八年级数学培优资料

目录

第1讲全等三角形的性质与判定..............................2

第2讲角平分线的性质与判定................................16

第3讲轴对称与轴对称变换..................................22

第4讲等腰三角形..........................................31

第5讲等边三角形.........................................42

第06讲实数............................................48

第7讲变量与函数..........................................54

第8讲一次函数的图象与性质.................................61

第9讲一次函数与方程、不等式..............................72

第10讲一次函数的应用...................................78

第11讲第的运算...........................................106

第12讲整式的乘除.......................................111

第13讲因式分解与其应用.................................117

第14讲分式的概念•性质与运算............................124

第15讲分式的化简求值与证明...........................132

第16讲分式方程与其应用.................................139

第17讲反比例函数的图象与性质...........................149

第18讲反比例函数的应用.................................160

第19讲勾股定理..........................................166

第20讲平行四边形.........................................180

第21讲菱形与矩形.........................................189

第22讲正方形.............................................206

第23讲梯形..........................................218

第24讲数据的分析........................................229

模拟测试卷（一）...........................................245

模拟测试卷（二）.............................................252

模拟测试卷（三）...........................................255

第1讲全等三角形的性质与判定

考点-方法・破译

1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大

小完全相同；

2.全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等

三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积

相等；

3.全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形

全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；

4.证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法

中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再

根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它

们进行证明；

5..证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要

证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造

全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等

等.

经典•考题.赏析

［例1］如图，AB〃EF〃DC,NABC=90°,AB=CD,则图中有全等三角

形（）

A.5对B.4对C.3对D.2对

【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三

角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对

全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.

解：（DVAB/7EF/7DC,ZABC=90./.ZDCB=90.

在和中

AB=DC

・NABC=NDCBXAB（泾：./XDCB（SAS）ZJ=

BC=CB

⑵在和中

NA=ZD

<ZAED=ZDEC：.△仍陷XDCE：.BE=CE

AB=DC

⑶在RtXEFBa、RtXEFC中

:.RtXEFB叁RtXEFC故选C

【变式题组】

01.（天津）下列判断中错误的是（）

A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D.有一边对应相等的两个等边三角形全等

02.（丽水）已知命题：如图，点A.D.B.E在同一条直线上，且AD=

BE,ZA=ZFDE,则△ABCgADEF.判断这个命题是真命题还是假

命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适

当条件使它成为真命题，并加以证明.

03.（上海）已知线段AC与BD相交于点0,连接AB.DC,E为0B的中点,

F为0C的中点，连接EF（如图所示）.

⑴添加条件NA=ND,Z0EF=Z（）FE,求证：AB=DC；

⑵分别将“NA=ND”记为①，“N0EF=N0FE”记为②，“AB=DC”记为③，添加①、

③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是命题,

命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB.求证：AF=DE.

【解法指导】想证AF=DE,首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在

△AFB和4AEF中，而DE在4CDE和ADEF中，因而只需证明AABF也ADCE

或△AEFgaDFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.

证明：VFB=CE.・.FB+EF=CE+EF,即BE=CF

AB=DC

在△/庞和△戊方中，\AE=DF

BE=CF

：.(SSS)A/B=/C

AB=DC

在△力断和△〃"中，＜ZB=ZC.・・△力用也：.AF=DE

BF=CE

【变式题组】

01.如图，AD.BE是锐角AABC的高，相交于点0,若BO=AC,BC=7,

CD=2,则A0的长为（）

42B.3C.4D.5

02.如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AE是过A点的一条直线，AE

_LCE于E,BD_LAE于D,DE=4cm,CE=2cm,则BD=.

03.(北京)已知：如图，在aABC中，.ACB=90°,CD_LAB于点D,

点E在AC上，CE=BC,过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证:

AB=FC.

［例3］如图①，△ABCgZ\DEF,将△ABC和4DEF的顶点B和顶点E

重合，把4DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点0.

⑴当ADEF旋转至如图②位置，点B(E)、C.D在同一直线上时，ZAFD

与NDCA的数量关系是;

⑵当aDEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理

由.

