新课改瘦专用2025版高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体及表面积与体积讲义含解析

PAGEPAGE11第一节空间几何体及表面积与体积突破点一空间几何体eq\a\vs4\al([基本学问])1．简洁旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．[提示](1)球是以半圆面为旋转对象的，而不是半圆．(2)要留意球面上两点的直线距离、球面距离以及在相应的小圆上的弧长三者之间的区分与联系．2．简洁多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是随意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相像多边形．[提示](1)棱柱的全部侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不肯定是棱柱．(2)棱台的全部侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不肯定是棱台．(3)留意棱台的全部侧棱相交于一点．3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．eq\a\vs4\al([基本实力])一、推断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体肯定是棱台．()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写全部正确的序号)答案：③⑤2．下列命题中正确的是________．①由五个平面围成的多面体只能是四棱锥；②棱锥的高线可能在几何体之外；③仅有一组相对的面平行的六面体肯定是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．答案：②3．一个棱柱至少有________个面；面数最少的一个棱锥有________个顶点；顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5434.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2)cm2，则原平面图形的面积为________cm2.解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面图形的面积为8cm2.答案：8eq\a\vs4\al([典例感悟])1．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相像，但侧棱长肯定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相像且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不肯定相等．故正确命题的个数是1.2．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，依据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不肯定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④[方法技巧]辨别空间几何体的2种方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的状况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，依据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可[针对训练]1．用随意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体肯定是()A．圆柱 B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是随意的且都是圆面，则该几何体为球体．2．下列命题正确的是()A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．两个面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形解析：选C如图所示，可解除A、B选项．对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分．故选C.突破点二空间几何体的表面积与体积eq\a\vs4\al([基本学问])空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[提示]解决与几何体的面积有关问题时，务必要留意是求全面积还是求侧面积．eq\a\vs4\al([基本实力])一、推断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)球的体积之比等于半径比的平方．()(4)简洁组合体的体积等于组成它的简洁几何体体积的和或差．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、填空题1.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案：1∶472．以长为a，宽为b的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为________．答案：2πab3．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面绽开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.答案：2eq\a\vs4\al([全析考法])考法一空间几何体的表面积[例1]在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A．4π B．(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π(2)(2024·合肥质检)已知圆锥的高为3，底面半径为4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为()A．5 B.eq\r(5)C．9 D．3[解析](1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.(2)∵圆锥的底面半径r＝4，高h＝3，∴圆锥的母线l＝5，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝20π，设球的半径为R，则4πR2＝20π，∴R＝eq\r(5)，故选B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其绽开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面绽开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积考法二空间几何体的体积[例2](1)如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的全部棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．[解析](1)三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，三棱锥A­B1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，则△BHC中BC边的高h＝eq\f(\r(2),2).∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面体＝VE­ADG＋VF­BHC＋VAGD­BHC＝2VE­ADG＋VAGD­BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).[答案](1)A(2)eq\f(\r(2),3)[方法技巧]求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以干脆利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟识的几何体补成熟识的几何体，便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．假如一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采纳等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特殊是三棱锥的体积eq\a\vs4\al([集训冲关])1.eq\a\vs4\al([考法一])圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．3解析：选A设上底面半径为r，则下底面半径为3r，截得圆台的大圆锥母线为l，则eq\f(l－3,l)＝eq\f(1,3)，l＝eq\f(9,2)，由π×3r×eq\f(9,2)－π×r×eq\f(3,2)＝84π，解得r＝7.2.eq\a\vs4\al([考法二])如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．解析：∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1,eq\r(2).∵四棱锥A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为eq\f(\r(2),2)，∴V四棱锥A1­BB1D1D＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3.eq\a\vs4\al([考法一、二])如图，正四棱锥P­ABCD的底面边长为2eq\r(3)cm，侧面积为8eq\r(3)cm2，则它的体积为________cm3.解析：记正四棱锥P­ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连接PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8eq\r(3)cm2，所以8eq\r(3)＝4×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝eq\r(3)，所以PO＝1，所以VP­ABCD＝eq\f(1,3)·S正方形ABCD·PO＝4cm3.答案：4突破点三与球有关的切、接问题与球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要仔细分析图形，明准确点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时，通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题.eq\a\vs4\al([全析考法])考法一与球有关的外接问题[例1](1)(2024·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为eq\r(3)，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A.eq\f(8,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．32π(2)(2024·成都模拟)在三棱锥P­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq\r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3)C．8π D．12π[解析](1)设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.(2)易知△ABC是等边三角形．如图，作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满意OM＝eq\f(1,2)PA＝1，则点O为三棱锥P­ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3)))2＋12)＝eq\r(2).故该球的表面积S＝4πR2＝8π.[答案](1)B(2)C[方法技巧]处理球的外接问题的策略(1)把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．(2)三条侧棱相互垂直的三棱锥的外接球：①假如三棱锥的三条侧棱相互垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；②假如三棱锥的三条侧棱相互垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．考法二与球有关的内切问题[例2](1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(3)，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．[解析](1)设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，PE＝eq\r(2).∴S表＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3).∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝eq\f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq\r(2)－1.[答案](1)eq\f(3,2)(2)eq\r(2)－1[方法技巧]处理与球有关内切问题的策略解答此类问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．假如内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．eq\a\vs4\al([集训冲关])1.eq\a\vs4\al([考法一])已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)eq