第11讲对数函数（9大考点）

第11讲对数函数（9大考点）考点考点考向一．对数函数的定义【知识点归纳】一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b．底数则要大于0且不为1．二．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．三．对数函数的值域与最值【知识点归纳】一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）四．对数值大小的比较【知识点归纳】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）五．对数函数的图象与性质【知识点归纳】六．对数函数的单调性与特殊点【知识点归纳】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数2、特殊点对数函数恒过点（1，0）七．指数函数与对数函数的关系【知识点归纳】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：八．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0}且f（x）＝C（其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．九．对数函数图象与性质的综合应用【知识点归纳】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg2+lg5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．考点精讲考点精讲一．对数函数的定义（共1小题）1．（2019秋•闵行区校级月考）对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是（1，2）∪（2，5）．【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可．【解答】解：∵对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0；故需：⇒⇒x的取值范围是：（1，2）∪（2，5）．故答案为：（1，2）∪（2，5）．【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题．二．对数函数的定义域（共4小题）2．（2021秋•长宁区期末）下列四组函数中，定义域相同的一组是（）A．和y＝lgx B．和 C．和y＝lgx D．和【分析】分别求出四个选项中两函数的定义域得答案．【解答】解：A中，的定义域为[0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域不同；B中，的定义域为（0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同；C中，的定义域为（0，+∞），y＝lgx的定义域为（0，+∞），定义域相同；D中，的定义域为[0，+∞），的定义域为（0，1）∪（1，+∞），定义域不同．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3．（2021秋•奉贤区校级期中）函数的定义域是[2，+∞）．【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：由题意可知，解得x≥2，∴函数的定义域为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．4．（2021秋•闵行区期末）函数y＝ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．【分析】根据对数函数的性质求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1＞0，解得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础，要求熟练掌握对数函数的性质．5．（2021秋•金山区期末）函数y＝log2（x﹣3）的定义域为{x|x＞3}．【分析】对数的真数大于0，就是x﹣3＞0，直接求，解即可求出函数的定义域．【解答】解：函数y＝log2（x﹣3）有意义必须x﹣3＞0即：x＞3故答案为：{x|x＞3}【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题．三．对数函数的值域与最值（共4小题）6．（2022•浦东新区校级开学）函数f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【分析】直接利用对数的性质和函数的恒成立问题的应用及不等式的性质的应用求出参数的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝lg（2x+2﹣x+a﹣1）的值域是R，所以y＝2x+2﹣x+a﹣1的值域包含（0，+∞）；由于2x+2﹣x≥，当且仅当2x＝2﹣x时，即x＝0时，等号成立；所以2x+2﹣x﹣1≥1；所以a≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查的知识要点：对数的性质，恒成立问题的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．（2020秋•金山区期末）已知函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[2，4]上的最大值比最小值大2，则a的值为．【分析】由0＜a＜1可得f（x）为减函数，求得最值代入条件可得解．【解答】解：∵0＜a＜1时，∴函数f（x）为减函数，则loga2﹣loga4＝1，即loga＝2，解得，所以实数a的值为．故答案为：．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，对数的运算，属于基础题．8．（2021秋•普陀区校级期中）若函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是1＜a＜2．