图①图②

【解法指导】

⑵NAFD=NDCA理由如下：由aABC之△DEF,AAB=DE,BC=EF,Z

ABC=ZDEF,ZBAC=ZEDFAZABC-ZFBC=ZDEF-ZCBF,AZABF

=ZDEC

AB=DE

在△?!断和△庞C中，.ZABF=ZDEC

BF=EC

：4\B2XDEC/BAF=/DEC:/BAC—/BAF=/EDF—/EDC,

:・/FAC=/CDFVZAOD=ZFAC+AAFD=ZCDF+ADCA

：.AAFD=ADCA

【变式题组】

01.（绍兴）如图，D.E分别为aABC的AC.BC边的中点，将此三角形

沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若NCDE=48°,则NAPD等于

（）

A.42°B.4S°C.52°D.58°

02.如图，RtaABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列

结论中错误的是（）

A.AABC^ADEFB.ZDEF=90°

C.AC=DFD.EC=CF

03.一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两

张三角形纸片摆成如下图形式，使点BF、C.D在同一条直线上.

⑴求证：AB1ED；

⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

【例4】(第21届江苏竞赛试题)已知，如图，BD.CE分别是AABC的

边.C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP=AC,点Q在CE上，CQ=

AB.求证：.AP=AQ；⑵AP_LAQ

【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形

全等.经观察，证AP=AQ,也就是证4APD和AAOE,或AAPB和aQAC全等,

由已知条件BP=AC,CQ=AB,应该证△APBgZ\QAC,已具备两组边对应相

等，于是再证夹角N1=N2即可.证APJ_AQ,即证NPAQ=90°,ZPAD+

ZQAC=90°就可以.

证明：⑴・・・BD.CE分别是4ABC的两边上的高，

・・・/94=/或=90°,

B

.\Zl+ZBAD=90o,Z2+ZBAD=90°,AZI^><2.

在AAPBffAQAC中，JAAPB^AQAC,

：.AP=AQ

(2)VAAPB^AQAC,.*.ZP=ZCAQ,AZP+ZPAD=90°

VZCAQ+ZPAD=90°,AAP1AQ

【变式题组】

01.如图，已知AB=AE,NB=NE,BA=ED,点F是CD的中点，求证：AF

±CD.

02.（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，

梯子顶端距地面的垂直距离MA为am,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯

子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB

为bm,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是（）

03.如图，已知五边形ABCDE中，ZABC=ZAED=90°,AB=CD=AE

=BC+DE=2,则五边形ABCDE的面积为

演练巩固-反馈提高

01.（海南）已知图中的两个三角形全等，则Na度数是（）

)

A.20°B.30°C.35°D.40°

03.（牡丹江）尺规作图作NAOB的平分线方法如下：以。为圆心，任意长

为半径画弧交OA.OB于C.D,再分别以点C.D为圆心，以大于长为半径

画弧，两弧交于点P,作射线OP,由作法得aocp经aoDP的根据是

（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

04.（江西）如图，已知AB=AD,则添加下列一个条件后，仍无法判

定△ABCgZ\ADC的是（）

A.CB=CD.......B.NBAC=NDAC

C.NBCA=NDCA….D.NB=ND=90°

05.有两块不同大小的等腰直角三角板4ABC和△BDE,将它们的一个

锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A.B.D不

在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）

A.AABE^ACB.......B.NABE=NCBD

C.NABC=/EBD=45.....D.AC//BE

06.如图，4ABC和共顶点A,AB=AE,Z1=Z2,NB=NE.BC交AD

于M,DE交AC于N,小华说：“一定有△ABCWZ\AED.”小明说：“ZXABM

g△AEN.”贝）

A.小华、小明都......B.小华、小明都不对

C.小华对、小明不.....D.小华不对、小明对

07.如图，已知AC=EC,BC=CD,AB=ED,如果NBCA=119°,ZACD=98

。，则NECA的度数是.

08.如图，△ABC会AADE,BC延长线交DE于F,ZB=25°,ZACB=

105°,ZDAC=10°,则NDFB的度数为.

09.如图，在RtZXABC中,NC=90°.DE_LAB于D.BC=BD.AC=3,则

AE+DE=

10.如图，BA_LAC.CD〃AB.BC=DE,且BC_LDE,若AB=2.CD=6,贝I]AE

*

11.如图.AB=CD.AB〃CD.BC=12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点C出

发,沿CB方向爬行，P的速度是0.Icm/s.Q的速度是0.2cm/s.求爬行时

间t为多少时，AAPB^AQDC.

