中考数学一轮复习考点精炼与综测：（12）二次函数（知识精炼）

（12）二次函数（知识精炼）——中考数学一轮复习考点精炼与综测重难讲解1.二次函数的概念一般式一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数【提示】函数未必是二次函数，当时，是二次函数顶点式，函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为2.二次函数的性质二次函数（是常数，）对称轴或（其中，为二次函数图象）与轴两个交点的横坐标顶点坐标（1）利用顶点坐标公式求解；（2）用配方法把一般式转化为顶点式求解；（3）将对称轴代入函数解析式求解增减性时，当时，随的增大而减小；当时，取最小值；当时，随的增大而增大时，当时，随的增大而增大；当时，取最大值；当时，随的增大而减小3.用待定系数法求二次函数的解析式时，注意解析式的设法，常见情况如下：已知所设表达式顶点+其他顶点在原点处：顶点在轴上：顶点在轴上：与轴的两个交点+其他（注：与轴的两个交点为）对称轴+与轴一交点+其他（1），当对称轴为轴时，（2）由对称轴与求出抛物线与轴的另一个交点，设解析式（注：对称轴为直线，与轴的一个交点为）任意三个点过原点：4.二次函数的平移：图形表示【提示】（1）平移前，先将解析式用配方法化成的形式；（2）二次函数图象平移时，二次项系数不变；（3）平移变换的口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.5.二次函数与一元二次方程（1）一元二次方程的解是二次函数的图象与轴的交点的横坐标；（2）判别式决定抛物线与轴的交点个数：①方程有两个不相等的实数根抛物线与轴有两个交点；②方程有两个相等的实数根抛物线与轴有一个交点；③方程没有实数根抛物线与轴没有交点6.二次函数与不等式不等式的图象观察方法函数的图象位于轴上方对应的点的横坐标的取值范围函数的图象位于轴下方对应的点的横坐标的取值范围解集或延伸拓展二次函数的图象与a，b，c之间的关系决定抛物线开口方向抛物线开口向上抛物线开口向下决定抛物线对称轴的位置对称轴为轴；（同号）对称轴在轴左侧；（异号）对称轴在轴右侧决定抛物线与轴交点的位置抛物线过；抛物线与轴交于正半轴；抛物线与轴交于负半轴解题方法1.比较二次函数值大小的方法（1）代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；（2）增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；（3）根据点到对称轴距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.2.求二次函数最值的策略求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大（小）值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值.3.解二次函数解析式的确定问题用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法.（1）设一般式：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于的三元一次方程组求解.（2）设交点式：若已知二次函数图象与轴的两个交点的坐标为，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般式.（3）设顶点式：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般式.【方法总结】确定二次函数的解析式，关键是根据已知条件选择恰当的解析式形式，主要的方法是待定系数法.在考虑把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的已知条件灵活选择，以简单为原则，尽量减少计算量，以提高准确率.4.解抛物线的对称性问题抛物线的对称性的应用，主要体现在求一个点关于对称轴对称的点的坐标，或者是已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要依据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为，则抛物线的对称轴可表示为直线.【方法总结】已知点在抛物线上，则把该点坐标代入其解析式一定能使解析式成立.根据一个点及对称轴（直线），求点关于对称轴对称的点的坐标可利用公式，即.5.根据图象确定不等式解集的方法先画出函数的图象，并确定（计算）两个图象交点的横坐标，再根据图象的上下关系（图象在上方即函数值较大），得出不等式的解集.【技巧点拨】①求大于时的取值范围，即求抛物线在直线下方时所对应的的取值范围.②求与的乘积小于0时的取值范围，即求抛物线与直线在轴异侧时对应的的取值范围.【技巧点拨】求解直线与抛物线的公共点个数问题，即求直线与抛物线的解析式联立组成的方程组，消去函数值后得到的一元二次方程的解的个数问题.抛物线与直线恒有两个公共点，即对应的一元二次方程的根的判别式大于0.6.利用二次函数的性质求实际问题中最值的方法在实际问题中，求最值的一般步骤：（1）列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值.需要注意的是：当二次函数的图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，需结合二次函数的图象，根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最值.7.利用二次函数解决抛物线形的实际问题的方法利用二次函数解决抛物线形建筑问题时，需要先建立合适的坐标系，一般选择顶点作为原点或选择对称轴作为轴，然后确定某些点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式，最后利用二次函数的图象和性质解题；利用二次函数解决抛物线形运动路程问题时，一定要分析清楚抛物线的横、纵坐标的实际意义，再利用二次函数的图象和性质解题.8.利用二次函数的图象与性质求解动态问题的方法求解动态问题时，常