2025年中考数学总复习《特殊四边形的折叠问题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《特殊四边形的折叠问题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点与轴相交于点，点在边上（点Q不与点A，D重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点Q，并与轴相交于点，且，点，的对应点分别为点．(1)如图①，当点落在线段上时，求的大小和点的坐标；(2)设，纸片折叠后与矩形的重叠部分的面积为．①如图②，若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．2．（综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，．(1)操作发现：操作一：将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由）(2)实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接．①判断与折痕的位置关系，并说明理由；②求的长．(3)拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长．3．如图1，在四边形中，，，点P在边上．(1)判断四边形的形状并加以证明；(2)以过点P的直线为轴，将四边形折叠，使点B，C分别落在点上，且经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q；①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）（提示：为使折叠后经过点D，可以先考虑边上与点D对应的点）；②如图3，如果，且，试求的值：③如图4，如果，且，请直接写出的值．4．如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．(1)如图1，当点F恰好落在边上时，求证：四边形是菱形．(2)如图2，当点F恰好落在上，且时，求的值．(3)如图3，当，，时，连接，下列两个问题，对应的满分值为2分、4分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．①当时，求的长．②当点F恰好落在上时，求的长．5．珍珍在数学活动课上探究“矩形折叠问题”．如图，在矩形纸片中，为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．(1)如图1，若点落在对角线上，且，求的度数．(2)若，．①如图2，当时，四边形的面积是_____．②如图3，是的延长线与边的交点，当时，求的长．6．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．(1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标；(2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值；(3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式．7．四边形中，，(1)如图1，求证：四边形为矩形．(2)如图1，为延长线上一点，连分别为的中点，，求．(3)如图2，点为中点，将沿折叠到，点落点在，射线交边于，则___________．8．数学活动课上，同学们开展了以“折纸与证明”为主题的探究活动．(1)问题：在中，，怎么证明？小华把沿的平分线翻折，使点C落在上的点处，如图（1）得到证明思路．请根据这个思路，结合图（1）写出证明过程．(2)如图（2），小华将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次沿过点A的直线折叠，使点D落在折痕上的点N处，展平后得到折痕，连接、，得到．请判断的形状，并说明你的理由．9．在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠．(1)如图1，若．时，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点C'处，点B落在点处，交于点M．①求折痕的长；②连接交于点N，求的值；(2)如图2，，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点、，连接，，直接写出面积的最大值为，与面积的最小值为．10．如图1，在正方形中，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点落在正方形内部的点处，连接并延长，交于点．(1)判断与的数量关系为______；(2)【应用】如图1，延长交于点．①证明：；②若，，，求的长度；(3)【拓展】如图2，将正方形沿折叠，使点落在点处（正方形内部），连接并延长，交于点，延长交直线于点．若，，直接写出的值．11．如图，矩形的顶点A、C分别在轴和轴上，点B的坐标为，D是边上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边交于点E，连接．(1)如图1，若点D是的中点，求E点的坐标；(2)如图2，若直线与轴、轴分别交于M点，N点，过D作轴交于P点，过E作轴交于Q点，与交于点H，连接，求证：；(3)如图3，将沿折叠，点B关于的对称点为点，当点落在矩形内部时，求的取值范围．12．已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果．