华东师大版七年级数学下册全册教案

第6章一元一次方程

6.1从实际问题到方程

教学目标

知识与技能

使学生会列一元一次方程解决实际问题，能判断一个数是否为某个方程的解.

过程与方法

通过对实际问题的分析，体会一元一次方程为从实际问题中建立的数学模型所带来的方

便.

情感、态度与价值观

感受数学源于生活实际，乂应用于生活实际，进一步认识数学中方程与现实世界的密切

联系.

重点难点

重点

列一元一次方程解决实际问题.

难点

审清题意，找出题目中“相等关系”.

教学过程

一、情境导入

1.教师用投影仪投影：一本笔记本1.2元，小红有6元钱，那么她最多能买到几本这样

的笔记本？

问题：此题可以有几种解法？分别解答出来.

2.卡片显示，观察卡片上的式子，你能填上适当的数吗？（卡片上式子分别为：3+口=

4\

-7

8,0-2=7,5X?36

如果将这5张卡片中未知的数均用字母x表示，它们将如何表现呢?

4X

-=-

36

3.观察问题I、2中的式子有何共同特点？

4.教师点评：通过设未知数，列方程，将实际问题转化为数学中的方程问题来解决.

板书：从实际问题到方程

二、探究交流

1.某校初中一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44

座的客车多少辆？

［问题1］你有几种方法解答？

列方程解：设租44座客车x辆，有44x+64=328.算术法解：（328—64）：44.

［问题2］这个方程你能解吗？你是怎样解的？

依据是什么？

想一想.：列方程求解具有什么样的优点？很容易将实际问题转化为一个数学中的方程问

题，然后只需解方程即可.

2.教师给出方程解的定义.

3.习题巩固

检验下列各括号里的数是不是它前面方程的解：

(l)6(x+3)=30(x=5,x=2)：

(2)3y—l=2y+l(y=4,y=2)；

(3)(x-2)(x-3)=0(x=0,x=2,x=3).

4.思考：将教材中第2页问题2中的“三分之一”改为“三分之二”，试着用刚才的两

种方法求解.

5.问题：教材第5页中的“思考”.

教师小结：方程能让我们很容易地将实际问题转化为方程问题，至于方程的求解我们学

到后面就很容易解决了.

三、巩固练习

1.方程12(x—3)=2x+4的解是()

A.x=3B.x=—3C.x=—4D.x=4

2.已知x=2是方程2(x-3)+l=x+m的解，则m等于()

A.3B.2C.-3D.-2

3.某长方形球场周长为310米，长和宽之差为35米，这个球场的长和宽分别是多少米？

四、课时小结

1.本节课我们主要学习了怎样用列方程来解实际问题的办法，体会到列方程的优点.

2.在列方程解决问题时，应分析题意中数量关系，找出所蕴含的等量关系，列出方程.

3.检验一个数是不是方程的解，应代入方程中，检验式子是否成立.

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

板书设计

一、情境导入

一、探究交流

三、巩固练习

四、课堂小结

五、布置作业

教学反思

本节课在设计上重点体现学生的自主探究，首先在引入时，问题设计体现出教师的教学

活动是建立在学生认识发展水平和已有的知识经验的基础上，承接以前的算术法为基础的方

程意识，探究过程在对教材例题的处理上，让学生探究方程解法与算术解法的优劣，从而让

学生在自主探索中进行比较，自己得出结论.较之传统的教学活动而言，体现了学生的主体

地位，着重于学生的探索活动，强调了学生的自我发现在方程的解的概念这部分的处理上的

重要性，继续强化了学生的探索活动.

6.2解一元一次方程

6.2.1等式的性质与方程的简单变形

第1课时等式的基本性质教学目标

知识与技能

1.掌握等式的基本性质.

2.会利用等式的基本性质解简单的一元一次方程.

重点难点

重点

等式的两个基本性质.

难点

利用等式的两个性质解一元一次方程.

教学过程

一、创设情境明确目标

小明和王力在玩跷跷板，当他们位于跷跷板两端的时候，恰好处于平衡的位置..这时，

李强和小丽也来了，如果他们二人的体重相等，他们这时也分别坐在跷跷板的两端，这时候

跷跷板是否仍然平衡？

二、合作探究达成目标

探究点一等式的基本性质

活动一：观察下面的天平变化，你可以得出与等式有关的什么性质？

5r=^r+42r=4r=2

【展示点评】等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.等式两边

同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.

【小组讨论】若ma=mb,那么下列等式不一定成立的是（）

A.a=b

B.ma-6=mb-6

D.ma+8=mb+8

（提示：要特别注意两边都除以同一个数时，除数不能为0.）

【反思小结】仔细观察分析原等式与各选项中的等式的结构、系数有何变化，从而确定

是应用了等式的哪条性质.

【反思小结】见学生用书“当堂练习”相应部分.

探究点二利用等式的基本性质解方程

活动一：阅读教材第133页例I、例2,解下列方程：

⑴x+2=7

解：方程两边________，得.

（2）4=x-5

解：方程两边________,得.

（提示：把求出的解代入原方程，就可以知道求得的解对不对哈！）

（3）-3x=15

解：方程两边________，得.