12.如图，ZXABC中，NBCA=90°,AC=BC,AE是3c边上的中线，过C作CF_LAE,垂

足为F,过B作BDJ_BC交CF的延长线于D.

⑴求证：AE=CD；

⑵若AC=12cm,求BD的长.

13.（吉林）如图，AB=AC,AD±BC于点D,AD等于AE,AB平分/DAE交DE于点F,请

你写出图中一:对全等三角形，并选取其中一对加以证明.

14.如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线1上，从另

两个顶点A、B分别作1的垂线，垂足分别为D、E.

⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；

⑵若DE=a,求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）

15.如图,AC±BC,AD1BD,AD=BC,CE1AB,DF±AB,垂足分别是E、

F.求证：CE=DF.

16.我们知道，两边与其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不

一定全等，则在什么情况下，它们会全等？

⑴阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；

已知△ABC、AA1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1,BC=B1C1,ZC=

NC1.求证：△ABC也△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）

⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.

培优升级-奥赛检测

01.如图，在△ABC中，AB=AC,E、F分别是AB.AC上的点，且AE=

AF,BF、CE相交于点0,连接A0并延长交BC于点D,则图中全等三角

形有（)

A.4对B.5对C.6对D.7对

02.如图，在AABC中，AB=AC,0C=0D,下列结论中：①NA=N

B②DE=CE,③连接DE,则0E平分NA0B,正确的是（）

A.①②B.（2）@Q（1X3）D.①②③

03.如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE,Z1=Z2=Z3,贝ijDE的

长等于（）

A.D....B.B.....C.A............D.AE-f-AC

04.下面有四个命题，其中真命题是（）

A.两个三角形有两边与一角对应相等,这两个三角形全等

B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

05.在AABC中，高AD和BE所在直线相交于H点，且BH=AC,则NABC=

06.如图，EB交AC于点M.交FC于点D.AB交FC于点N,NE=NF=

90°,NB=NC.AE=AF.给出下列结论：①/1=N2；②BE=CF.③AACN

也△ABM.④CD=DB,其中正确的结论有.（填序号）

07.如图，AD为在aABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有

BF=AC,FD=CD.

⑴求证：BE±AC；

⑵若把条件"BF=AC”和结论“BEJ_AC”互换，这个命题成立吗？证

明你的判定.

08.如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD=AB,ZBDA=ZBAD,

AE是AABD的中线.求证：AC=2AE.

09.如图，在凸四边形ABCD中，E为4ACD内一点，满足AC=AD,AB

=AE.NBAE+NBCE=90°.NBAC=NEAD.求证：NCED=900.

10.（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,

其中NACB=NDEB=90°,ZA=ZD=30°,点E落在AB上，DE所在

直线交AC所在直线于点F.

⑴求证：AF+EF=DE;

（2）若将图①中aDBE绕点B顺时针方向旋转角Q,且0°VQV60

°,其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）

中结论是否仍然成立；

⑶若将图①中^DBE绕点B按顺时针方向旋转角6,且60°<P<

180。，其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立,

写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并

说明理由。

11.（竦州市高中提前招生考试）⑴阅读理解；课外兴趣小组活动

时，老师提出了如下问题：在aABC中，AB=5,AC=13,求BC边上的

中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,

使得DE=AD,再连接BE,把AB.AC.2AD集中在aABE中，利用三角形

的三边关系可得2VAEV8,则1VADV4.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑

中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中

到同一个三角形中.

⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题:如图，在ZkABC中，D是BC边上

的中点，DEXDF,DE交AB于点匚，DF交AC于点F,连接EF.

求证：BE+CF>EF；

⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=120°,

以D为顶点作一个60。角，角的两边分别交AB.AC于E、F两点，连接EF,探索线段

BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.

12.（北京）如图，已知aABC.

⑴请你在BC边上分别取两点D.E（BC的中点除外），连接AD.AE,写出使

此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等

的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AOAD+AE.

13.如图，AB=AD,AC=AE,NBAD=NCAE=180°.AHJ_AH于H,

HA的延长线交DE于G.求证：GD=GE.

