徐州市铜山中学高三上学期期中考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017—2018学年度高三年级第一学期期中抽测数学一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分,共70分.将答案填在答题纸上.1.设集合，，则．2.已知复数满足,其中为虚数单位，则复数的实部为．3。函数的最小正周期为．4。已知一组数据：87，，90，89,93的平均数为90，则该组数据的方差为．5.双曲线的离心率为．6。从2个黄球,3个红球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是．7。执行如图所示的算法流程图，则输出的值为．8.各棱长都为2的正四棱锥的体积为．9.已知公差不为零的等差数列的前项和为，且,若成等比数列,则的值为．10。如图,在半径为2的扇形中，，为弧上的一点，若，则的值为．11.已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是．12。已知实数满足，则的最小值为．13。已知是圆上的动点，点,若直线上总存在点，使点恰是线段的中点，则实数的取值范围是．14。已知函数,若存在,使,则实数的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知的内角所对应的边分别为，且.（1)求角的大小；（2）若，，求的面积.16。如图，在三棱锥中，，,为的中点，为上一点，且平面,求证：（1）直线平面；(2）平面平面.17。如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化，其中半圆的圆心为，半径为,矩形的一边在直线上，点在圆周上,在边上，且，设.（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为,求的表达式；（2）求符合园林局要求的的余弦值.18.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左顶点为，离心率为，过点的直线与椭圆交于另一点，点为轴上的一点。(1）求椭圆的标准方程；（2）若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程。19。已知数列的前项和为，满足，，数列满足,，且。（1）求数列和的通项公式;（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围。（3）是否存在正正数，使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由。20。已知函数（，是自然对数的底数）.（1)若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围;（2）求函数的极值;（3）设函数图像上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围.21.【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.A．【选修4-1：几何证明选讲】如图，是圆的切线,切点为，是过圆心的割线且交圆于点,过作圆的切线交于点，。求证：.B.【选修4—2:矩阵与变换】已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点，求实数的值。C.【选修4—4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，圆的方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为(为参数），若直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围.D．【选修4-5：不等式选讲】设均为正数，且,求证：。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.如图，在三棱锥中，两两互相垂直，点分别为棱的中点，在棱上，且满足，已知,.（1）求异面直线与所成角的余弦值；(2）求二面角的正弦值.23。某同学在上学路上要经过三个带有红绿灯的路口，已知他在三个路口遇到红灯的概率依次是，遇到红灯时停留的时间依次是40秒、20秒、80秒，且在各个路口是否遇到红灯是相互独立的.（1）求这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2)记这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为随机事件,求的概率分布与期望.试卷答案一、填空题1．2．3．64．5．6．7．48．9．8810．11．12．13．14．二、解答题15．（1）因为,由正弦定理,得．因为，所以．即，所以．因为，所以又因为,所以．（2)由余弦定理及得，，即．又因为，所以，所以．16。（1）因为平面，平面，平面平面，所以．因为平面,平面，所以平面．(2）因为为的中点，，所以为的中点．又因为，所以，又，，所以．又平面，，所以平面．因为平面,所以平面平面．17．（1）由题意,，，且为等边三角形,所以，，,．（2）要符合园林局的要求，只要最小,由（1）知，,令，即,解得或（舍去)，令,，当时，是单调减函数;当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.答：符合园林局要求的的余弦值为。18．（1）由题意可得：即从而有，所以椭圆的标准方程为：．（2）设直线的方程为,代入，得，因为为该方程的一个根,解得,设，由，得：，即：由，即,得，即，即，所以或，当时，直线的方程为，当时,代入得，解得，此时直线的方程为.综上，直线的方程为，.19．（1）当时，,所以．当时，，,两式相减得,又，所以,从而数列为首项，公比的等比数列，从而数列的通项公式为．由两边同除以,得，从而数列为首项,公差的等差数列，所以，从而数列的通项公式为．（2）由（1）得，于是，所以，两式相减得，所以，由（1）得，因为对，都有，即恒成立，所以恒成立,记，所以,因为，从而数列为递增数列，所以当时,取最小值，于是．（3）假设存在正整数，使（)成等差数列，则，即，若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.若为奇数，设，则，于是，即，当时，,此时与矛盾；当时，上式左边为奇数,右边为偶数,显然不成立.综上所述，满足条件的不存在．20．（1）函数的导函数，则在区间上恒成立，且等号不恒成立，又，所以在区间上恒成立，记,只需，即解得．经检验，时,是上的单调减函数，又,所以实数的取值范围是．（2）由,得，①当时，有；,所以函数在上单调递增，在上单调递减,所以函数在取得极大值,没有极小值．②当时，有;,所以函数在上单调递减，在上单调递增,所以函数在取得极小值，没有极大值．综上可知:当时，函数在取得极大值，没有极小值；当时，函数在取得极小值，没有极大值．（3)设切点为，则曲线在点处的切线方程为，当时，切线的方程为,其在轴上的截距不存在．当时,令，得切线在轴上的截距为，令，,考虑函数，则,列表如下:↗极大值↘↘极小值↗所以．故切线在轴上的截距的取值范围是．数学Ⅱ(附加题)参考答案21A．∵是圆的切线,∴，连结，则，∵是圆的切线，∴，又，∴,∴,则，而，∴，∴，由得，代入得，故．21B．矩阵，得，所以,将点代入直线得。21C．由（为参数），可得直线的普通方程为，由得，所以，圆的标准方程为，因为直线与圆恒有公共点，所以，又因为，所以，解之得,所以，实数的取值范围为．21D．证明：因为，所以，因为,当且仅当时等号成立,所以．22．(1)如图,以为原点,分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系。依题意可得：，，，，，，所以,，所以.因此异面直线与所成角的余弦值为。（2）平面的一个法向量为.设为平面的一个法向量，又，则即不妨取，则，所以为平面的一个法向量，从而,设二面角的大小为，则.因为，所以.因此二面角的正弦值为。23．(1)设这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件,因为事件等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”,所以.答:这名同学在上学路上在第三个路口时首次遇到红灯的概率为。（2）的所有可能取值为0，40，20，80，60，100，120，140（单位:秒).的分布列是：；；；；;；；。所以.