【展示点评】利用等式性质解一元一次方程，就是利用等式性质把方程ax+b=O（arO）

变开，最终化为x=一，的形式，x=?叫一元一次方程ax+b=O的解，求方程解的过程，叫

做解方程.

【小组讨论】利用等式的基本性质解方程，通常有哪些步骤？需要注意哪些问题？

【反思小结】利用等式的基本性质解方程的一般步骤：（1）利用等式的基本性质I,在方

程的两边都加上或减去同一个代数式，使方程左边只含有未知数，右边只含有常数；（2）利用

等式的基本性质2,在方程的两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数

的系数化为1,从而求得方程的解.运用性质1时.,一定要注意等式两边同时加上（或减去）

同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果乃是等式，这里要特别注意“同时”和“同一

个”.运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘（或除以）同一个数，才能保证所得垢果乃

是等式以外，还必须注意等式两边不能都除以0,因为0不能做除数.

【反思小结】见学生用书“当堂练习”相应部分.

三、总结梳理达成目标

1.本课知识点：

（1）等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.可

以用符号表9为：若A=B,则A土C=B±C.

（2）等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果

仍是等式.可以用符号表示为：若人=8,且C#0,则AXC=BXC,9=圣

2.应用性质时注意：

运用性质I时，一定要注意等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，才能保证所得结

果乃是等式，这里要特别注意同时和同一个.

运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘（或除以）同一个数，才能保证所得结果乃是

等式以外，还必须注意等式两边不能都除以0,因为0不能做除数.

3.我的困惑：

四、达标检测反思目标

1.下列变形正确的是（）

A.如果2x-3=7,那么2x=7—3

B.如果3x—2=x+l,那么3x—x—1—2

C.如果-2x=5,那么x=5+2

D.如果一|x=l,那么x=—3

2

2.在方程6*—1=1,2:《=不7*—1=乂+1,5*=2—*中，与方程6*=2的解相同的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图，下列四个天平中，相同形状的物体的质量是相等的，其中第①个天平是平衡的，

根据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有（）

①②④

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.解方程2x—4=1时，先在方程的两边都.,得到.,然后在方程的两

边都，得至Ux=.

5.利用等式的基本性质解方程.

(l)-1x4-3=2；(2)3x—3=x+1.

五、作业

课后作业见学生用书的“课后作业”部分.

教学反思

本节课采用从生活中的跷跷板引入学习，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问

题情景的方法，引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想验证等研究问题的方法，培

养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.利月学生的好奇心设疑、解疑，让学生

积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容.在整个探

究学习的过程中充满师生之间、学生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引

导者、合作者，学生才是学习的主体.

第2课时方程的简单变形

教学目标

知识与技能

I.通过实践以及日常生活中的问题，直观感受方程的简单变形.

2.在观察思考的基砒上，体会方程的两种变形及解方程的两个基本步骤.

3.进一步熟悉方程的两个变形及解方程的两个重要步骤.

过程与方法

1.让学生经历知识的形成过程，培养学生自主探索和相互合作的能力.

2.引导学生自主探索复杂方程的解法，体会方程不同解法中所蕴含的转化思想.

情感、态度与价值观

I.激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立.思考，勇于创新的精神，养成按客观规律办

事的良好习惯.

2.使学生掌握解方程的基本方法，体验方法的多样性，培养学生的实践能力和创新精神，

领悟数学来源于生活的宗旨，养成独立思考和合作交流的能力.

重点难点

重点

1.移项法则及其应用.

2.让学生经历自主探索解方程的每一步变形依据，归纳解方程的一般步骤.

难点

1.从具体实例中抽象出方程的两种变形.

2.方法的灵活应用与多样性.

教学过程

一、情境导入

设计意图：通过学生自主探究和演示实验，让学生直观感受方程的两个变形，进而激发

他们的学习兴趣和探究欲望，从而更容易理解和接受这两条性质.

教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用

自己的语言叙述发现的规律.

分组实验(时间约10分钟)：每小组准备天平一架、他码和等质量小木块若干.教师引导

学生进行以下操作.

操作(1)

1.先在托盘中放入一小木块，然后在另一个托盘中加入祛码，使天平平衡.

2.然后在天平中放入等质量的小木块各一块，观察此时天平是否平衡，可以重复此步.

操作(2)

1.在两个托盘中放入等质量的木块各一块，观察此时天平是否平衡.

2.在两个托盘中放入等质量的木块各相等的数量，观察此时天平是否平衡，可以重复此

步.

思考，这其中包含的数学道理足什么？

学生讨论后交流，然后师生共同归纳出方程变形的两条性质：

变形I：方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变.

变形2：方程的两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变.

1.方程的两个变形是什么？

2.解方程进行移项时应注意哪叫问题？

3.解方程的最后一步是什么？

4.解方程：2x+3=L

教师尽量让后进生板演，并对出现的问题进行讨论、分析.

二、探究新知

设计意图：进一步渗透模型化的思想，引发学生认知上的冲突，寻求解决途径，感受解

决问题的方法与思路.