14.己知，四边形ABCD中，AB_LAD,BC±CD,BA=BC,ZABC=120°,

ZMBN=60°,NMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD.DC（或它们的延长

线）于E、F.

当NMBN绕B点旋转到AE=CF时，如图1,易证：AE+CF=EF；（不需

证明）

当NMBN绕B点旋转到AEWCF时，如图2和图3中这两种情况下，上

述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有

怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

第2讲角平分线的性质与判定

考点•方法•破译

1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2.角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角

的平分线上.

3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典•考题・赏析

【例1】如图，已知0D平分NAOB,在OA.OB边上截取OA=OB,PM1

BD,PN_LAD.求证：PM=PN

【解法指导】由于PMJLBD,PN_LAD.欲证FM=PN只需N3=N4,证N3

=N4,只需N3和N4所在的△OBD与AOAD全等即可.

证明：・.・OD平分NAOBAZ1=Z2

在△OBD与△OAD中，AAOBD^AOAD

・・・N3=N4VPM1BD,PN1AD所以PM=PN

【变式题组】

01.如图，CP、BP分别平分AABC的外角NBCM、NCBN.求证：点P在N

BAC的平分线上.

02.如图，BD平分NABC,AB=BC,点P是BD延长线上的一点，PM±

AD,PN_LCD.求证：PM=PN

【例2】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分/BAD,CE

J_AB于点E,且AE=（AB+AD）,如果ND=120°,求NB的度数

【解法指导】由已知/1=N2,CE±AB,联想到可作CFJ_AD于F,得CE=CF,AF=AE,

又由AE=（AB十AD）得DF=EB,于是可证△CFDqACEB,则Z：B=/CDF=60".或者在AE上

截取AM=AD从而构造全等三角形.

解：过点C作CFLAD于点F.〈AC平分NBAD,CE1AB,点C是AC

上一点

・・・CE=CF

在RtACFA和RtACEA中,ARtAACF^RtAACEAAF=AE

又・.・AE=(AE+BE+AF—DF),2AE=AE+AF+BE—DF,ABE=DF

VCF1AD,CE1AB,AZF=ZCEB=90°

在4CEB和aCFD中，，1•△CEB四Z\CFD

AZB=ZCDFXVZADC=120°,AZCDF=60°,即NB=

60°.

【变式题组】

01.如图，在^ABC中,CD平分NACB,AC=5,BC=3.求

02.(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB=a,AD=b.且BC=DC,对

角线AC平分NBAD,问a与b的大小符合什么条件时，有NB+ND=180

。，请画图并证明你的结论.

【例3】如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分NABC,CE

JLBE.求证:CE=BD

【解法指导】由于BE平分NABC,因而可以考虑过点D作BC的垂线或

延长CE从而构造全等三角形.

证明：延长CE交BA的延长线于F,VZ1=Z2,BE=BE,NBEF=N

BEC

!,

/.△BEF^ABECfASA]ACE=EF,.\CE=CFVZ1+ZF=Z3+ZF=9Oz

AZ1=Z3

在AABD和4ACF中，，.•.△ABDg^ACF

：.BD=CF：.CE=-BD

2

【变式题组】

01.如图,已知AC〃BD,EA.EB分别平分NCAB.NDBA,CD过点A求证:AB=AC+BD.

02.如图，在AABC中，NB=60°,AD.CE分另IJ是NBAC.NBCA的平

分线，AD.CE相交于点F.

⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理曰；

⑵求证：AE+CD=AC.