徐州市2017—2018学年度高三年级摸底考试数学I参考答案一、填空题1．2．3．64．5．6．7．48．9．8810．11．12．13．14．二、解答题15．（1）因为,由正弦定理，得．················2分因为，所以．即，所以．····························································································4分因为，所以．················································································6分又因为，所以．···············································································7分（2）由余弦定理及得，，即．··································································································10分又因为,所以，····················································································12分所以．·································································14分16。（1）因为平面，平面,平面平面，所以．·························································3分因为平面，平面,所以平面．···························································································6分（2）因为为的中点，，所以为的中点．又因为，所以，············································································8分又，，所以．···························································10分又平面，,所以平面．···························································································12分因为平面，所以平面平面．············································14分17．(1）由题意，，，且为等边三角形,所以，,·····································································2分,．····················································6分（2）要符合园林局的要求，只要最小，由(1）知，，令，即，解得或（舍去),·························································10分令，,当时，是单调减函数；当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.答：符合园林局要求的的余弦值为。··························································14分18．(1）由题意可得：即从而有,所以椭圆的标准方程为：．····································································4分（2）设直线的方程为,代入,得，因为为该方程的一个根，解得,·······································6分设,由，得：,即：····························································10分由，即，得，即，即，所以或，··························································································14分当时，直线的方程为，当时，代入得，解得，此时直线的方程为。综上,直线的方程为，。··························································16分19．（1）当时，，所以．当时，，，两式相减得，又，所以，从而数列为首项，公比的等比数列，从而数列的通项公式为．由两边同除以,得，从而数列为首项，公差的等差数列，所以，从而数列的通项公式为．·····························································4分(2）由（1）得，于是，所以,两式相减得，所以，由（1）得，·················································································8分因为对，都有，即恒成立，所以恒成立，记，所以，············································································································10分因为,从而数列为递增数列，所以当时，取最小值，于是．······················································12分（3）假设存在正整数,使(）成等差数列,则,即,若为偶数,则为奇数，而为偶数，上式不成立。若为奇数，设，则,于是，即，当时，,此时与矛盾；当时,上式左边为奇数,右边为偶数，显然不成立。综上所述,满足条件的不存在．····································································16分20．（1)函数的导函数，则在区间上恒成立，且等号不恒成立,（表述不对吧，可以去掉，后面再检验?）又,所以在区间上恒成立,·········································2分记,只需即解得．经检验,时，是上的单调减函数，又，所以实数的取值范围是．··············································4分我的机子这题答案后三行乱码，答案我算的是a小于三分之一，原答案忽略了0（2）由，得，①当时，有；，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在取得极大值,没有极小值．②当时，有；，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得极小值,没有极大值．综上可知:当时，函数在取得极大值，没有极小值；当时，函数在取得极小值，没有极大值．·········································································································································10分（3）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．当时，令，得切线在轴上的截距为，············································································12分令,，考虑函数,则，列表如下：↗极大值↘↘极小值↗所以．故切线在轴上的截距的取值范围是．······························16分

徐州市2017—2018学年度高三年级摸底考试（第21(A)（第21(A)题）21A．∵是圆的切线，∴,连结，则，∵是圆的切线,∴，又,∴，∴，则，而，∴，∴，································5分由得，代入得，故．···················································································10分21B．矩阵，得,·························································5分所以，将点代入直线得。··································································10分21C．由（为参数)，可得直线的普通方程为，由得,所以,圆的标准方程为,·························································5分因为直线与圆恒有公共点，所以，又因为,所以，解之得，所以,实数的取值范围为．·······