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑对数函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，Δ＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝logax在R+上单调递增，∴要使y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴Δ＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝loga（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【点评】本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，是中档题．9．（2021春•浦东新区校级月考）已知集合A＝{x|log2（2x）•log2x≤0}．（1）求集合A；（2）求函数y＝42x+1+4x，x∈A的值域．【分析】（1）利用对数函数的运算法则将已知的不等式化为关于log2x的二次不等式，通过解二次不等式求出log2x的范围，再利用对数函数的单调性求出x的范围．（2）令4x＝t，则将函数转化为二次函数，求出二次函数的对称轴，判断出二次函数的单调性，求出二次函数的值域．【解答】解：（1）由log2（2x）•log2x＝log22x+log2x≤0，得﹣1≤log2x≤0解得∴（2）令4x＝t，则t∈[2，4]y＝g（t）＝4t2+t，对称轴为∴g（t）在[2，4]上单调递增故ymin＝g（2）＝18，ymax＝g（4）＝68∴y＝42x+1+4x的值域为[18，68]．【点评】本题考查二次不等式的解法、二次函数最值的求法、利用对数函数的单调性求对数不等式的解、换元法要注意新变量的范围．四．对数值大小的比较（共4小题）10．（2020秋•黄浦区校级期末）若log3m＜log3n且logm3＜logn3，则实数m、n满足的关系式为（）A．0＜m＜n＜1 B．0＜n＜m＜1 C．0＜m＜1＜n D．1＜m＜n【分析】根据对数函数的图象和性质即可判断．【解答】解：∵log3m＜log3n，∴0＜m＜n，∵logm3＜logn3，∴0＜m＜1，n＞1，∴0＜m＜1＜n．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．11．（2021秋•宝山区校级期中）已知a，b∈R，则下列命题中正确的个数为（）（1）若0＜a＜b＜1，则aa＜bb；（2）若0＜a＜b＜1，则logab＜logba；（3）若a＞b＞1，则ab＜ba．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】根据待比较式的特征构造函数，利用函数的单调性及不等式的性质进行比较．【解答】解：（1）设函数f（x）＝xlnx，则f′（x）＝1+lnx，所以x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞）时，f（x）＞0，f（x）单调递增．因为0＜a＜b＜1，所以存在0＜a＜＜b＜1，使得f（a）＝f（b），即alna＝blnb，此时aa＝bb，故（1）错误．（2）因为0＜a＜b＜1，所以logaa＞logab，logba＞logbb，所以logab＜1＜logba，故（2）正确，（3）举例说明：当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，ba＝23＝8，ab＞ba，故（3）错误，故选：C．【点评】本题考查不等式的性质，对数函数，指数函数的单调性，属于中档题．12．（2021秋•闵行区校级期中）若正实数a，b，c满足，则（）A．ca＞ba B．logca＜logba C．logab＞logbc D．ca﹣1＜bc﹣1【分析】由对数，指数的运算化简可得0＜c＜0.4＜b＜1＜a，从而依次对四个选项判断即可．【解答】解：∵，即3a＝4，∴a＞1，∵，∴0.4＜b＜1，∵，∴，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，∴ca＜ba，logca＞logba，logab＜0＜logbc，∴A，B，C项错误；∵a﹣1＞0，c﹣1＜0，∴0＜ca﹣1＜1＜bc﹣1，D项正确．故选：D．【点评】本题考查指数、对数，幂的大小比较，同时考查了对数函数、指数函数的性质应用，属于基础题．13．（2021秋•浦东新区校级月考）已知函数，，，且f（a）＝g（a），f（b）＝h（b），g（c）＝h（c），则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c【分析】画出y＝f（x），y＝g（x），y＝h（x）的图象，结合图象可得．【解答】解：画出y＝f（x），y＝g（x），y＝h（x）的图象，结合图象，以及f（a）＝g（a），f（b）＝h（b），g（c）＝h（c），可得a＞b＞c，故选：A．【点评】本题考查了指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题．五．对数函数的图象与性质（共8小题）14．（2021秋•静安区期末）函数y＝x2+|lg（x+）|+1的图像关于（）对称A．原点 B．x轴 C．y轴 D．直线y＝x【分析】先求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【解答】解：函数的定义域为R，∵f（﹣x）＝（﹣x）2+|lg（﹣x+）|+1＝x2+|lg|+1＝x2+|lg|+1＝x2+|lg（x+）﹣1|+1＝x2+|lg（x+）|+1＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，故选：C．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．15．（2021秋•长宁区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+a与对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图像关系可能是（）A． B． C． D．【分析】分类讨论，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，且一次函数y＝x+a与y轴的交点纵坐标a＞1，故排除BD，当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，且一次函数y＝x+a与y轴的交点纵坐标0＜a＜1，故排除A．