演练巩固-反馈提高

01.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,BD平分NABC交AC于D,若

CD=n,AB=m,则4ABD的面积是（）

A.innB.innC.mnD.2mn

02.如图，已知AB=AC,BE=CE,下面四个结论：①BP=CP；②AD_LBC；

③AE平分NBAC；④NPBC=NPCB.其中正确的结论个数有（）个

A.1B.2C.3D.4

03.如图,在ZXABC中，P、Q分别是BC.AC上的点,作PRJLAB,PSJ_AC,垂

足分别是R、S.若AQ=PQ,PR=PS,下列结论：①AS=AR；②PQ〃AR；

③△BRP名ACSP.其中正确的是（）

A.®@B.®®C.①®D.①②③

04.如图，AABC中，AB=AC,AD平分NBAC,DEIAB,DF1AC,垂足分

别是E、F,则下列四个结论中：①AD上任意一点到B.C的距离相等；

②AD上任意一点到AB.AC的距离相等；③ADLBC且BD=CD；@ZBDE

=NCDF.其中正确的是（）

A.②③B.②④C.②③④D.①②

③④

05.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,NACB的平分

线与NABC的外角平分线交于E点，则NAEB的度数为（）

A.50°B.45°C.40°D.35

O

06.如图，P是4ABC内一点，PD_LAB于D,PE_LBC于E,PFJ_AC于F,且

PD=PE=PF,给出下列结论：①AD=AF；②AB+EC=AC+BE；③BC+

CF=AB+AF；④点P是4ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是

（）

A.（D@③④B.①②③C.（D@④D.（2）@@

07.如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不王确

的是（）

A.点P到AABC三边的距离相等氏点P在NABC的平分线上

C.NP与NB的关系是:/P+/B=90°D.NP与NB的关系是:

NB=/P

08.如图，BD平分/ABC,CD平分NACE,BD与CD相交于D.给出下列结

论：①点D到AE、AC的距离相等；②NBAC=2NBDC；③DA=DC；④

DB平分NADC.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4

个

09.如图，^ABC中，ZC=90°AD是AABC的角平分线，DE_LAB于E,下

列结论中：①AD平分NCDE；②NBAC=/BDE；③DE平分NADB；④

AB=AC+BE.其中正确的个数有（）

A.3个B.2个C.1个D.4

个

10.如图，已知BQ是NABC的内角平分线，CQ是NACB的外角平分线，由

Q出发，作点Q到BC.AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为M、N、

K,则QM、QN、QK的关系是

11.如图，A1)是NBAC的平分线，DE_LAB于E,DF_AC于F,且DB=DC.求证:BE=CF

12.如图，在AABC中，AD是NBAC的平分线，DE±AB于点E,DF_L

AC于点F.求证：AD_EF.

培优升级-奥赛检测

01.如图，直线11.12.13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物

中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有()

A.一处B.二处C.三处D.四

处

02.已知RtZXABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于D,若BC=

32,且BD:CD=9:7,则D到AB边的距离为()

A.18B.16C.14D.12

03.如图，ZXABC中，NC=90°,AI)是aABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：

DC=3cm,DB=4cm,AD=8cm.DP的长为x(cm),则x的范围是______

04.如图,已知ABZ/CD,PE1AB,PF1BD,PG1CD,垂足分别为E、F、

G,且PF=PG=PE,则NBPD=

05.如图，已知AB〃CD,()为NCAB.NACD的平分线的交点，0E1AC,且

0E=2,则两平行线AB.CD间的距离等于

06.如图，AD平分NBAC,EF_LAD,垂足为P,EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：

ZG=(ZACB-ZB)

07.如图,在aABC中,AB>AC,AD是NBAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB-AODB

-DC

08.如图，在aABC中，ZBAC=60°,ZACB=40°,P、Q分别在BC、AC

上，并且AP、BQ分别为NBAC、NABC的角平分线上.求证：BQ+AQ=AB

+BP

第3讲轴对称与轴对称变换

考点-方法・破译

1.轴对称与其性质

把一个图形沿着某一条直线折槌，如果它能够与另一个图形重合，则

就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.

轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等

形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于

某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上.

2.线段垂直平分线

线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位

置关系一一垂直；②数量关系一一平分.

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平

分线上.

3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求

几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形,

集中条件.

经典•考题.赏析

【例1】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面

打3个洞，则纸片展开后是（）

【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴,故选D.

【变式题组】

01.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形

是()

02.(荆州)如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G

上，点D落在点？1上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C

落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后

的图形为()

【例2】(襄樊)如图，在边长为1的正方形网格中，将4ABC向右平移两个单位长度得

到4A'B'C',则与点B'关于x轴对称的点的坐标是()

A.(0,-1)B.(1,1)C.(2,-1)D.(1,-1)

【解法指导】在aABC中，点B的坐标为(-1,1),将AABC向右平

移两个单位长度得到4A'B'C',由点的坐标平移规律可得B'(—1+2,

1),即B'(1,1).由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点夕关于x

轴对称的点的坐标是(1,-1),故应选D.