1.出示教材第6页例1：解下列方程：(l)x—5=7；(2)4x=3x—4.

问题：怎样解这个方程？如何利用方程的两个变形使它们向x=a的形式转化呢？

学生思考：探索：对于方程(1),可在方程两边同加上5；对于方程(2),可在方程两边都

减去3x,从而把两个方程的解求出来.

归纳：像上面这样，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫

做移项.

通过移项，含未知数的项和常数项分别位于方程的左右两边，使方程更接近于x=a的形

式.

2.出示例题，解方程：

(l)8x=2x-7；

(2)6=8+2x.

师巡回观察.然后讲评：

①每一步是怎样变形的？变形的依据是什么？

②解方程的格式，提醒与计算题格式的不同点.

③揭示变形中可能的“多余步骤”，如移项中将含未知数的项移到方程右边；系数化为

1时可能出现的错误.

3.“我来当老师”

解方程：⑴%—1=/(2)3x+2=4x；

(3)5—3x=7；(4)^x+|=0.

教师引导板演的学生逐一讲述每一步怎样变形.

4.分组对抗

每个学习小组在黑板上出一道解方程题，并在相邻的小组挑一位同学解答，且要求说出

每一步是怎样变形的.

5.例题讲解

解方程：2y—1=1y-3.

教师请不同解法的学生演示其解答过程.

师点评，并引导归纳解方程的一般步骤.

三、尝试运用、加深巩固

设计意图：通过对移项方法的尝试运用，加深对该方法的理解与掌握，使学生能够利用

该种方法去解方程.

师出示教材第6页例2：解方程：⑴-5x=2；(2)|x=；.

两组学生板演，其余学生在练习本上完成.然后针对学生的完成情况进行点评，让学生

进一步体会”系数化为1”的依据.

1.解下列方程，并说出每一步是怎样变形的：

(l)5x=2x+3；(2)2y+l=3y—4.

2.列方程求下列各数：

(l)x的;等于x的;与3的差.

(2)某数的3倍加上5,等于该数的4倍减去7.

师巡视指导.

四、小结与作业

设计意图：通过师生共同归纳本节所学的知识，进一步整合本节内容，使学习的知识更

加有条理，更利于知识的巩固和消化.

1.小结：方程的两个变形是什么？移项中应注意哪些问题？

2.解方程的一般步骤，以及各步骤是怎样变形的？

3.各步骤的先后顺序不一，解法不唯一.

4.解方程的最后一步一定要化为形如“x=a”的形式.

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

教学反思

通过学习让学生学会了方程简单变形，进•步熟悉了方程的两个变形及解方程的两个步

骤，激发了学生浓厚的学习兴趣，养成独立思考和合作交流的能力.

6.2.2解一元一次方程

第1课时解含括号的一元一次方程教学目标

知识与技能

感受一元一次方程的定义，进一步理解并掌握解一元一次方程的方法.

过程与方法

经历含括号的一元一次方程求解过程，能用去括号、移项、系数化为1等步蛛来解一元

一次方程.

情感、态度与价值观

通过解方程，体会转化思想在数学中的重要作用，培养学生自觉反思求解和自觉检验方

程的解是否正确的良好习惯.

重点难点

重点

含括号的一元一次方程的解法.

难点

括号前是负号的处理.

教学过程

一、情境导入

设计意图：通过学生的自主尝试、观察、归纳，有效地激发学生的参与欲望，培养学生

的创新能力和分析解决问题的能力.

师用投影给出以下几个方程：-2x=4,4x=^,44x+64=328,13+x=/45+x）.

提出问题：这些方程有什么共同特点？

学生思考后，分小组进行交流.归纳.

师最后概括：（1）只含有一个未知数；（2）含有未知数的式子是整式；（3）未知数的次数是

1.

具备以上特点的方程叫一元一次方程.

这节课我们就来学习怎样解一元一次方程（师板书）.

二、尝试探究

设计意图：通过学生的探究活动，让学生感受解一元一次方程的步骤，会使用其步骤去

尝试解一元一次方程，从而达到熟练掌握的目的，培养学生解决问题的能力.

I.解方程:3（x-2）+l=x-（2x-l）.

［注意］（1）在学生自主探索的基础上，教师可有针对性地引导利用前面所学过的相关知识

（如怎样去括号，去括号应注意什么等）进行解答；

（2）让学生自觉理解每一步解答的依据.

2.师板书解方程的步骤：

解：去括号得：3x—6+1=x—2x+I,

即：3x-5=-x+1,

移项得：3x+x=l+5,

即：4x=6.

系数化为1得：x=W

（通过板书解题步骤，渗透解方程的一般步骤，使解题规范化，让学生养成良好的解题习

惯）.

3.尝试练习：解下列方程：（l）-5（x-l）=l；（2）2—（1一x）=2.

三、巩固练习，深化认识

设计意图：通过练习，使学生进一步巩固解一元一次方程的方法；通过对不同解法的探

讨，开拓学生的思维，提高他们分析问题和解决问题的能力.

1.解方程：一2（x—1）=4.

