2025年中考数学总复习《旋转综合》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《旋转综合》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．综合与实践在综合实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．操作探究：将三角形纸片进行如下操作：(1)第一步：如图①，折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则____________度，与的数量关系为____________；(2)第二步：如图②，将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，试写出与的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展延伸：在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，如图③所示，若，则的长为____________．2．（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°）解决问题：（2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系；拓展应用：（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．3．如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．(1)观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，①的值为；②的度数为度；(2)类比探究：如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．4．问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰直角三角形，如图1所示，把和摆在一起，其中直角顶点重合，延长至点，满足，然后连接．(1)实践猜想：图1中的与的数量关系为___________，位置关系为___________；(2)拓展探究：当绕着点旋转一定角度时，如图2所示，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3)解决问题：当，，旋转得到三点共线时，直接写出线段的长．5．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．6．问题背景：如图，已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合），交所在直线于点，交所在直线于点，记的面积为，的面积为，初步尝试：如图，当是等边三角形，，，且，时，则(1)类比探究：在上述条件下，先将随点沿平移，使，再将绕点旋转至如图所示位置，求的值．(2)延伸拓展：当是等腰三角形，时，设．①如图，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）；②如图，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．7．如图，和的顶点重合，，，，．(1)特例发现：如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：______，直线与直线的位置关系是______；(2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值．8．【题目】如图①，在矩形中，，F是延长线上一点，且，连接，交于点E，连接．试判断线段与的位置关系．【探究展示】小明发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：证明：∵，∴．∵，∴．∵四边形是矩形，∴．∴（依据1）∵，∴，∴，∵，∴（依据2），∴垂直平分．(1)【反思交流】上述证明过程中的“依据1”是；“依据2”是；(2)小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连接图①中的，将绕点C顺时针旋转得到，连接，求证：点G在线段的垂直平分线上；【拓展应用】如图③，将图②中的绕点F顺时针旋转得到．分别以点B、C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点M，连接，若，直接写出m的值．9．[发现]如图，在中，，，点在斜边上、点在直角边上，若．求证：；探究如图．在矩形中，，．点在上，连接，过点作交（或的延长线）于点．（1）若．求的长；（2）若点恰好与点重合，求的长；拓展如图，在矩形中，，．点在上，且．已知，将绕点从在上时开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点．交边（或）于点．当旋转至上时，的旋转随即停止，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由．10．综合与实践问题情境：数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图1，在中，，，，于点D，于点E，将以点D为旋转中心，逆时针方向旋转得到，若当点E的对应点正好落在的延长线上时，与相交于点F，试猜想与的数量关系，并说明理由．

(1)解决问题：请你解决老师提出的问题．(2)数学思考：“兴趣小组”的同学们受到老师所提问题的启发，将按图2所示的方式，以点D为旋转中心，逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上时，与交于点M．求此时的长度．(3)拓展探究：“智慧小组”又提出问题，如图3，将以点D为旋转中心，逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上时，的长度为多少？请你思考该问题，并直接写出的长度．11．如图，和都是等腰直角三角形，．(1)猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是_______，位置关系是______________；(2)探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗?说明理由；(3)拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是_______________．12．如图1，在中，，，点，分别在边、上，，连接，点，，分别为，，的中点．(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出周长的最小值．13．已知，，．

(1)【操作发现】如图1，将的顶点放在的边上（不与，重合），绕点任意旋转，使交边于点，交边于点，通过探究发现总有，请你写出证明过程；(2)【类比学习】如图2，将的顶点放在的边的延长线上，交边于点，交的延长线于点，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)【拓展延伸】将图2中的绕点逆时针旋转，使经过点，如图3，若，，，直接写出的长．14．在等腰中，，，，D是线段上的动点，M为中点．(1)如图（1），若将线段绕点逆时针旋转得到，连接．在点的运动过程中，解决如下问题：①【猜想证明】与的关系是_________；②【探究应用】求周长的最小值；③【探究应用】当取最小值时，求的长；(2)【拓展提升】如图（2），若为线段上的两个动点，且，求的度数．15．和均为等边三角形，O分别为和的中点，连接，，．