故选：C．【点评】本题考查了函数图像的识别，属于基础题．16．（2021秋•长宁区校级期末）函数f（x）＝log2的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y＝﹣x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称【分析】先根据函数的奇偶性的定义判断函数f（x）为奇函数，再根据奇函数的性质可得函数f（x）的图象关于原点对称．【解答】解：∵函数f（x）＝log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．再根据f（﹣x）＝log＝﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，故选：A．【点评】本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，属于基础题．17．（2022秋•宝山区校级月考）若函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【分析】令（0，+∞）为函数y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，根据二次函数的性质列出不等式组即可得出a的范围．【解答】解：∵函数y＝lg（ax2﹣ax+1）的值域为R，∴（0，+∞）为函数y＝ax2﹣ax+1的值域的子集，∴，解得a≥4．故答案为[4，+∞）．【点评】本题考查了对数的函数的性质，二次函数的性质，属于中档题．18．（2021秋•浦东新区校级期末）方程lgx+lg（x+3）＝1的解x＝2．【分析】先进行对数运算都化成同底数的对数，再根据同底数的对数相等只要真数相等即可．【解答】解：∵lgx+lg（x+3）＝lg[x（x+3）]＝lg（x2+3x）＝1＝lg10∴x2+3x＝10∴x＝2或﹣5∵x＞0∴x＝2故答案为：2．【点评】本题主要考查解对数方程的问题．这里注意对数的真数一定要大于0．19．（2021秋•长宁区校级期末）设常数a＞0且a≠1，若函数y＝loga（x+1）在区间[0，1]的最大值为1，最小值为0，求实数a的值．【分析】讨论a的取值分别求解即可．【解答】解：y＝loga（x+1）（a＞0，且a≠1）在区间[0，1]上为单调函数，当a＞1时，有loga2＝1，且loga1＝0，解得a＝2，当0＜a＜1时，有loga2＝0，且loga1＝1，此时a不存在，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是函数单调性的应用，熟练掌握对数型函数的单调性是解答的关键，属于基础题．20．（2021春•宝山区期末）设函数f（x）＝logmx（m＞0且m≠1）的图象经过点（3，1）．（1）解关于x的方程f2（x）+（m﹣1）f（x）+1﹣m2＝0；（2）不等式[1+f（x）]⋅[a﹣f（x）]＞0的解集是，试求实数a的值．【分析】（1）由已知得logm3＝1，从而求得m＝3，f（x）＝log3x，代入解方程即可，（2）易知log3x∈（﹣1，2），从而可得﹣1，2是关于t的方程（t+1）⋅（t﹣a）＝0的两根，从而解得．【解答】解：（1）由已知得f（3）＝1，即logm3＝1，故m＝3，f（x）＝log3x，方程f2（x）+（m﹣1）f（x）+1﹣m2＝0可化为f2（x）+2f（x）﹣8＝0，即f（x）＝2或f（x）＝﹣4，即log3x＝2或log3x＝﹣4，故x＝9或；（2）∵，∴log3x∈（﹣1，2），[1+f（x）]⋅[a﹣f（x）]＞0可化为（log3x+1）⋅（log3x﹣a）＜0，∴﹣1，2是关于t的方程（t+1）⋅（t﹣a）＝0的两根，∴a＝2．【点评】本题考查了函数的求法及整体思想应用，同时考查了不等式与方程的关系，属于基础题．21．（2021秋•金山区校级月考）已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）．（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a＝2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【解答】解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则＜，所以﹣1＜﹣1．因为a＞1，所以loga（﹣1）＜loga（﹣1），即f（x1）＜f（x2）．故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．∵f（x）＜f（1）；∴ax﹣1＜a﹣1，∵a＞1，∴x＜1，又∵x＞0，∴0＜x＜1；（3）∵g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，∴g（x）min＝﹣log23，∵m＜g（x），∴m＜﹣log23，即m∈（﹣∞，﹣log23）．【点评】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．六．对数函数的单调性与特殊点（共5小题）22．（2022春•宝山区校级期末）函数y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是（1，3）．【分析】根据对数函数的性质loga1＝0，求出P点的坐标即可．【解答】解：令2x﹣1＝1，解得x＝1，则y＝3，y＝loga（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是（1，3），故答案为：（1，3）．【点评】本题考查了对数函数的性质，是基础题．23．（2021秋•浦东新区校级月考）函数y＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标为（1，1）．【分析】利用loga1＝0，取x的值进行求解即可．【解答】解：因为函数y＝2loga（2x﹣1）+1（a＞0且a≠1），当x＝1时，y＝1，所以函数的图象恒过定点P（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查了对数函数图象性质的应用，解题的关键是掌握loga1＝0，考查了逻辑推理能力，属于基础题．24．