［注意］（1）学生中可能出现不同的解法，如：①一2x+2=4；②x-l=-2,应给予他们讲

清思，路的机会，教师作适当的引导：（2）如果学生不能利用不同的解法，教师可适时提出指导

建议，从而形成两种解法.

2.议一议

组织学生比较两种不同的解法，在独立思考的基础上，进行交流.

3.练一练

解下列方程：（1）一3（、-5）=6；（2）2（3-x）=9.

四、回顾反思

设计意图：通过回顾反思，进一步整合本节课所学的知识，使所学知识更有条理性，解

题方法更加明确，有利于学生知识的形成、深化.

师；1.你能识别怎样的方程是一元一次方程？（从概念上进行概括）

2.你认为含括号的一元一次方程应如何解？（去括号，移项，合并同类项，系数化为1.）

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

教学反思

本节通过学习一元一次方程的定义及其解法，让学生掌握了如何判断方程是一元一次方

程和一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1.通过解方程让学生体会

到了转化的思想在数学中的重要作用.

第2课时解含分母的一元一次方程

教学目标

知识与技能

经历解方程基本思路是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的过程，进

一步理解并掌握如何去分母的解题方法.

过程与方法

i.通过解方程去分母的过程，体会转化思想.

2.进一步体会解方程方法的灵活多样性，培养解决不同问题的能力.

情感、态度与价值观

培养学生自觉反思求解和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯，养成团队合作的精神.

重点难点

重点

运用去分母解方程.

难点

去分母时需解决的儿个问题.

教学过程

一、创设情境，导入新课

设计意图：能够创设问题情境，发展学生用方程解决问题的能力，感受方程是刻画客观

世界量与量之间关系的重要工具，激发学生的学习热情；同时也从简单到复杂，巩固所学的

解方程的知识，为去分母做铺垫.

教师出示一组解方程的练习题：解方程:①7x=6x—4：②8=7-2y；③5x+2=7:《一8；

④8—2(x—7)=x—(x—4).

鼓励四名学生板演，其余学生在练习本上自主完成解题，看哪组同学全对的人数最多.

教师巡视，学生完成后点评，并让学生回忆解一元一次方程的基本程序(板书)：

①去括号：②移项；③合并同类项：④两边同除以未知数的系数.

二、探究新知

设计意图：任何未知的探求都希望通过已知来解决，这是数学中“化归”思想的核心问

题，必须寻找以往的经验进行解决，通过学生的观察与比较，尝试与探索，可知如何去分母

成为主题.

师：根据以上解方程的基本程序，你能解下面的方程吗？

1(x+14)=1(x+20).

根据“旧”知识，学生会作如下解答.

解法一：去括号，得：1x+2=1x+5,

移项得：|x—1x=5-2,

3

合并同类项，得：一条=3，

3

两边同除以一合得x=-28.

师：该方程与前面讲过的方程有什么不同？

生：以前学过的方程的系数都为整数，而这一题目中出现了分数.

师：能否把分数系数化为整数？

生：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数28即可.

师：这样使解方程避免“计算”分数的复杂性，使解方程过程简单.

解法二：方程两边同乘以28得：

4(x+14)=7(x+20),

去括号得：4x+56=7x+140,

移项得：4x-7x=140—56,

合并同类项得：-3x=84.

两边同除以一3得：x=-28.

师：去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？

生：分组讨论后得出：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掠分母.于是解

方程的基本程序中又多了一步“去分母”，教师添上“云分母”这一步骤，完整得出解一元

一次方程的基本程序.

三、体验成功

设计意图：通过及时巩固，反馈学习的效果，使学生进一步熟练掌握解一元一次方程的

步骤，进一步体验化归思想，也同时通过解方程中组内的交流、合作，达到团结协作的目的，

体验成功的快乐.

解方程：

让学生自主完成解题，然后组内互相交流自己的结论，并自觉检验方程的解是否正确，

若发现错误，让同伴帮助出错的同学找原因，及时纠正.

教师强调：①不能漏乘不含分母的项；②注意给分子添括号.

练习：教材第10页练习第1题，学生口答.

四、小结

设计意图：用表格的形式，比较系统地总结本节所学内容，让学生更容易掌握；也同时

在让学生完成填表的过程中，培养他们的语言表达能力.

师：今天我们学习了哪些新知识？你有什么收获？你能填写下列表格吗？

步骤根据注意事项

去分母

去括号

移项

合并同类项

未知数的系数化为1

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

教学反思

本节课讲述如解带有分母的一元一次方程.在上一节课的基础上进一步完整了解一元一

次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数转化为1.重点让学生掌握了

在去分母时应该注意利用等式的基本性质②在方程两边都乘以某个数，不能漏掉每一项，否

则题目将发生的变化得到就是一个错误的结论.

第3课时一元一次方程的应用

教学目标

知识与技能

体会用方程来解决问题的便捷与直观，培养运用数学建模思想解决问题的能力.

过程与方法

经历探究用一元一次方程解决简单实际问题的一般方法与基本过程，会列出一元一次方

程解简单的应用题.

情感、态度与价值观

培养学生乐于思考，不怕困难的精神.

重点难点

重点

探究用方程来解决实际问题的•般步骤与方法.

