平面与平面垂直高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.6

空间直线、平面的垂直课时4

平面与平面垂直1.借助长方体，通过直观感知，理解空间中平面与平面的垂直关系.（直观想象）2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义.（数学抽象）3.归纳出平面与平面垂直的判定定理和性质定理.（逻辑推理）1.二面角的定义是什么？[答案]

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.2.二面角的平面角的定义是什么？

4.面面垂直是怎样定义的？[答案]

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.5.面面垂直的判定定理的内容是什么？[答案]

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.6.面面垂直的性质定理的内容是什么？[答案]

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）

二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.(

)

√（2）

组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直.(

)

√

√（4）

若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面.(

)

√

CA.平行

B.可能重合

C.垂直

D.相交但不垂直

平行

.

探究1

二面角的概念

随手打开一本书，每两页书之间所在的平面都形成一个角度；修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度.问题1:

根据上述问题，你发现两个半平面形成的角有何特点？[答案]

可以是零角、锐角、直角、钝角、平角.

问题3:

二面角的平面角的大小是否与角的顶点在棱上的位置有关？

1.二面角的定义:从一条直线出发的____________所组成的图形.相关概念:①这条直线叫作二面角的____；②两个半平面叫作二面角的____.两个半平面棱面2.二面角的画法:

首先根据二面角的定义找出二面角的平面角，然后解三角形，求二面角的余弦值.

方法总结

求二面角的大小关键是作出该二面角的平面角，求二面角的大小的步骤:（1）找出这个平面角；（2）证明这个角是二面角的平面角；（3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.

探究2

平面与平面垂直的判定

建筑工地上，泥水匠砌墙时，为了保证墙面与地面垂直，泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直.问题1:

由上述可知,当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？[答案]

垂直.问题2:

若要判断两个平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？[答案]

可以，只需在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可.

垂线

（3）图形语言:特别提醒:平面与平面垂直的判定定理告诉我们，证明两个平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题，进而转化为证明线线垂直的问题.通常我们将其记为“若线面垂直，则面面垂直”.

方法总结

证明面面垂直的方法

（1）定义法:证明两个半平面所成的二面角是直二面角.

（2）判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”.

（3）性质法:若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于此平面.

探究3

平面与平面垂直的性质

教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直.问题1:

在黑板上任意画的一条线与地面垂直吗？[答案]

不一定，也可能平行、相交（不垂直）.问题2:

怎样画才能保证所画直线与地面垂直？[答案]

只要保证所画的线与两平面的交线垂直即可.问题3:

如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系呢？如果直线和它们的交线垂直，那么这条直线和另一个平面垂直吗？[答案]

平行或相交；如果直线和它们的交线垂直，那么这条直线和另一个平面垂直.

平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果____________有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面______符号语言___________________________________________

一个平面内交线垂直图形语言_______________________________作用线面续表

方法总结

证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑使用面面垂直的性质定理.

利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问