（2021秋•浦东新区校级月考）函数f（x）＝loga（10﹣3x）+9的图象恒过定点A，且点A在幂函数g（x）的图象上，则g（8）＝64．【分析】令真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用待定系数法求幂函数g（x）的解析式，g（8）的值．【解答】解：对于函数f（x）＝loga（10﹣3x）+9，令10﹣3x＝1，求得x＝3，f（x）＝9，可得它的图象恒过定点A（3，9）．∵点A在幂函数g（x）＝xα的图象上，∴3α＝9，∴α＝2，g（x）＝x2，则g（8）＝8²＝64，故答案为：64．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，用待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．25．（2021•宝山区校级开学）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．【分析】由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）＝（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）＝logax在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范围【解答】解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）＝（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）＝logax在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）∴∴故答案为：【点评】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．26．（2019秋•浦东新区校级期末）已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．【分析】（1）令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数的图象恒经过定点的坐标．（2）由题意利用偶函数的性质求得b、c的值，再根据函数图象经过定点A（1，1），可得a的值．【解答】解：（1）令+＝1，可得x＝1，y＝1，可得函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过A（1，1）．（2）∵g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]，是偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），∴b＝0．且有1﹣2c＝﹣c，求得c＝1，故g（x）＝ax2﹣1．再根据它的图象经过定点A（1，1），可得1＝a﹣1，∴a＝2．综上可得，a＝2，b＝0，c＝1．【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，函数的奇偶性的应用，属于中档题．七．指数函数与对数函数的关系（共1小题）27．（2021秋•庐阳区校级月考）设2a＝5b＝m，且+＝2，m＝．【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m．【解答】解：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，由换底公式得，∴m2＝10，∵m＞0，∴故应填【点评】考查指对转化，对数的运算性质，求两对数式的倒数和，若两真数相同，常用换底公式转化为同底的对数求和．八．反函数（共7小题）28．（2022•上海自主招生）f（x）＝|x|+2x+1+3x的反函数为g（x），（g（x2））2＝1的根有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由（g（x2））2＝1求得g（x2）＝±1，根据反函数的定义列方程求解即可．【解答】解：因为（g（x2））2＝1，所以g（x2）＝±1，当g（x2）＝1时，f（1）＝1+2+1+3＝7，令x2＝7，解得x＝±；当g（x2）＝﹣1时，f（﹣1）＝1﹣2+1+3﹣1＝，令x2＝，解得x＝±；所以方程（g（x2））2＝1的根有4个．故选：D．【点评】本题考查了反函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．29．（2022•虹口区校级开学）若函数f（x）＝2x﹣7，则f﹣1（1）＝3．【分析】直接根据原函数和反函数的关系求解即可．【解答】解：∵函数f（x）＝2x﹣7，∴f（x）＝2x﹣7＝1⇒x＝3，∴f﹣1（1）＝3．故答案案为：3．【点评】本题主要考查原函数和反函数的关系，属于基础题．30．（2022春•宝山区校级期末）已知函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝a•2x+b•3x.其中常数a，b满足a﹣b≠0；（1）若a•b＞0，判断函数f（x）是否一定存在反函数，并说明理由；（2）若a•b＜0，解不等式f（x+2）＞f（x）．【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，分析函数f（x）的单调性，由反函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，由f（x+2）＞f（x）变形可得：3a•2x+8b•3x＞0，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若a•b＞0，即或，当时，因为y＝a•2x和y＝b•3x都在R上单调递增，则函数f（x）在R上单调递增；故函数有反函数，当时，因为y＝a•2x，y＝b•3x都在R上单调递减，则函数f（x）在R上单调递减，故函数有反函数，综合可得：若a•b＞0，函数f（x）一定存在反函数；（2）根据题意，若a•b＜0，则或，f（x+2）＞f（x）即（a•2x+2+b•3x+2）﹣（a•2x+b•3x）＞0，变形可得：3a•2x+8b•3x＞0，当时，则有（）x＞﹣，解可得x＞（﹣），不等式的解集为（（﹣），+∞）；当时，则有（）x＜﹣，解可得x＜（﹣），不等式的解集为（﹣∞，（﹣））；故当时，不等式的解集为（（﹣），+∞）；当时，不等式的解集为（﹣∞，（﹣））．