八年级数学下册专题194 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】（举一反三）（人教版）

专题19.4一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】

【人教版】

【逑型1一次函数与一元一次方程的解】.........................................................1

【题型2两个一次函数与一元一次方程】.........................................................2

【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】...............................................3

【题型4一次函数与二元一次方程（组）的解】...................................................3

【题型5不解方程组判断方程组解的情况】.......................................................4

【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】.....................................................4

【题型7两个一次函数与一元一次不等式】.......................................................5

【题型8绝对值函数与不等式】.................................................................6

【题型9一次函数与一元一次不等式组的解集】..................................................8

【题型10一次函数与不等式组中的阴影区域问题】.................................................9

”7岁*三

【知识点1一次函数与一元一次方程、不等式的关系】

1.任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k^O）的形式.

而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，*0）.当函数值为。时，•即kx+b=0就与一元一次方

程完全相同.

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=O（k、b为常数，1#0）的形式.所以解一元一次方程可以

转化为：当一次函数值为。时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.

【题型1一次函数与一元一次方程的解】

【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y=3x■机・4经过点A（加，0）,则关于x的方程"-m・4=0

的解是.

【变式1-1]（2022春•安阳县期末）一次函数），=履+力的图象如图所示，则关于x的方程,5+8=0的解

为.

【变式1-2]（2022春•雷州市校级期末）一次函数），=h+力（k¥0,匕。是常数）的图象如图所示，则关

)

C.x=0D.x=h

【变式1-3]（2022秋•招远市期末）已知关于;v的一次函数,=3x+〃的图象如图，则关于x的一次方程3,v+〃

=0的解是（）

B.x=-3C.=-D.x=—

x23

【题型2两个一次函数与一元一次方程】

【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y=5x+M的图象与正比例函数），="的图象交于点（-2,4）

（匕m是常数），则关于“的方程的解是

【变式2-1]（2022秋•龙岗区期末）如图，函数）=2x+》与函数），=心一1的图象交于点P,则关于x的方

【变式2-2]（2022秋•苏州期末）已知一次函数尸奴+1与y=」x+b的图象相交于点⑵5）,求关于x

乙

的方程日+〃=（）的解.

【变式2-3]（2022秋•包河区期末）已知直线y=x+/＞和y=at+2交于点P（3,-1）,则关于x的方程（。

-1）x=b-2的解为.

【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】

【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y=kx+b（k为常数且20）的图象经过点（-2,0）,

则关于x的方程女（x-5）+8=0的解为.

【变式3-1]（2022•姜堰区一模）若一次函数y=ai+〃（〃、b为常数,且〃工0）的图象过点（2,0），则

关于x的方程a（x+1）+b=0的解是.

【变式3-2]（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x的一次函数y=h+〃的图象经过点A（-1,0）,则方

程2（x+2）+力=0的解为.

【变式3・3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线）=履-2向下平移4个单位长度得直线y=h+〃?，己知方

程kv+〃?=0的解为x=3,贝I斤=，"i=.

【题型4一次函数与二元一次方程（组）的解】

[ft4]（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组已：上::的解为___________.

iy—ax十0

【变式4-1]（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数），=kix+"与＞=%＞+岳的图象如图所示，则关

于心），的方程组匕二：；：二：1之的解是.

【变式4-2]（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组的解为仁;；4,则在同一平面直角

（X十zy——L—1

坐标系中，直线，i：y=x+5与直线八：y=--1的交点坐标为（)

A.（4,1）B.（1,-4）C.（-1,-4）D.（-4,1）

【变式4-3］（2022•德城区二模）若以关于X、y的二元一次方程x+2y-8=0的解为坐标的点（x,y）都在

直线>>=一夕+〃-1上，则常数b的值为（）

A.-B.1C.-1D.2

2

【题型5不解方程组判断方程蛆解的情况】

【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于->的方程组售甘，、丫；

（1）当匕》为何值时，方程组有唯一一组解：

（2）当k,力为何值时，方程组有无数组解：

（3）当k,b为何值时，方程组无解.

【变式5-1］（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组。::［;二1口有唯一的一组解，那么应满足的条件

LX十uiy——o

是（）

2222

A.m=-B.7nH二C.m=--D.7nH一二

3333

【变式5-2］（2022春•覃塘区期中）如果关于x,Y的方程组£21；1，有唯一的一组解，那么a，b,c

,（ax+by=c

的值应满足的条件是（）

A.aWbB.b力cC.aWcD.。六。且cHl

【变式5-3］（2022春•高明区期末）左为何值时，方程组2"一'二一3有唯一一组解；无解；无穷多解？

,3y=1—6x

【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】

【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数中x取不同值时，），对应的值列表如下：

X-nt1-112

y-20zr+1…

则不等式依+b>0（其中从加，〃为常数）的解集为（）

A.x>\B.x>2C.x<\D.无法确定

【变式6-1］（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y=依+〃的图象经过点A（-3,2）,B（1,0）,