(1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求：(2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长；(3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长．13．折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸．【实践操作】操作1：将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作2：在上选一点，沿折叠矩形，使点正好落在折痕上的处．（1）根据以上操作，写出图1中一个的角：______（不添加辅助线与新字母）；【迁移探究】如图2，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．（2）连接，判断和的位置，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在矩形纸片中，点在上，将矩形沿着折叠，使得点的对应点落在边上的点处，连接，为的中点，连接交、于点、两点．当时请求出的正弦值．14．如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的点处，折痕为，过点作交于点，连接．(1)求证：四边形为菱形；(2)当点在边上移动时，折痕的端点，也随之移动，当点与点重合时（如图），求菱形的边长；若限定，分别在边，上移动，求出点在边上移动的最大距离．15．实践操作：（1）在矩形中，，，点在上，连接绕点顺时针旋转90度点的对应点恰好在上．求的值；（2）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点在上，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原，当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并求当时的菱形的面积；拓展延伸：（3）在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点，折痕为，点与点重合，点在直线上且，线段与射线交于点，射线与射线交于点．直接写出线段的长度．参考答案1．(1)，(2)①，其中t的取值范围是；②【分析】（1）根据折叠的性质和的直角三角形的性质直接求解即可；（2）①利用，表示，即可求出的长；分两种情况考虑极端值：当点落在边上时，点在上时，分别画图求解即可；②分三种情况：，，，分别画图，构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由折叠的性质可得：，，∴，∴，在中，，，∵，∴，，∴点的坐标为：；（2）解：①∵，∴，由折叠的性质可得：，，∴，∴，在中，，，∴当点落在边上时，作于点，如图所示，由折叠的性质可得：，，∴，∴，，∴此时，，当点在上时，如图所示，在中，，，∴，∵，∴，解得：，∴若折叠后与矩形的重叠部分是四边形时，的取值范围是：；②当时，设交轴于点，如图所示，此时就是折叠后与矩形的重叠部分，∵，，∴；当时，设交轴于点，交于点，如图所示，此时，重合部分是五边形，，，∴，，，∴，∴∴当时，的最大值，当时，设交于点，如图所示，此时，重叠部分是，，，∴，，∴，，∴，∵，∴当时，求的取值范围：．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形的相关计算，二次函数的应用，正确画出图形，恰当分类是解题的关键．2．(1)四边形是菱形(2)①，理由见解析，②(3)【分析】（1）连接，，设与交于点O，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证；（2）①连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解；（3）连接，由勾股定理可得，，得出当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，最后由勾股定理求解即可．【详解】（1）解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．理由如下：如图，连接，，设与交于点O，由翻折可知：，，是的垂直平分线，即有，，因为四边形是矩形，有，所以，，所以，于是，所以四边形是平行四边形，又因为，因此四边形是菱形．（2）解：①，理由如下：连接交于点E，由翻折可知：垂直平分，所以，，因为点为的中点，所以是的中位线，因此，即；②如图，连接交于点E，由翻折可知：垂直平分，所以，，在矩形纸片中，，，因为点为的中点，所以，在中，，因为，所以，而，又因为，，所以，所以，所以．（3）解：如图，连接，在矩形中，，，于是，因为，当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，此时，设，则，由翻折可知：，，，解得：，即．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．3．(1)四边形是平行四边形；证明见解析(2)①见解析；②；③【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断；（2）①过点P作的垂线，交于点E，截取，在上截取，交于点，再以为圆心，适当长度为半径画弧交于一点，连接点P与该点作射线交于点Q，过点Q作的垂线，作射线，交的垂线于点，连接即可；②先根据折叠得出一些对应边相等，对应角相等，并推导出，再设，，利用解直角三角形将和长用含的代数式表示出来，最后根据列出关于、的关系式，求得、的比值即可；③连接，易得平行四边形是菱形，推出，由折叠的性质得到，再求出，推出四点共线，得到点在上，是等腰直角三角形，得到，进而得到，即可求解．