【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及反函数的性质以及指数函数的性质，属于中档题．31．（2021秋•浦东新区校级期末）设a∈R，f（x）是定义在R上的奇函数，且．（1）试求f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式及f﹣1（x）的定义域；（2）设，若时，f﹣1（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由已知结合奇函数性质f（0）＝0可求a，代入检验即可求解f（x），然后反解可求反函数，进而可求定义域；（2）由已知不等式恒成立代入进行转化为求解相应函数的最值，结合二次函数的单调性可求．【解答】解：（1）因为为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝＝0，所以a＝1，此时f（x）＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足题意，令y＝f（x）＝，则，所以x＝log2，所以f﹣1（x）＝log2，由＞0，得﹣1＜x＜1，所以f﹣1（x）的定义域（﹣1，1）；（2）因为时，f﹣1（x）≤g（x）恒成立，所以log2≤log＝log2×恒成立，所以≤×恒成立，即k2≤1﹣x2在[]上恒成立，令h（x）＝1﹣x2，x∈[]，则h（x）在[]上单调递减，h（x）min＝h（）＝，所以k2所以0＜k，故k的取值范围为{k|0＜k}．【点评】本题主要考查了奇函数性质的应用，函数反函数的求解，不等式的恒成立求解参数问题，体现了转化思想的应用．32．（2021秋•普陀区校级期末）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．【分析】（1）由已知反解出3x，然后结合指数与对数的相互转化可求x，进而可求反函数的表达时及函数的定义域；（2）先根据定义判断t（x）＝的单调性，然后结合对数函数单调性即可判断．【解答】解：（1）由，得，所以x＝log3，所以f（x）＝log3，D＝（﹣1，1），（2）f（x）单调递增，证明如下，设t（x）＝＝﹣1﹣，设﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣1＜0，x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0，则t（x1）﹣t（x2）＝﹣＝＜0，所以t（x1）＜t（x2），所以log3t（x1）＜log3t（x2），所以y＝f（x）在（﹣1，1）上单调递增．【点评】本题主要考查了函数的反函数解析式的求解，还考查了利用函数单调性定义及复合函数单调性判断函数单调性，属于基础题．33．（2021秋•宝山区校级期中）已知函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），且f（x）＝2x．（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝m在区间[0，1]内有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）易得f﹣1（x）＝log2x，然后解关于x的对数方程可得；（2）易得m的范围即为函数y＝2x+21﹣x在[0，1]的值域，然后结合“对勾函数”的单调性，求出m的范围．【解答】解：（1）f（x）＝2x的反函数为f﹣1（x）＝log2x，由f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）＝1，可得log2x﹣log2（1﹣x）＝1，∴log2＝1，∴＝2，解得x＝，经检验符合题意；（2）∵关于x的方程f（x）+f（1﹣x）＝0在区间[0，1]内有解，∴2x+21﹣x＝m在区间[0，1]内有解，∴m的范围即为函数y＝2x+21﹣x在[0，1]的值域，函数y＝2x+21﹣x＝2x+在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，∴当x＝时，函数取最小值2，当x＝1时，函数取最大值3，∴实数m的取值范围为[2，3]．【点评】本题考查反函数，指数函数与对数函数的性质，考查函数与方程思想及转化与化归思想，属中档题．34．（2021春•宝山区校级期末）对于给定的函数y＝f（x），记A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．（1）若f（x）＝，用列举法表示集合A、B；（2）若f（x）在其定义域上是增函数，求证：A＝B；（3）若f（x）＝，记函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若关于x的方程f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）有实数解，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意和函数f（x）＝，得出方程，即可求解．（2）任取x1∈A，f（f（x1））＝f（x1）＝x1，进而可得x1∈B，可得A⊆B；任取x2∈B，则f（f（x2））＝x2，利用反证法的思想，证明f（x2）＝x2，得到x2∈A，所以B⊆A，即可证得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为相反数，得到g（g（x））＝x，根据g（x）的解析式得到函数g（x）单调递增函数，根据（1）转化为g（x）＝x，得到方程＝x有实数解，结合二次函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由f（x）＝，令＝x，即x2+4x﹣13＝0，解得x＝﹣2+，即集合A＝{﹣2+}，由f（f（x））＝f（）＝x，即＝x，整理得（x2+4x﹣13）（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣2+或x＝1或x＝3，即集合B＝{1，3，﹣2+}．（2）证明：任取x1∈A，可得f（x1）＝x1，则f（f（x1））＝f（x1）＝x1，所以x1∈B，可得A⊆B，任取x2∈B，则f（f（x2））＝x2，下面证明：f（x2）＝x2，若f（x2）＞x2，则f（f（x2））＞f（x2）＞x2，若f（x2）＜x2，则f（f（x2））＜f（x2）＜x2，这与f（f（x2））＝x2矛盾，所以f（x2）＝x2，即x2∈A，所以B⊆A，综上可得A＝B．