难点

找出并根据题H中的等量关系列出方程.

教学过程

一、创设情境，导入新课

设计意图：通过练习，使学生熟悉巩固解一元一次方程的过程中合并同类项和移项的方

法，为进一步学习方程的应用作准备.

师：练习解方程：(l)-4x+0.5x=6；

(2)7x+5=4.5x+7.5；

(3)4x—7=6x—5；

(4)|x-3=1x.

学生独立完成，然后互相交流.

二、探究新知

设计意图：通过观察、讨论、比较，让学生体验列方程解应用题的过程，培养学生分析

解决问题的能力，激发学生不怕困难，勇于探索的精神.

1.教师出示教材第II页例6.

引导学生根据教材中出示的表格进行分析.

学生分组进行讨论交流，教师巡视，也可以参与到讨论中去，和大家交流看法.从而归

纳出怎样设未知数，如何找等量关系，最终列出方程51—x=45+x.达到求解的目的.

2.教师出示教材第12页例7.

师：此题中应设什么为未知数？(新团员为x名)

可以用x表示的有哪些量？其中所涉及的等量关系是什么？

怎样列方程？

学生讨论交流后，由组内派代表回答问题，通过师生互动最终列出方程：

32x+24(65-x)=1800.

解方程让学生自主完成，集中反馈.

三、尝试运用

设计意图：通过对问题的解决，培养学生分析解决问题的能力，从而让学生学会用一元

一次方程去分析和解决生活中的问题，增强数学的应用意识.

师出示问题：

1.甲队原有a人，乙队原有b人，现从甲队抽调x人去乙队，则现在甲队有

人，乙队有人.

2.买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，则练习本每本多

少元？

3.小红今年6岁，她的祖父72岁，几年后，小红的年龄是她祖父年龄的%

学生先独立完成，然后组内讨论交流，最后教师引导集中反馈.

四、小结

设计意图：通过小结，让学生进一步了解列方程解应用题的步骤，便于他们形成一个完

整的知识体系，更利于他们对列方程解决实际问题的全面认识.

列方程解决实际问题的步骤：(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；

(2)找出问题所给出的有关数量的相等关系，它反映了未知量和已知量之间的关系；(3)对这个

等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等最关系得到方程.

在设未知数和作出解答时，应注意量的单位.

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

教学反思

本节学习了用方程解决简单实际问题，让学生认识并掌握了用一元一次方程解决实际问

题的一般方法与基本过程，会通过审题列出一元一次方程解简单的应用问题，重点烛要弄清

未知条件和已知条件之间的数量关系，培养学生乐于思考，不怕困难的精神.

6.3实践与探索

第1课时实践与探索（一）

教学目标

知识与技能

1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题.

2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用.

过程与方法

1.经历实践活动，感受具体问题中数量之间的关系和变化规律.

2.在动手探索活动中，初步体会数形结合思想在实践应用中的作用.

情感、态度与价值观

培养学生敢于面对和克服数学活动中困难的能力，使他们拥有运用知识解决问题的成功

体验，建立学好数学的自信心.

重点难点

重点

应用方程解决具体的实际问题.

难点

在实践活动中借助直观的图形来列方程.

教学过程

一、创设情境，引入新课

设计意图：通过学生小时候玩过的“捏橡皮泥”的游戏引入课题，让学生看到自己所学

知识与现实世界息息相关，学习会更主动，由此激发学生的学习兴趣与学习热情.

师：小时候，大家玩过橡皮泥吗？（展示准备好的模型）这是用橡皮泥捏成的高为10厘米

的圆柱，现在要将它改成高为3座米的圆柱，但不能剩余橡皮泥，哪位同学愿意试试？你能

描述一下它的外形变化吗？在这个过程中，圆柱的体枳是否发生变化？学生枳极思考，踊跃

参与问题的回答.

二、探究新知

设计意图：在引例的基础上，将具体问题呈现给学生，然后师生共同讨论解决问题的方

法，使学生感受数学在实际生活中的应用，培养学生解决问题的能力.

1.（师出示投影）将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体改造为底面直径为20

厘米的圆柱，高变成了多少？

（1）你能分析题目中的三知条件和未知量吗？

（2）改造前后圆柱的什么量是相等的？

（板书）相等关系：改造前的体积=改造后的体积.

（3）要求的未知数是什么？如何设？你能用所设的“x”表示改造后的体积吗？

学生在充分思考后，可适当交流，在教师的引导下设出未知数，从而列出方程.

设高变成x厘米，则。（学）-36=11•（舒•x.

然后学生完成求解过程.

2.（出示铁丝）问：这根铁丝围成长方形，能围出多个个不同的长方形？这些长方形的周

长有什么关系？

学生思考后回答.

［问题1］（出示投影）用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形,（1）使得长方形的宽是长的东2

求这个长方形的长和宽？

（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；

（3）当长方形的长与宽相等时，即围成一个正方形，它的边长是多少？面积呢？

问：此问题中的相等关系是什么？（1）中有几个未知数？如何设？

（避免出现多个未知数同时设为x）

三个同学上黑板解答，教师巡视下面学生的解答情况，个别指导.

