP）=^Z-ABN=60°,

故答案为：60.

（2）黑是定值，理由如下：

L/IS

•••BD平分乙PBN,

•••乙PBN=2乙DBN,

设乙DBN=x,则/P8N==2%,

AM\\BN,

:.Z.ADB=Z.DBN=x,Z.APB=LPBN=2x,

△APB2X

•••------=——=2.

Z.4DBx

⑶•••4MII8N,

AZ.ACB=乙CBN,

vZ.ACB=UBD,

/.CBN=乙ABD,

乙CBN-乙CBD=乙ABD-乙CBD,

•••乙DBN=乙4BC,

•：AM\\BN,

••・/ABN+44=180°,

vLA=60°,

•••乙4BN=180°—NA=120°,

又•:BC平分z/BP,

Z.ABP=2/.ABC,

由（2）知，乙PBN=2乙DBN,

v"BN=乙ABP+乙PBN,

2Z.ABC+2乙DBN=4/.ABC=120°,

•••/.ABC=30°.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义.熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，是

解题的关键.

【变式7-1](2023下•四川达州•八年级统考期末)已知直线4BIICD,点£、尸分别在直线48、C。上,连接EF,

FG平分/EFO.

(1)如图I,连接EG,若EG平分NBEF.求NG的度数；

(2)如图2,连接EG,若乙BEG=cFEH,猜想NEHF和乙G的数量关系，并说明理由；

(3)皿图3,点”为线段EF(端点除外)上的一个动点，过点H作EF的垂线交力8于M,连接MG,若MG平

分/EMH,问乙G的度数是否为定值？若是，求出NG的度数：若不是，请说明理由.

【答案】(l)NEG/=90。

(2)/EGF+NEHF=1800；理由见解析

(3)/MG/的度数是为定值，且NMG尸=45。

【分析】(1)根据EG、FG分别平分N8E”和NEH),得至ljN8"=2NF£G,ZEFD=2ZGFE,白干BE||CF

到/8//+/石/。=180。，于是得到2/庄6+2/6尸。=180。，即可得到结论：

(2)过点G作GNIIAB,因为4BIICD,所以GNIICD.设/EGN=4BEG=a,ZNGF=ZGFD=(i.由已

知可得/反；/=/8七6+/6尸。=。+4，ZEHF=180°-ZEFG-ZFEH=180°-a-//,即可解答；

(3)过点G作GN||AB,因为ABIICD,所以GNIICD.所以设/MGN=NBMG=a,/NGF=/GFD=。.即

NMGF=NBMG+NGFD=a+£,根据NEFO的平分线相交于G,得到NMEF=NEFD=2仇所

以NHME=90。-NMEF=90°-2日.再因为/WH_LEF,所以/月用七=90。一/加七F=90。-2/?.再根据MG平分

NBMH,利用等量代换即可得到结论MH所以/〃加上=90。-/用£/=90。-2/7.再根据条件MG平分

/BMH,得到NEMG=45。-夕，即可得解.

【详解】(1)解：•:EG、/G分别平分和NE/7),

:,乙BEF=2乙FEG,/EFD=2/EFG,

'：ABIICD,

AZBEF4-ZEFD=180°,

・•・2ZFEG+2ZGFE=180°,

.*.ZFEG4-ZGFE=90°,

NEGF+ZFEG-\-ZGFE=180%

.\ZEGF=90°.

(2)解：猜想：ZEGF+ZE/7F=180°,

过点G作GN||AB,

*：AB||CD,

:,GN||CD,

设NEGN=NBEG=a,ZNGF=ZGFD=fl,

・•・NEGF=/BEG+/GFD=a+§,

••YG平分NE尸O,

:.NEFG=NGFD=6,

,/ZEHF=180°-ZEFG-ZFEH=180°-a-^,

，ZEHF=\SO°-a-p=\SOQ-ZEGF,

・・・N£G/+NE”F=180°.

(3)解：结论：/MGF=45。，理由如下：

过点G作GGIIAB,

'：ABIICD,

・・・GNIICD,

，设4MGN=4BMG=a,ZNGF=ZGFD=fi,

NMGF=/8MG+/GFD=a+8,

•・・FG平分/七/。，

:.NEFG=NGFD=B，

•:AB||CD,

:.NMEF=/EFD=26,

VMH1EF,

・••ZHME=90°-ZMEF=90°-2^,

•，WG平分N8M”，

・

••NEMG=ZGMH=a=2-ZHME,

:.ZEMGHME=^90°-2^=45°-/f,

:.NMGF=a+£=45。一/6=45。,

:.NMG/=45。，

・・.NMG尸的度数是为定值.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键.

【变式7-2](2023下•山东济南•八年级统考期中)如图①，Z.EFH=90°,点A,C分别在射线FE和FH上,

AB\CD.

(I)若NF4B=150。，则NHC。的度数为_____；

(2)小明同学发现，无论乙凡48如何变化，乙凡4B-N，CO的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助

线作法：如图②，过点A作/1MIIFH,交CQ于点M.请你根据小明同学提供的辅助线，确定该定值，并说

明理由；

(3)如图③，把2EPH=90。”改为2EFH=120。"，其他条件保持不变，猜想乙凡48与ZJ7CD的数量关系，并

说明理由.

【答案】(1)60。

(2)90°,理由见解析

(3)LFAB-Z.HCD=60°,理由见解析

【分析】(1)过点尸作如图，由已知尸G〃八8,ZM«=150°,根据平行线的性质可得N4PG+

N以4=180。，可计算出N/W7G的度数，由NEF〃=9()。，可计算出NC尸G的度数，由平行线的性质即可得

出答案；

(2)由已知条件AM〃/77,NEFH=90。,根据平行线的性质可得NE/7/+N以M=180。，计算出NFAM的

度数，由平行线的性质可得N8AM=/AMC