（3）由y＝f﹣1（x）﹣a与y＝f（x+a）互为相反数，令g（x）＝f（x+a），即函数y＝g（x）的反函数为y＝g﹣1（x），则f﹣1（x）﹣a＝f（x+a）⇔g﹣1（x）＝g（x）⇔g（g（x））＝x，因为g（x）＝在定义域上为单调增函数，由（2）知g（g（x））＝x，可得g（x）＝x，即方程＝x有实数解，即x+a﹣2＝x2在[0，+∞）上有实数解，可得a＝x2﹣x+2＝（x﹣）2+在[0，+∞）有实数解，所以a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．【点评】本题考查集合与函数的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．九．对数函数图象与性质的综合应用（共4小题）35．（2021秋•奉贤区校级期中）设f（x）＝|ln（x+1）|，已知f（a）＝f（b）（a＜b），则（）A．a+b＞0 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．2a+b＞1【分析】结合对数函数与绝对值可得﹣ln（a+1）＝ln（b+1），从而可得ab+a+b＝0；从而由基本不等式可得（a+b）（a+b+4）＞0，从而判断．【解答】解：易知y＝ln（x+1）在定义域上是增函数，而f（x）＝|ln（x+1）|，且f（a）＝f（b）；故﹣ln（a+1）＝ln（b+1），即ab+a+b＝0．，即（a+b）（a+b+4）＞0，显然﹣1＜a＜0，b＞0，∴a+b+4＞0，∴a+b＞0，故选：A．【点评】本题考查了对数函数与绝对值函数的性质的判断与应用，同时考查了基本不等式与转化思想的应用．36．（2021秋•金山区校级期中）已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x（1）如果x∈[1，2]，求函数h（x）＝[f（x）+1]g（x）的值域；（2）求函数M（x）＝的最大值．（3）如果对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）令t＝log2x，则h（x）＝﹣2（t﹣1）2+2．由x∈[1，2]，可得t∈[0，1]，再利用二次函数的性质求得h（x）的值域．（2）根据函数M（x）＝，f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log2x），分类讨论求得M（x）的最大值．（3）由题意可得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞klog2x，根据t∈[0，1]，可得（3﹣4t）（3﹣t）＞kt，对一切t∈[0，1]恒成立．再分①当t＝0和②当t∈[0，1]两种情况，求得k的取值范围．【解答】解：（1）令t＝log2x，则f（x）＝3﹣t，g（x）＝t，h（x）＝（4﹣2log2x）•log2x＝﹣2（t﹣1）2+2．∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，故当t＝1时，h（x）取得最大值为2，当t＝0时，函数取得最小值为0，∴h（x）的值域为[0，2]．（2）函数M（x）＝＝，∵f（x）﹣g（x）＝3（1﹣log2x），∴当x∈（0，2]时，f（x）≥g（x），M（x）＝log2x．当x∈（2，+∞）时，f（x）＜g（x），M（x）＝3﹣2log2x．即M（x）＝．当0＜x≤2时，M（x）最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．综上：当x＝2时，M（x）取到最大值为1．（3）∵对任意x∈[1，2]，不等式f（x2）f（）＞k•g（x）恒成立，即（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞klog2x．∵x∈[1，2]，∴t∈[0，1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞kt对一切t∈[0，1]恒成立．①当t＝0时，k∈R．②当t∈（0，1]，k＜+4t﹣15，∵h（t）＝+4t﹣15在（0，1]上是减函数，∴h（t）min＝﹣2，（t＝1时），∴k＜﹣2．综述，k的取值范围为（﹣∞，﹣2）．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．37．（2021秋•静安区校级月考）已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．【分析】由条件求得，化简函数y的解析式为，由此可得y最大值与最小值及相应的x的值．【解答】已知x满足，求的最大值与最小值及相应的x的值．解：由题意，解得，∴．又∵＝（log2x﹣1）（log2x﹣2）＝＝，∴当时，，当log2x＝3时，ymax＝2，即当时，；当x＝8时，ymax＝2．【点评】本题主要考查二元一次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．38．（2021秋•黄浦区校级月考）已知函数f（x）＝log4（ax2+2x+3）．（1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据f（1）＝1代入函数表达式，解出a＝﹣1，再代入原函数得f（x）＝log4（﹣x2+2x+3），求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数f（x）的单调区间；（2）先假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，根据函数表达式可得真数t＝ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，再结合二次函数t＝ax2+2x+3的性质，可列出式子：，由此解出a＝，从而得到存在a的值，使f（x）的最小值为0．