【变式题组】

01.若点P(—2,3)与点Q(a,b)关于x轴对称，则a、b的值分

别是()

A.-2,3B.2,3C.-2,~3D.2,~3

02.在直角坐标系中，已知点P(—3,2),点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右

平移4个单位得到点R,则点R的坐标是.

03.(荆州)已知点P(a+1,2a-l)关于x轴的对称点在第一象限，

则a的取值范围为.

［例3］如图，将一个直角三角形纸片ABC(ZACB=90°),沿线段

CD折叠，使点B落在Bl处，若NACBl=70°,则NACD=()

A.30°B.20°C.15°D.10°

【解法指导】由折叠知NBCD=NB1CD.设NACD=x,则NBCD=NB1CD

=ZACB1+ZACD=7O0+x.又NACD+NBCD=NACB,B|Jx+（70°+x）

=90°,故x=10".故选D.

【变式题组】

01.（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折登后，点D.C分别落在

点D'、C'的位置.若NEFB=65°,则NAED'等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

02.如图，ZXABC中，ZA=30°,以BE为边，将此三角形对折，其

次,又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时NCDB=82°,

则原三角形中/B=.

03.（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过

点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展平纸片（如图

①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸

片后得到4AEF（如图②）.小明认为4AEF是等腰三角形，你同意吗？

请说明理由.

⑵实践与运用：

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折槌，使点A落在BC边上的点F处,

折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'

处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中的大小.

［例4］如图，在4ABC中，AD为NBAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF

交BC的延长线于点F,求正：ZB=ZCAF.

【解法指导】〈EF是AD的中垂线，则可得△AEFgaDEF,・・.NEAF=

ZEDF.从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可.

证明：YEF是AD的中垂线，，AE=DE,ZAEF=ZDEF,EF=EF,，△

AEF^ADEF,AZ2H-Z4=Z3,.\Z3=ZB+Z1,AZ2+Z4=ZB+

Zl,VZ1=Z2,AZB=Z4

【变式题组】

01.如图，点D在AABC的BC边上，且BC=BD+AD,则点D在

的垂直平分线上.

02.如图，Z^ABC中，ZABC=90°,ZC=15°,DEJ_AC于E,且AE=EC,

若AB=3cm,则DC=cm.

03.如图，△ABC中，ZBAC=126°,DE、FG分别为AB.AC的垂直平

分线，则NEAG=.

04.4ABC中，AB=AC,AB边的垂直平分线交AC于F,若AB=12cm,△

BCF的周长为20cm,则△ABC的周长是cm.

【例5】（眉山）如图，在3X3的正方形格点图中，有格点

DEF,且AABC和ADEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所

有这样的ADEF.

【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在

找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为

对称轴.若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的4DEF如图①②③所

示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的aDEF如图④所示；若以

图案居中的斜线为对称轴，所作的4DEF如图⑤⑥所示.

【变式题组】

01.（泰州）如图，在2X2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点

的aABC,请你找出格点图中所有与AABC成轴对称且也以格点为顶点的

三角形，这样的三角形共有个.

02.（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且

满足下列条件：

⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

⑵涂黑部分成轴对称图形.

如图乙是一种涂法，请在图1—3中分别设计另外三种涂法.（在所设

计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图

丙）

【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水

后【可家，试问在何处饮水，所求路程最短？

【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M,使其AM+B.M为最小;

⑵本题利用轴对称知识进行解答.

解:先作点A关于直线CD的对称点Z,连接卜B交CD于点M,则点

M为所求，下面证明此时的AM+BM最小.

证明：在CD上任取与M不重合的点M',

・・・AA，关于CD对称，・・・CD为线段AA，的中垂线，

AAM=A,M,M'=A'M',在AA'M'B中,有A'BVA'M'+BM',

・・・A'M+BMVA'M'+BM',.*.AM+BM<AM,+BM',

即AM+BM最小.

【变式题组】

01.（山西）设直线1是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到1

地距离分别为2千米、5千米，欲在1上的某点M处修建一个水泵站向

P、Q两地供水.现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的

管道，则铺设的管道最短的是()

02.若点A、B是锐角ZM0N内两点,请在OM、0N上确定点C、点D,使

四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点.