（讲评后可让不同解法的学生发言，百花齐放）

问：观察这三个同学的解答结果，你有什么发现？

三、解决问题

设计意图：通过探究可使学生明白在解决问题的过程中体会到解决问题是可以有不同策

略的，每个人都应有自己对问题的理解，并在此基础上形成自己解决问题的基本策略.

师提出问题：如果将以上问题中的宽比长少4厘米改为3厘米、2厘米、1厘米、0!里米,

长方形的面积有什么变化？

学生动手计算、讨论、归纳.教师最后点评总结.

四、反思与提高

设计意图：在反思中梳理知识脉络，从而让学生对列方程解决实际问题有一个全面认识.

（议一议）你认为利用方程解决问题的关键是什么？在寻找图表问题中的等量关系时，你

有什么秘决？

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

教学反思

本节课为实践操作课，更进•步让学生了解用•元•次方程来解决有关图形的问题，既

让学生动手进行实践操作，乂把数的知识运用在实践中初步体会了数形结合思想在实践应用

中的作用.

第2课时实践与探索（二）

教学目标

知识与技能

通过学生调查现行的利率问题，经历运用方程解决实际问题的过程，感受到方程是刻画

现实问题的有效数学模型.

过程与方法

在经历用方程解决利率等实际问题的过程中，培养学生学习的兴趣和主动探索的习惯.

情感、态度与价值观

培养学生对数学的热情，实事求是的态度以及与他人合作、交流的能力.

重点难点

重点

培养学生通过实践去探索数学问题的意识.

难点

有关利率、利润率等相关问题的理解.

教学过程

一、创设问题情境

设计意图：从生活中引入问题，激发学生的学习兴趣，自发地后动思维机制，快速地进

入问题情境.

1.提出问题

师：（出示一张取款单）这是老师昨天在银行取款时得到的，谁能给同学们讲一讲每一项

的含义？（给学生一定的思考、交流时间）

生：木金就是开始老师存入银行的钱，利息是银行给的，木息和是本金和利息的总和，

利率就是利息与本金的比，利息税不知道.

师:我国从1999年11月1日起开始对储蓄存款利息征收个人所得税，期间利息税由20%

调到5%,现在由于金融危机，暂停征收利息税，教育储蓄和购买国库券•直不收利息税；

每个期数内的利息与本金比叫利率.（根据学生情况讲解有关储蓄的知识）

2.点题

师：根据存款的方式、时间不同，银行所给的利率也不同，今天我们来研究储蓄的问题.

二、自主探究

设计意图：通过实际生活中的实例，用问题的形式来探究新课内容，使学生感受数学来

源于生活，生活中需要数学.

师：我们大家都是七年级同学，六年后将走进大学校门，假设上大学需要5000元学费，

你的爸爸妈妈现在就参加教育储蓄，下面有两种储蓄方式：（1）先存一个3年期的，年利率为

2.7%：（2）直接存一个6年期的年利率为2.88%.你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少？

教师指导学生自主学习.

1.独立思考阶段：给学生充分的独立思考、探究时间，使学生对新问题.能结合自己已

有的知识，寻求新的问题解决方法.教师巡视，了解学生的探究情况，随时调节教学环节.

2.小组讨论交流阶段：学生有了自己的想法后，可与小组内的同学展开交流，从而体现

数学教学是数学思维过程的教学，学数学的过程是学生头脑中构建数学认知结构的过程，是

学生的一种自主性行为，用自身的创造活动去感受数学是做出来的，不是教出来的.

3.成果展示阶段：［生1］设开始存入x元，若按第一种方式，则1.081x（1+2.7%X3）=

5000,1.16856lx=5000,x^4279（元）.

［师］谈谈你的想法.

［生1］我是这样想的，第一个3年期，本金为x元，利息为xX2.7%X3,本息和为x（l

+2.7%X3）=1.081x；第二个三年期,本金为1.081X,利息为L081xX2.7%X3,本息和要达

到5000元.就是说，开始大约存入4280元，3年期满后将本息和再存入一个3年期，6年后

能达到5000元.

［生1］若按第二种储蓄，则x（1+2.88%X6）=5000,x=4263（元），如果直接存一个6年

期的，开始只需存入4263元.

［师］通过学习，你们选择哪一种储蓄方式呢？学生齐声说第二种.

三、试一试

设计意图：通过练习，使学生感受数学与生活的联系，激发学生热情，巩固本节所学的

知识.

师：出示教材第17页中的问题2.

学生讨论解决，然后师生共同写出解答.

四、小结

设计意图：通过小结，回顾和梳理本节所学知识，便于让学生识记，更好地掌握和理解

本节所学的内容.

师：通过探究学习，你有什么收获？

生：这节课我们了解了有关储蓄的一些知识，理解了利息、利息税、利率等知识：还体

会到在生活中要有一定的经济计划，要学会理财.

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

教学反思

本节课学习了用一元一次方程来解决利率和利润的实际问题.通过学习上学生亲身体会

到在实践生活中的利润，利率是如何利用一元一次方程解决问题的，体会到了用建立数字模

型解决实际问题的乐趣，增强他们对学习数学的兴趣.

