2024高考数学二轮复习第一部分题型专项练中档题保分练三文

PAGEPAGE1中档题保分练(三)1．(2024·驻马店模拟)数列{an}满意a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2－eq\f(n＋2,2n).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(an,1＋an·1＋an＋1)，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝1时，a1＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)；当n≥2，nan＝2－eq\f(n＋2,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(n＋1,2n－1)))＝eq\f(n,2n)，可得an＝eq\f(1,2n)，又∵当n＝1时也成立，∴an＝eq\f(1,2n).(2)bn＝eq\f(\f(1,2n),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n＋1))))＝eq\f(2n＋1,2n＋12n＋1＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋1＋1)))，∴Tn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋1)－\f(1,22＋1)＋\f(1,22＋1)－\f(1,23＋1)＋…＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋1＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2n＋1＋1)))＝eq\f(2,3)－eq\f(2,2n＋1＋1).2．(2024·聊城模拟)为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分．已知陈先生的家离上班公司12公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为t(分)，现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布状况如下表所示：时间t(分)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)次数122882将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为[20,60)分．(1)估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率；(2)若公司每月发放800元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车(每月按22天计算)，并说明理由．(同一时段，用该区间的中点值作代表)解析：(1)设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的事务为A，则所求的概率为P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(12,50)＝eq\f(19,25)，所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为eq\f(19,25).(2)每次开车所用的平均时间为25×eq\f(12,50)＋35×eq\f(28,50)＋45×eq\f(8,50)＋55×eq\f(2,50)＝35(分)．每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12＋0.12×35＝16.2(元)．每个月的费用为16.2×2×22＝712.8(元)，712.8＜800.因此公司补贴够每月上下班租用新能源租赁汽车．3．(2024·临川一中模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2BC＝2，PB＝PD，PA＝eq\r(3).(1)求证：PA⊥BD；(2)若PA⊥AB，BD＝2eq\r(2)，E为PA的中点.(ⅰ)过点C作始终线l与BE平行，在图中画出直线l并说明理由；(ⅱ)求平面BEC将三棱锥P­ACD分成的两部分体积的比．解析：(1)证明：取BD中点O，连接AO，PO.∵AB＝AD，O为BD中点，∴AO⊥BD，又PB＝PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又AO∩PO＝O，∴BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，∴PA⊥BD.(2)(ⅰ)取PD中点F，连接CF，EF，则CF∥BE，CF即为所作直线l，理由如下：∵在△PAD中，E、F分别为PA、PD中点，∴EF∥AD，且EF＝eq\f(1,2)AD＝1.又∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD＝1，∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCFE为平行四边形.∴CF∥BE.(ⅱ)∵PA⊥AB，PA⊥BD，AB∩BD＝B，∴PA⊥平面ABD.又在△ABD中，AB＝AD＝2，BD＝2eq\r(2)，AB2＋AD2＝BD2，∴AB⊥AD.又PA⊥AB，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.VP­ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)，VC­AEFD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(\r(3),2)，∴VP­ECF＝eq\f(2\r(3),3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴eq\f(VP­ECF,VC­AEFD)＝eq\f(\f(\r(3),6),\f(\r(3),2))＝eq\f(1,3).4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)已知直线l的参数方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋2t))(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))(θ为参数)．(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)推断直线l和圆C的位置关系．解析：(1)消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1；ρ＝2eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得圆C的直角坐标方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)<eq\r(2)，所以直线l和圆C相交．(选修4－5：不等式选讲)(2024·菏泽模拟)已知f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式：f(x)≤x＋3；(2)不等式|m|·f(x)≥|m＋2|－|3m－2|对随意m∈R恒成立，求x解析：(1)①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,2x－3≤x＋3))⇒2≤x≤6，②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜2,x－1＋2－x≤x＋3))⇒1＜x＜2，③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1,3－2x≤x＋3))⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0,6]．(2)①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即f(x)≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)－3))对m恒成立，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)－3))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋1－\