【详解】（1）解：四边形是平行四边形；证明：在四边形中，，∴，，，，四边形是平行四边形；（2）解：①作图如下：②当时，平行四边形是菱形，由折叠可得，，，，，当时，由，可得，，，∵，∴，，设，，则直角三角形中，，且，，，，直角三角形中，，∴，，，整理得，，即；③连接，当时，平行四边形是菱形，∴，∵，∴，，由折叠的性质得到，∵，∴，∴，∴，∴四点共线，∴点在上，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形以及菱形，解题的关键是掌握平行四边形的判定以及菱形的判定与性质．在解题时注意，菱形的四条边都相等，此外在折叠问题中，需要抓住对应边相等，对应角相等这些等量关系，折叠问题的实质是轴对称的性质．4．(1)见解析(2)(3)①；②【分析】（1）由折叠的性质可得，，，结合平行线的性质得出，从而推出，即可得出结论；（2）由“”证明得出，即可得解；（3）①由等腰直角三角形的性质可得，由折叠的性质得出，，即可求解；②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，由面积公式求得的长，的长，再由勾股定理计算即可得出答案．【详解】（1）证明：∵将沿折叠后，点的对应点为点，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵将沿折叠后，点的对应点为点，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：①如图，连接，设与交点，∵，，，∴，∵将沿折叠后，点的对应点为点，∴，，∴，∵，∴，∴；②设与交于点，过点作直线于，过点作于，过点作于，交于，∵，∴，∴四边形是矩形，四边形是矩形，∴，，∵将沿折叠后，点的对应点为点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、折叠性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．5．(1)(2)①8；②【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质以及折叠的性质得到，再由矩形得到，那么，即可求解；（2）①由折叠可得，，则，那么由四边形的面积即可求解；②在中，由勾股定理求出，折叠带来，即可求解，设．在中，由勾股定理建立方程即可求解．【详解】（1）解：在矩形中，．将纸片沿折叠，点的对应点为点，点在上，．，．，即，；（2）解：①由折叠可得，，∴，∵矩形，∴，∴四边形的面积，故答案为：8；②在中，，，，∵折叠，∴，．设．在中，，，，即．6．(1)(2)15(3)【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得：，解出可解答；（2）如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答；（3）如图③，过作轴于，设，根据勾股定理列方程得，求得，然后利用待定系数法求得的解析式为．【详解】（1）解：如图①，由折叠得：，四边形是矩形，，，，，，设，则，，在中，，由勾股定理得：，，，；（2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即，过作轴于，，是的中点，，，在中，由勾股定理得：，即的最小值是15；（3）解：如图③，过作轴于，，，设，则，，在中，由勾股定理得：，，，．设的解析式为，将，代入得：，解得：，的解析式为．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．7．(1)见解析(2)9(3)【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是的平行四边形是矩形即可证明结论；（2）如图：延长至E，使得，连接，则，易证可得，再证明是的中位线，最后根据中位线的性质即可解答．（3）如图：连接，由矩形的性质、中点的定义、折叠的性质可得、，易证可得，进而得到；设，则、、、，再由勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴．（2）解：如图：延长至E，使得，连接，则，∵∴，∴，∵G为的中点，∴，∴，即，∵P为的中点，∴是的中位线，∴．（3）解：如图：连接，∵四边形为矩形，∴，∵E为的中点，∴，∵将沿折叠到，点落点在，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，即，设，则，在中，，在中，，在中，，∵，∴，∴，解得：．∴．8．(1)证明见解析(2)是等边三角形，理由见解析.【分析】本题考查三角形的折叠问题，矩形的折叠，等边三角形的判定：（1）根据翻折的性质得：，根据，得出，进而可得出答案；（2）根据矩形的折叠得出垂直平分，再得出，根据折叠得出，推出，进而可得出结论．【详解】（1）证明：由翻折的性质得：，∵，∴，∴；（2）是等边三角形，理由：∵矩形纸片对折后再展开，折痕为，∴垂直平分，∴，∵将点D翻折到上的点N处，∴，∴，∴是等边三角形．9．(1)①；②(2)18，【分析】（1）①根据证明，得出，设，，，在中，根据勾股定理得出，，求出，则，，可证四边形是矩形，得出，，，最后根据勾股定理求解即可；②延长，交于点G，先证明，求出，，再证明，即可解答；（2）当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，根据三角形的面积公式即可解答；当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答．