(1)【特例发现】如图1，当点D，点E与点F分别在上时，可以得出结论：______；直线与直线的位置关系是______．(2)【探究证明】如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转，使点D恰好落在线段上，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)【拓展运用】如图3，将图1中的绕点O顺时针旋转，连接，它们的延长线交于点H，当时：①连接，判断四边形的形状，并给予证明；②直接写出的值．参考答案1．(1)90；(2)，证明见解析(3)【分析】（1）根据折叠的性质，即轴对称性质求解即可；（2）连接，证，则全等三角形的性质即可得出结论；（3）先由勾股定理求出BC=10，从而求得BD=5，由旋转志折叠可求出DF=DE=3，AE=4，再在Rt△DFB中，再由勾股定理，求得BF=4，由（2）问可得ME=MF，所以设ME=MF=x，则AM=4-x，BM=4+x，然后在Rt△ABM中，由勾股定理，得，即，求解得x=，则可求出AM长．【详解】（1）解：由折叠可知，点A与点C关于DE对称，∴DE⊥AC，AE=CE，∴∠EDC=90°，∴∠BAC=∠DEC=90°，∴DEAB，∴，∴CD=BD，故答案为：90，；（2）解：证明：∵折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，∴．∴．连接，如图，根据旋转性质可知：．又∵∴∴．（3）解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=，由（1）知，点D是BC中点，点E是AC中点，∴BD=BC=5，DE=AB=×6=3，AE=CE=AC=×8=4，由旋转得：∠DFM=∠DEC=90°，DF=DE=3，∴∠DFB=90°，在Rt△DFB中，由勾股定理，得BF=，由（2）知：ME=MF，设ME=MF=x，则AM=4-x，BM=4+x，在Rt△ABM中，由勾股定理，得，即，解得：x=，∴AM=4-x=4-=．【点睛】本题考查旋转与折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，三角形中位线性质，全等三角形的判定与性质，本题属几何变换综合题目，熟练掌握旋转与折叠的性质是解题的关键．2．（1）（2）见解析（3）【分析】（1）以点为旋转中心，将顺时针旋转得，可得，，，然后证明，可得，进而可得结论；（2）以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，可得，，，然后证明，可得进而证得，再根据勾股定理可得结论；（3）连接，过点作于，根据菱形性质可得，是等边三角形，然后证明，可得，然后根据等边三角形的面积即可解决问题．【详解】（1），理由如下：如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，将顺时针旋转得，，，，四边形是正方形，，，，，，，（2）如图，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，连接．绕点逆时针旋转得到，，，．由题知，，，．．．，．．是等腰直角三角形，．．，．（3）．如图，连接，过点作于，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，利用旋转通过添加适当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．3．(1)，45(2)成立，理由见解析(3)的长为或．【分析】（1）如图所示，设与交于O，求得，，，证明，据此求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）分两种情形：如图3-1和图3-2所示，分别求出，根据（1）（2）的方法求解即可．【详解】（1）解：如图所示，设与交于O，∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，，，即，∴，∴，∴，，∵，∴，由于点E与点F重合，∴，故答案为：，45；（2）解：设与交于O，∵和都是等腰直角三角形，，∴，∴，，，即，∴，∴，∴，，∵，∴；（3）解：如图3-1所示，当于O时，∵和都是等腰直角三角形，，，∴同（1）可得，∵，∴，∴，∴，同理可证，∴，∴；如图3-2所示，当时，延长交于O．同理可得，，，∴；综上所述，的长为或．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能找到相似三角形进行求解．4．(1)，(2)成立，见解析(3)或【分析】（1）和等腰直角三角形，证明即可；（2）根据和都是等腰直角三角形，证明即可；（3）分类讨论，如图所示（见详解），过点作于，过点作于，根据直角三角形的勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵和等腰直角三角形，∴，延长至点，∴，且，∴，∴，，，如图所示，延长交于，在中，，∵，∴在中，，即，∴，即，故答案为：，．（2）解：成立，理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴．（3）解：旋转得到三点共线，①如图所示，过点作于，∵是等腰三角形，，，∴，，在中，，∴，∴，即旋转得到三点共线时，；②如图所示，过点作于，同理，，即旋转得到三点共线时，；综上所述，当，，旋转得到三点共线时，线段的长为或．