演练巩固-反馈提高

01.(黄冈)如图，AABC与B'C'关于直线1对称，且NA=78

°,NC'=48°,则/B的度数是().

A.48°B.54°C.74°D.78°

02.(泰州)如图，把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中

点0为顶点把平角NA0B三等分，沿平角的三等分线折叠，将折福后的图

形剪出一个以0为顶点的等腰三角形，则剪出的等腰三角形全部展开铺平

后得到的平面图形一定是()

A.正三角形E.正方形C.正五边形D.正六边形

03.图1是四边形纸片ABCD,其中NB=120°,ZD=50°,若将其右

下角向内折出APCR,恰使CP〃AB,RC〃AD,如图2所示，则NC=()

A.80°B.85°C.95°D.110°

04.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形乂是关

于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是(L3),则点M和点N的坐标

分别是()

A.M(1,-3),N(-1,-3)B.M(-1,-3),N(~lt3)

C.M(~lf~3),N(1,-3)D.M(~lf3),N(1,­3)

05.点P关于x轴对称的对称点P'的坐标是(一3,5),则点P关于

y轴对称的对称点的坐标是()

A.(3,-5)B.(~5f3)C.(3,5)D.(5,

3)

06.已知2a+2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取

值范围是（）

A.B.—iWaWlC.a>lD.a>~1

07.（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是.

08.（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为

cm2.

09.已知点A（2a+3b,—2）和B（8,3a+2b）关于x轴对称，则a+b

*

10.如图，在aABC中，OE、OF分别是AB.AC中垂线，且NABO=20°,ZABC=45°,求N

BAC和/ACB的度数.

11.如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面

上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞

击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法.

12.如图，P为NABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PMLBC于

M,PN_LBA的延长线于N.求证：AN=MC.

13.（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼

成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个

正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图.（画出的两个图

案不能全等）

培优升级-奥赛检测

01.（浙江竞赛试题）如图，直线11与直线12

12

相交，NQ=60°,点P在N。内（不在1112上）.小明用下面的方

法作P的对称点：先以11为对称轴作点P关于11的对称点P1,再以

12为对称轴作P1关于12的对称点P2,然后再以11为对称轴作P2关

于11的对称点P3,以12为对称轴作P3关于12的对称点P4,……如

此继续，得到一系列PLP2.P3……Pn与P重合,则n的最小值是（）

A.5B.6C.7D,8

02.在平面直角坐标系中，直线1过点M（3,0）,且平行于y轴.

⑴如果AABC三个顶点的坐标分别是A（-2,0）,B（-1,0）,C（-

1,2）,Z\ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1,ZiAlBlCl关于直线

1的对称图形是4A2B2c2,写出4A2B2c2的三个顶点的坐标；

⑵如果点P的坐标是（一a,0）,其中a>0,点P关于y轴的对称点是点

P1,点P1关于直线1的对称点是P2,求PP2的长.

03.（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4

棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照

举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案.

04.（宜昌）已知：如图,AF平分NBAC,BC_LAF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB

分别与线段CF、AF相交于P、M.

⑴求证：AB=CD；

⑵若NBAC=2NMPC,请你判断NF与NMCD的数量关系，并说明理由.

05.在△ABC中，ZBAC=90°,点A关于BC边的对称点为A',点B

关于AC边的对称点为B',点C关于AB边的对称点为C',若$4

ABC=1,求SZ\A'B'C'.

06.（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这

样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线1,在直线1

两边各放一粒围棋子A、B,使线段AB长a厘米，并关于直线1对

称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、与直线1的距

离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至

P2点；第2次，从P2点以1为对称轴跳至P3点；第3次，从P3

点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以1为对称轴跳至P1

八占、、.，

⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；(画图工具不限)

⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a=8,b=6,c=3,计算

这时它与A的距离是多少？

07.(湖州)如图，己知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A

(2,-3),B(4,-1).

⑴若P(P,0)是x轴上的一个动点，则当p=时，APAB

的周长最短；

⑵若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点，则当a=

时，四边形ABCD的周长最短；

⑶设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M5,0)、

N(0,n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=,

n=(不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.

第4讲等腰三角形

考点-方法・破译

1.等腰三角形与其性质

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，

因此它的性质有：⑴等腰