【详解】（1）解：①如图，过作于H，∵四边形是矩形，，，∴，，，由折叠得：，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，设，，，在中，，∴，∴，∴，，∵，，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴；②如图，延长，交于点G，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由折叠得：，，，，如图，∴当中边上的高最大时，的面积最大，即当F，C，三点共线时，的面积最大，由（1）同理可求，∴，∴，∴的面积为，即面积的最大值为18．如图，∴当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，∵，，，∴，∵，∴，∴的面积，即面积的最小值为．故答案为：18，．【点睛】本题是相似形的综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．10．(1)(2)①见解析；②(3)的值为或【分析】（1）利用证明即可；（2）①由折叠知，则，再由平行得，由，则有；②由（1）得；由①知，而，进而得，求得a的值；设正方形的边长为m，则在中，利用勾股定理建立方程求得m，从而求得；（3）分点H在延长线上及点H在线段上两种情况进行，设，正方形的边长为m，与（2）②同理可求得，进而求得结果．【详解】（1）解：由折叠知，，∴；∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：；（2）①证明：由折叠知，则；∵四边形是正方形，∴，∴；∵，∴；②解：由（1）得；由①知，∴；又；∴，解得：；∴；设正方形的边长为m，则，∴，在中，由勾股定理有，即，解得：（舍去），则；（3）解：设，正方形的边长为m；当点H在线段上时，与（2）②同理得：，解得：，同理在中，由勾股定理有，即，解得：（舍去），则，∴；当点H在线段延长线上时，如图；则，与（2）①同理，，则；∴，∴；∵，，在中，由勾股定理有，即，解得：（舍去），则，∴；综上，的值为或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，解一元二次方程等知识，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键．11．(1)(2)详见解析(3)【分析】（1）由是的中点，求出，进而求解；（2）证明，即可求解；（3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解．【详解】（1）解：如图1，四边形是拒形，轴，轴，，是的中点，，双曲线经过点，，，当时，，点的坐标为．（2）证明：如图2，点、点都在双曲线上，、，，∴，，，∵轴，轴∴四边形是矩形∴，∴，∴又∵∴∴∴；（3）解：如图，连接、交于点，交于点，，随的增大而增大，当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大，垂直平分，，，，且，解得：，则点，则．若点与点重合，则，的取值范围是．【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形的判定与相似，矩形的性质、最值的确定，解直角三角形等，确定的临界点是（3）中解题的关键．12．(1)；(2)；(3)．【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程．（1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果；（2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果；（3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠得：，∴，∴，设，则，在中，由得，，∴，∴；∴；（2）解：∵，，，∴，由折叠得：，，，∴，设，则，在中，由得，，∴，∴，∴；（3）解：作于点，则，∴四边形是矩形，∵点D与点B重合，∴垂直平分，∴，由（1）知：，又点O是长方形中心，∴，同（1），∴，，∴．13．（1），，，（写出一个即可）；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质可得，，根据特殊角的三角函数值的计算可得，再根据折叠的性质，平行线的性质可得，由此即可求解；（2）根据矩形的性质和折叠可证，，，再根据三角形的外角和定理可得，结合平行线的判定和性质即可求解；（3）设，根据矩形的性质，中点的性质可得，根据题意可得是等腰三角形，根据平行线的性质，对顶角的性质可得是等腰三角形，由此可得，根据折叠的性质可得，，根据三角形内角和定理可得，所以，即，可求出（负值舍去），由此即可求解．【详解】解：（1）∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，∴，，∵沿折叠，使点落在上的点处，，，，在中，，，∴；，，∴；故答案为：，，，（写出一个即可）；（2）如图所示，∵四边形是矩形，∴，，∵折叠，∴，，∴，，在中，，∴∴，∵折叠，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）设，∴，∵是的中点，∴，∵，即是等腰三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，即是等腰三角形，∴，∴，∵折叠，∴，，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，解得：（负值舍去），∴．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，含角的直角三角形的性质