【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键．5．(1)①∠NAB＝∠MAC，BN＝MC；②成立，见解析(2)【分析】（1）①由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；②由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，进而得出∠MAC=∠NAB，判断出△CAM≌△BAN，即可得出结论；（2）在A1C1的截取A1O=A1B1，过点A1作AE⊥B1C1于E，根据旋转得出A1P=A1Q，∠QA1P=75°，可证△PA1O≌△QA1B1（SAS），得出OP=B1Q，要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，而点O为A1C1上定点，当OP⊥A1C1时，OP最小，先求∠C1=180°-∠A1B1C1-∠B1A1C1=45，，再利用30°直角三角形性质求出B1E=，利用勾股定理求出，利用等腰直角三角形求出即可．【详解】（1）解：①结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，即：∠MAC=∠NAB，∵AB=AC，∴△CAM≌△BAN（SAS），∴MC=NB，故答案为∠NAB=∠MAC，MC=NB；②（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，AM=AN，∠BAC=∠NAM，∴∠BAC-∠BAM=∠NAM-∠BAM，即：∠MAC=∠NAB，∵AB=AC，∴△CAM≌△BAN（SAS），∴MC=NB；（2）解：如图3，在A1C1的截取A1O=A1B1，过点A1作AE⊥B1C1于E，由旋转知，A1P=A1Q，∠QA1P=75°，∴∠B1A1C1=∠QA1P=75°，，∴∠PA1C1=∠B1A1Q，在△PA1O和△QA1B1中，∵A1O=A1B1，∠PA1O=∠B1A1Q，A1P=A1Q，∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），∴OP=B1Q，要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，而点O为A1C1上定点，当OP⊥B1C1时，OP最小，在Rt△OPC1中，∠C1=180°-∠A1B1C1-∠B1A1C1=45，在Rt△A1B1E中∵A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∴∠B1A1E=90°-60°=30°，B1E=，，在Rt△A1EC1中，∵∠C1=45°，∴A1E=C1E=，，∴C1O=A1C1-A1O=，∴OP最小=即：线段B1Q长度的最小值为．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，构造出△PA1O≌△QA1B1是解本题的关键．6．(1)12(2)①；②【分析】（1）设AM=x，BN=y，根据一线三等角证明△AMD∽△BDN，得xy=8，再表示出S1和S2的值，从而得出答案；（2）①由（1）同理解决问题；②设AM=x，BN=y，由∠AMD=∠BDN，∠MAD=∠DBN，知△AMD∽△BDN，同理可得答案．【详解】（1）如图，设，，，，，，∽，，，，作于，于，，，，，；（2）①如图，设，，同法可知∽，，，，；②如图，设，，同法可知∽，，，，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形和等腰三角形的性质，三角函数，三角形的面积等知识，熟练掌握一线三等角模型相似是解题的关键．7．(1)，垂直(2)成立，理由见解析(3)【分析】（1）解直角三角形求出，，可得结论；（2）结论不变，证明，推出，，可得结论；（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点求出，，可得结论．【详解】（1）解：在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，，∴，此时，故答案为：，垂直；（2）结论成立．理由：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如图3中，过点作于点，设交于点，过点作于点．∵，，∴，∴．∵，∴，，当时，四边形是矩形，∴，，设，则，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．8．(1)平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质(2)见解析；或【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理和等腰三角形三线合一的性质直接得出结论；（2）证明，根据全等三角形的性质得，得出，由知，即可得出结论；过点H作于N，连接CM，证明，得出，判断出四边形为矩形，则，分两种情况利用勾股定理即可得出结论．【详解】（1）[反思交流]解：上述证明过程中的“依据1”是平行线分线段成比例定理；“依据2”是等腰三角形三线合一的性质．故答案为：平行线分线段成比例定理，等腰三角形三线合一的性质；（2）证明：由旋转得，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，