第7章一次方程组

7.1二元一次方程组和它的解

教学目标

知识与技能

弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会体验一对数是不是某个二

元一次方程组的解.

过程与方法

学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性.

情感、态度与价值观

经历对二元一次方程(组)的概念的学习，感受数学与生活的联系，感受数学的乐趣.

重点难点

重点

二元一次方程及二元一次方程组概念的理解.

难点

用二元一次方程或二元一次方程组来刻画实际问题.

教学过程

一、情境导入

1.什么叫一元一次方程？什么是一元一次方程的解？

2.(投影)教材第24页问题1.

(1)请用算术方法解答.

平均场数：［(9-2)X3-17H(3-l).

(2)请用一元一次方程解答：若设这个队胜x场，则有：3x+(9-2-x)Xl=17.

(3)试比较以上两种解法，判断用算术方法与方程方法来刻画实际问题中的数量关系，哪

一种较简便？

(4)此题中有两个问题.如果分别设为x、y,怎样列式呢？是不是更容易表示题H中的数

量关系呢？

二、探究交流

1.(投影)教材第25页的表格

教师巡回指导.

2.对于方程：x+y=7①，3x+y=17②，思考问题：

①它们是一元一次方程吗？

②这两个方程有无共同特点？

③类比一元一次方程的概念，能否确定这两个方程的概念？

教师巡回指导.

教师引导学生得出概念.

含有两个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程叫二元一次方程，两个二元一次方

程合在一起就组成了二元一次方程组.

教师板书课题：二元一次方程组和它的解.

3.巩固

下面是二元一次方程的有.

；；22；2；

a.4x_2y=13b.3x—5=2c.x"—yjd.x—x+y+y=5e.x-5x-6=0f.3x—4y.

教师巡回指导.

4.观察用算术法或一元一次方程求出的答案，然后确定x、y的值.

［思考］：(l)x=5与y=2是否满足方程①？

(2)x=5与y=2是否满足方程②？

(3)类比一元一次方程解的概念，能否确定二元一次方程组的解的概念？

5.二元一次方程组解的检验练习：

已知下面三对数值：(“x一2'

y=l；

2x+y=5,

哪一对数是方程组°一的解？

［3x+4y=10

教师指导学生进行探索.

三、应用迁移

(1)根据下列语句，分别设出适当未知数，列出二元一次方程或二元一次方程组.

①甲数的;比乙数的4倍多8；

②某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍,5件皮装比3件时装贵700元.

(2)(投影)教材第26页问题2

［问题］①计算校园总面积有几种表示方法？

②题目中能找出哪两种等量关系？

③能否只用一个未知数，列出一元一次方程？

④列出方程.

教师点评学生的回答状况.

四、小结

1.二元一次方程的概念.

2.二元一次方程组的概念.

3.二元一次方程组解的概念及注意事项.

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

板书设计

一、情境导入

二、探究交流

三、应用迁移

四、小结

五、布置作业

教学反思

本节课最大的特点是：概念多，在处理上渗透类比的思想，让学生通过探索、交流，类

比一元一次方程的有关概念，自行归纳出相关概念，着眼于学生的归纳能力，对类比思想的

感悟.通过类比，体会到从算术方法到一元一次方程到二元一次方程组的演化过程，感受到

数学建模思想在实际问题应用中所带来的便捷，同时，通过例题、习题对•概念进行巩固，建

立起完整的概念体系.

7.2二元一次方程组的解法

第1课时用代入法解二元一次方程组

教学目标

知识与技能

通过探索二元一次方程组的解法，通过化二元一次方程组为一元一次方程的过程，体会

消元的思想，掌握直接代入法解二元一次方程组.

过程与方法

理解代入消元法的基本思想体现的化未知数为已知的化归思想方法.

情感、态度与价值观

在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心.

重点难点

重点

用代入法解二元一次方程组.

难点

体会用一个未知数表示另一个未知数进行代入消元.

教学过程

一、回顾

1.什么叫二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程组的解？

2.把3x+y=7改写成用x的代数式表示y的形式.

二、导入

1.再次回顾教材第26页问题2.

y-x=2()000X30%©,

设应拆除旧校舍xnf,建造新校舍yn?,依题意可列方程组:

y=4x②.

思考：怎样解这个方程组？

2.问题导引:

(1)我们解一元一次方程的步骤是什么？

(2)回顾上节课，解决比题所列的一元一次方程，二者有什么关系？

(3)能否把二元一次方程变为一元一次方程？其关键是什么？把“二元”变为“一元”.

(4)怎样做才能比较容易让某个未知数消去呢？

三、探索

1.教师小结，选二元一次方程组中一个方程，用一个未知数去表示另一个未知数，然后

代入一个方程中消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，从而求出二元一次方程组解的

方法称为代入消元法.

2.例题探究

x+y=7①，

解方程组:

3x+y=17②.

问题：此方程组与上一个方程组有何区别，不能直接将一个方程代入另一个方程，怎么

办？

解：由①得：y=7-x③

将③代入②得：3x+7-x=17,即x=5,

x=5

将x=5代入③，得y=2,所以一二

ly=2.

