考研数学竞赛试题及答案

考研数学竞赛试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处的间断点类型是（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点2.设函数$y=f(x)$由方程$e^{xy}+y\lnx=\cos2x$确定，则$y^\prime$在$x=1$处的值为（）A.-2B.-1C.0D.13.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，则$\inte^{-x}f(e^{-x})dx$等于（）A.$F(e^{-x})+C$B.$-F(e^{-x})+C$C.$F(e^{x})+C$D.$-F(e^{x})+C$4.设向量组$\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)$线性相关，则$t$的值为（）A.5B.4C.3D.25.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A$的伴随矩阵$A^$为（）A.$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$6.设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，则$\lambda$的值为（）A.1B.2C.3D.47.已知函数$f(x)$在$x=a$处可导，且$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=4$，则$f^\prime(a)$等于（）A.1B.2C.3D.48.曲线$y=x^3-3x$的拐点坐标为（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.$(2,2)$9.设$A$，$B$为$n$阶方阵，且$AB=0$，则必有（）A.$A=0$或$B=0$B.$\vertA\vert=0$或$\vertB\vert=0$C.$A+B=0$D.$A-B=0$10.设二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度为$f(x,y)=\begin{cases}1,&0\leqx\leq1,0\leqy\leq1\\0,&其他\end{cases}$，则$P(X+Y\leq1)$的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{6}$多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在定义域内连续的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\vertx\vert$C.$y=\sinx$D.$y=\sqrt{x}$2.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则下列说法正确的是（）A.$f(x)$在$[a,b]$上一定连续B.$f^\prime(x)$在$[a,b]$上一定连续C.$f(x)$在$(a,b)$内一定有最大值和最小值D.若$f^\prime(x)\gt0$在$(a,b)$内成立，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增3.下列积分中，值为0的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}x\cosxdx$B.$\int_{-1}^{1}x^2\sinxdx$C.$\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2xdx$D.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$4.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组中，线性无关的有（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$B.$\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$C.$\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$D.$\alpha_1-2\alpha_2,\alpha_2-2\alpha_3,\alpha_3-2\alpha_1$5.设$A$为$n$阶方阵，下列说法正确的是（）A.若$\vertA\vert\neq0$，则$A$可逆B.若$A$可逆，则$A$的伴随矩阵$A^$也可逆C.若$A$的秩$r(A)=n$，则$A$可逆D.若$A$是正交矩阵，则$\vertA\vert=\pm1$6.设随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，则（）A.$P(X\lt\mu)=0.5$B.$P(X\gt\mu+\sigma)=P(X\lt\mu-\sigma)$C.$X$的概率密度函数关于$x=\mu$对称D.当$\sigma$固定时，$\mu$越大，概率密度函数的图像越向右平移7.下列极限中，值为1的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$C.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$8.设函数$f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime\prime}(x)\gt0$，则下列说法正确的是（）A.$f(x)$的一阶导数$f^\prime(x)$单调递增B.曲线$y=f(x)$是凹的C.若$f^\prime(x_0)=0$，则$f(x_0)$为$f(x)$的极小值D.若$f^\prime(x_0)=0$，则$f(x_0)$为$f(x)$的极大值9.设$A$，$B$为两个事件，且$0\ltP(A)\lt1$，$0\ltP(B)\lt1$，则下列说法正确的是（）A.若$A$与$B$相互独立，则$P(A|B)=P(A)$B.若$A$与$B$互斥，则$P(A|B)=0$C.$P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)$D.若$P(A|B)=P(A)$，则$A$与$B$相互独立10.设函数$f(x)$在$x=x_0$处可微，则（）A.$f(x)$在$x=x_0$处连续B.$\Deltay=f^\prime(x_0)\Deltax+o(\Deltax)$C.$f(x)$在$x=x_0$处的导数存在D.函数$f(x)$在$x=x_0$处的切线方程为$y-f(x_0)=f^\prime(x_0)(x-x_0)$判断题（每题2分，共10题）1.若函数$f(x)$在点$x_0$处的左右极限都存在，则$f(x)$在点$x_0$处连续。（）2.若$f^\prime(x)\gtg^\prime(x)$在区间$(a,b)$内成立，则$f(x)\gtg(x)$在区间$(a,b)$内成立。（）3.定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的记法无关。（）4.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$中存在一个零向量，则该向量组线性相关。（）5.若矩阵$A$与矩阵$B$相似，则$A$与$B$有相同的特征值。（）6.设随机变量$X$的期望$E(X)$和方差$D(X)$都存在，则$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。（）7.函数$y=\frac{1}{x^2}$在区间$(0,+\infty)$上是单调递增的。（）8.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则$f(x)$在区间$[a,b]$上一定连续。（）9.设$A$，$B$为$n$阶方阵，且$AB=BA$，则$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$。（）10.二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数$F(x,y)$满足$F(+\infty,+\infty)=1$。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数$y=x^3-3x^2+2$的单调区间和极值。答案：对$y$求导得$y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y^\prime=0$，得$x=0$或$x=2$。当$x\lt0$或$x\gt2$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增；当$0\ltx\lt2$时，$y^\prime\lt0$，函数单调递减。极大值为$y(0)=2$，极小值为$y(2)=-2$。2.计算定积分$\int_{0}^{1}xe^xdx$。答案：用分部积分法，设$u=x$，$dv=e^xdx$，则$du=dx$，$v=e^x$。$\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_{0}^{1}=e-(e-1)=1$。3.已知向量组$\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)$，求$t$为何值时，向量组线性相关。答案：构造矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}$，对其进行初等行变换得$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}$。当$t=5$时，矩阵$A$的秩小于3，向量组线性相关。4.设随机变量$X$服从参数为2的指数分布，求$X$的概率密度函数和分布函数。答案：概率密度函数$f(x)=\begin{cases}2e^{-2x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}$。分布函数$F(x)=\begin{cases}0,&x\leq0\\1-e^{-2x},&x\gt0\end{cases}$。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$的间断点类型。答案：$f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}$，间断点为$x=1$和$x=2$。$x=1$时，$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}\frac{x+1}{x-2}=-2$，是可去间断点；$x=2$时，$\lim\limits_{x\to2}f(x)=\infty$，是无穷间断点。2.讨论矩阵可逆的判定方法有哪些。答案：可从以下方面判定：行列式不为零；秩等于阶数；行（列）向量组线性无关；存在逆矩阵使得乘积为单位阵；齐次线性方程组只有零解；非齐次线性方程组有唯一解等。3