∴，由[探究展示]知，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点G在线段的垂直平分线上；[拓展应用]过点H作于N，连接，由旋转得，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由（2）知，∴，∴四边形为矩形，∴，，∴是的垂直平分线，∴m的值为的长，∵，∴或，∴或，∴m的值为或．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、勾股定理、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．9．发现：见解析；探究：（1）；（2）的长或；拓展：的值是定值，，理由见解析【分析】发现：根据等腰直角三角形的性质的得出，根据三角形的外角的性质得出，进而得出，即可证明；探究：（1）根据矩形的性质，得出，进而证明，即可证明，根据相似三角形的性质结合已知条件即可得出；（2）若点F恰好与点D重合，即，根据相似三角形的性质，列出方程，解方程即可求解；拓展：①当交于，交于时，过点作于，证明，②当交于，交于时，过点作于，证明，根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：发现：∵在中，，∴，∵，，

又，

∴，

∴，探究：（1）∵在矩形中，∴，，，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，∴，

∵

∴，，

即，

∴；（2）若点F恰好与点D重合，即，

∴，设，则，

∴，

整理得：，

解得：，，

∴BE的长或．拓展：的值是定值．①当交于，交于时，过点作于，则，∵，，∴由（2）证明过程可得，

∴；②当交于，交于时，过点作于，则，同理可证，∴，

∴的值是定值，且．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形性质与判定、旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键，还考查了解一元二次方程．10．(1)，理由见解析(2)(3)【分析】（1）由，可得，进而得到，由旋转得到，从而，由“等角对等边”可得；由，，，得到，由“等角对等边”可得，所以；（2）根据勾股定理，三角形的面积可求出，，再利用的三角函数，求得；求得由旋转得到，易证，根据“平行线分线段成比例”得到，代入即可求出；（3）过点D作于点N，由可求得，由求得，在中，根据勾股定理可得，因此．【详解】（1）与的数量关系：理由：∵于点E∴∵∴∴∵将逆时针方向旋转得到∴∴∴∵于点D∴，即∵，∴∴∴（2）在中，，，根据勾股定理得，由得在和中，即，解得在和在中，即，∵将按逆时针方向旋转得到∴，∴∴，即∴（3）如图，过点D作于点N

在和中易知，即∴，即∴在中，，根据勾股定理可得∴【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是找到角与边之间的关系．11．(1)，；(2)成立，见解析；(3)或．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论；（2）先由旋转的旋转得出，进而判断出，得出，，与交于M，与交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论；（3）分两种情况，①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论；②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，利用线段的加减即可得出结论．【详解】（1）和都是等腰直角三角形，，，，，点在上，点在上，且，，故：，；（2）成立；如图2，与交于M，与交于N，由题意可知：，，，在与中：，，，又，，在中，，，，所以结论成立；（3）①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，；②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，，综上，的长为或，故答案为:或．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．12．(1)，(2)是等腰直角三角形，证明见解析(3)【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，进而得出结论；（3）先判断出最小时，的周长最小，而最小是，由此即得答案．【详解】（1）解：点是，的中点，∴，，点是，的中点，，，，，，，，，，，，，，；故答案为：，；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：由旋转知，，，，，，，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，，，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，最小即最小时，的周长最小，此时点在上，且，，的周长的最小值为．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最小时，的周长最小，是一道中考常考题．13．(1)证明见解析(2)上述结论仍然成立，理由见解析(3)【分析】（1）先判断出，再判断出，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）先根据相似得出，进而得出，，，即，，设，则，得出，过点作于，则，，进而得出，再根据勾股定理得出，解方程