想一想，除了以上几种办法外，还有没有其他办法？

(1)方法①中能否改为用y表示x?

(2)方程②能否用x表示y?

(3)方程②能否用y表示X?

探究：将几种表示方法都解答出来，相互比较.

教师点评.

归纳：在代入消元时，可选取二元一次方程组中有未知数系数为1的二元一次方程，将

其变形为用一个未知数去表示另一个未知数的形式，再代入另一个二元一次方程求解.

四、巩固

3x—5y=6①，

解方程组

x4-4y=—15②.

教师巡回指导，对学习有困难的学生加以引导.

1.选取一个方程(观察有无系数为1的未知数)，将其改写成用一个未知数表示另一个未

知数，记作方程③.

2.把方程③代入另一个方程，得到一个一元一次方程.

3.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值.

4.把这个未知数的值代入③，求出另一个未知数的值从而得到方程组的解.

解：由②得：x=-15—4y③，把③代入①得，3(—15—4y)—5y=6,解得：y=-3,把

x=—3,

y=-3代入③得：x=-3,所以1

y=-3.

教师引导学生检验.

五、小结

I.解二元一次方程组的思路：将二元一次方程组通过代入消元的方法达到消元的目的,

转化为一元一次方程求解.

2.代入消元法解二元一次方程的一般步骤.

六、布置作业

见学生用书课后作业部分.

板书设计

一、回顾

二、导入

三、探索

四、巩固

五、小结

六、布置作业

教学反思

本教案在设计上做到了如下两点：1.在知识的前后衔接上，做到过渡自然.在前一节的

学习中，问题2的处理上，不仅列二元一次方程组来表示，还列出一元一次方程来表示.因

此，在本课引导学生探索二元一次方程组的解答上，易于联想转化为•元一次方程来解答，

对消元的思想接受上比较容易2注意对学生思维的发散训练及归纳能力的培养，在处理例题

时.，不仅仅以顺利解答为F1标，继续探索了多种代入方式，并且着重引导学生归纳代入的简

洁方式.

第2课时用加减法解二元一次方程组

教学目标

知识与技能

掌握用加减法解二元一次方程组.

过程与方法

使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.

情感、态度与价值观

体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心.

重点难点

重点

用加减法解二元一次方程组.

难点

两个方程组相加减消元时符号的问题.

教学过程

一、情境导入

王阿姨昨天在水果批发市场买了4千克苹果和4千克梨共花了14元，陈老师也以同样的

价格买了4千克苹果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快.

教师让解答最快的学生起来说出解答思路，抵消掉相同部分，王阿姨比陈老师多了1T-

克梨，多花了2元，所以每千克梨的售价为2元.

二、探究新知

3x+5y=5,①

1.解方程组―

3x-4y=23.①

教师在学生解答中巡回指导，总结归纳两种不同的解法.

解法1：由①得：x=5③",代入方程②消去x.

解法2：把3x看作一个整体，由①得：3x=5-5y代入②，消去x.

2.问题导引：

［问题1］观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？

［问题2］联系前面求梨的单价问题，思考除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？

两个方程的两边分别对应相减，就可消去x,得到一个一元一次方程.

［问题引这样做的理论依据是什么？

解答①一②得：（3x+5y）-（3x-4y）=-18.

x:’5

解得：y=-2,把y=-2代入①得x=5,所以原方程组的解为一\

ly=-2.

师述：在熟练以后，可以省掉两式相减的部分.

3.同类变式一：

3x+7y=9,①

解方程组:

4x—7x=5.②

二、探究新知

（互为相反数）

［问题2］除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？

教师活动：启发、小结.

4.教师概括:

对某些二元一次方程组可以通过两个方程的两边分别相加或相减，以达到消去一个未知

数的目的，得到一元一次方程，从而求出它的解，这种解法叫加减消元法.

思考：能用加减消元法直接求解二元一次方程组的前提是什么？

（两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等）

三、巩固练习

15x+6y=8,7x—4y=4,

解方程组:⑴2x-6y=1；(2)

5x-4y=—4.

四、小结

1.用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？

2.这种方法的适用条件是什么？

3.这种方法的步骤是什么？

五、布置作业

见学生用书课后作业部分.

教学反思

解题方法以及消元思想的领悟只有自己经历探索、思考，才是真正属于自己的，印象也

是最深刻.本教案没有直接给出加减消元法的概念以及解题的过程，而是通过导入的锢垫，

探索的引导，习题的归纳等多方面自我探索，在观察方程组的结构特点的基础上，比较不同

解法的优劣后，自己探索发现解题的技巧，这样使学生在积极参与的学习中感受学习的乐趣,

品尝到成功的喜悦，提高自己的解题能力.

第3课时一元一次方程的应用

教学目标

1.会解决有关配套问题.

2.会解决与工作效率有关的工程问题.

3.会从实际问题中推象出数学模型，并体会其中缜藏的等量关系.

教学重点

从题中找“配套问题”和“工程问题”的等量关系.

教学难点

在与工作效率有关的工程问题中建立等量关系，并