则关于x的不等式kx+b<2解集为

y

^-3o|1、x

【变式6・2】（2022春•湖南期中）已知关于工的不等式or+l>0（〃工0）的解集是xVl,则直线y=ar+l

与x轴的交点是（）

A.（0,1）B.（-1,0）C.（0,-1）D.（1,0）

【变式6-3]（2022春•高明区校级期末）如图，直线），="+〃与直线），=一）+交于点A（m,2）,则关

【题型7两个一次函数与一元一次不等式】

[ft7]（2022•钟山县校级模拟）直线八：），=》+〃与直线/2：）=br在同一平面直角坐标系中的图象如图

所示，则关于、的不等式麦调>处.什b的解集为（）

【变式7-1]（2022•烟台）如图，直线y=x+2与宜线尸at+c相交于点P（〃?，3）,则关于x的不等式x+2

Sax+c的解集为.

【变式7-2］（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数,，=自+力《#0）的图象过点人（2,4）、B（0,

3）.

（1）求一次函数y=h+〃的解析式；

（2）若关于x的一次函数九叶〃（〃?<0）的图象也经过户,A,则关于x的不等式nix+n^kx+b的解集

为.

【变式7-3］（2022春•潮安区期末）已知直线产质+5交x轴于4,交），轴于8且A坐标为（5,0）,直

线y=2X-4与4轴于。，与直线AB相交于点C.

（1）求点C的坐标；

（2）根据图象，写出关于x的不等式2x-4>履+5的解集；

【题型8绝对值函数与不等式】

［例8］（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数尸小-〃|+c

的图象和性质.

（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=|x-2|和），=卜-2|+1的图象；

（2）猜想函数），=和尸・|r+"・3的图象关系;

（3）尝试归纳函数y=a|_r-b|+c的图象和性质：

（4）当-2«5时，求），=・2|x・3|+4的函数值范围.

【变式8-1]（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数），=|工|的图象和

性质，并解决问题.

（1）完成下列步骤，画出函数），=国的图象；

①列表、填空；

X♦♦・-3-2-10123

y•••31123

②描点；

③连线.

（2）观察图象，当x时，y随x的增大而增大；

（3）根据图象，不等式的解集为

【变式8-2]（2022春-确山县期末）画出函数），=国-2的图象，利用图象回答下列问题：

（1）写出函数图象.上最低点的坐标，并求出函数），的最小值；

（2）利用图象直接写出不等式M・2>0的解集：

（3）若直线y=kx+b（k,，，为常数，且&W0）与），=凶・2的图象有两个交点A（〃?，1）,B《，-1）,

直接写出关于x的方程田-2=kx»b的解.

【变式8-3]（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，

并结合图象研究函数性质的过程.以卜是我们研究函数y=|2x+4|+户〃？性质及其应用的部分过程，请按

要求完成下列各小题.

（1）如表是部分x,），的对应值：

x•••-6-5-4-3-2-10I2

y…0n-2-3-4-1258…

根据表中的数据可以求得m=,〃=;

（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数

的图象;

（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性

质;

（4）若一次函数.y="+。（女工0）的图象经过点（・4,-2）和点（1,5）,结合你所画的函数图象，

直接写出不等式kx+b<|2x+4|+.r+w的解集.

【题型9一次函数与一元一次不等式组的解集】

【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组产的解集是（）

XX+d>0

tvf=-ax^b

/d\4^x

y=cx-d।

A.x<-1B.-l<x<0C.-1<x<4D.x>4

【变式9-1］（2022春•南康区期末）如图，直线），=・工+机与直线y=gx+3交点的横坐标为-2.则关于

的解集为

【变式9-2］（2022・需阳区二模）如图，直线尸质+〃经过点A（-1,3）,B（一会0）两点，则不等式

组0＜丘+8V-3x的解集为

【变式9-3］（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线9=奴+2与户=法+4交于点N（1,。+2）,将直线

9=公+2向下平移后得到g=依-5,则能使得"V力〈9的x的所有整数值分别为（：

A.1,2,3B.2,3C.2,3,4D.3,4,5

【题型10一次函数与不等式组中的阴影区域问题】

【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（)

2x+y>52x+y<5

A.3x4-4y>9B.3x+4y<9

y>0y>0

(2x+y>52x+y<5

j3x+4y>9D.3x+4y>9

(x>0%>0

【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集()

)x

A.x--5B.x+y^-5C.x+)W5D.x-yW5

用不等式表示阴影区域为（）

B.xiyAO,H.x-y>0

C.x+y2(),且x-yWOD.x+)W0