【解答】解：（1）∵f（x）＝log4（ax2+2x+3）且f（1）＝1，∴log4（a•12+2×1+3）＝1⇒a+5＝4⇒a＝﹣1可得函数f（x）＝log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3∴函数定义域为（﹣1，3）令t＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f（x）＝log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t＝ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x＝﹣＝﹣时，t值为1．∴⇒⇒a＝因此存在实数a＝，使f（x）的最小值为0．【点评】本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海·曹杨二中高一期末）函数与在同一坐标系中的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】分别讨论和时函数与在的单调性和所过定点，利用排除法即可求解.【详解】由对数和指数函数的性质可得且，当时，过点在上单调递减，过点在单调递减，所以排除选项C，当时，过点在上单调递增，过点在单调递增，所以排除选项AD，故选：B.2．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数、在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，函数在区间上不单调.故选：B.3．（2022·上海·高一单元测试）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案.【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.4．（2021·上海·高一单元测试）若，则函数的图象不经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用图像的平移变换即可得到答案.【详解】当时，把函数的图象向左平移5个单位得到函数的图象，如图所示，∴函数的图象不经过第一象限，故选A【点睛】本题考查对数函数的图象，考查平移变换，考查数形结合的思想，属于简单题型.5．（2021·上海市金山中学高一阶段练习）若，则下列命题中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得，再根据指数函数、幂函数的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D；【详解】解：因为，所以，即，对于A：因为在定义域上单调递减，又，所以，故A正确；对于B：因为在单调递减，又，所以，故B正确；对于C：因为在单调递减，又，所以，故C正确；对于D：当（或）时（），此时（或）无意义，故D错误；故选：D6．（2022·上海市延安中学高一期末）函数的最小值为（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】利用对数函数单调性得出函数在时取得最小值．【详解】，因为是增函数，因此当时，，，当时，，，而时，，所以时，．故选：C．7．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件确定函数在上单调递减，再结合分段函数在R上单调的性质列式计算作答.【详解】因函数在R上是严格减函数，则函数在上单调递减，并且有，于是得，解得：，所以实数a的取值范围是.故选：D【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．8．（2022·上海·高一单元测试）已知a、，有以下3个命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中真命题的个数是（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【分析】取值验证判断命题①、③；利用对数函数性质分析判断命题②作答.【详解】当时，取，则，即命题①不正确；当时，函数，在都是减函数，于是得，即命题②正确；当时，取，则，，即不成立，命题③不正确，所以真命题个数是1.故选：C二、填空题9．（2022·上海·高一单元测试）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______.【答案】【分析】根据求得正确结论.【详解】依题意，当，即时，，所以定点为.故答案为：10．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________．【答案】【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.因此，所求函数解析式为.故答案为：.11．（2022·上海·高一单元测试）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是________【答案】【分析】根据题意得到，解得答案.【详解】代数式有意义，则，解得.故答案为：.12．（2022·上海市吴淞中学高一期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标是________.【答案】【分析】令对数的真数为1，求出所对应的的值，再求出，即可得解；【详解】解：因为函数（且）的图像恒过定点，所以令即时，所以点坐标为；故答案为：13．（2022·上海·高一单元测试）函数的定义域为___________.【答案】【分析】根据函数定义域的求法，即可求解.【详解】解：,解得,故函数的定义域为:.故答案为：.14．（2021·上海市杨浦高级中学高一期末）函数，的最小值是______________.【答案】【解析】令，可得，即可求出最小值.【详解】，令，，，则，当时，.故答案为：2.【点睛】本题考查与对数函数复合的二次函数的最值，解题的关键是换元令，得出二次函数求最值.15．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为________.【答案】【分析】分析函数在区间上为减函数，由已知条件可得出关于的等式，结合可求得实数的值.【详解】因为，所以函数在区间上为减函数，所以，，所以，，因为，因此，.故答案为：.16．（2022·上海闵行·高一期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________.【答案】##【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.【详解】因为经过，所以时，令，当时，可得，所以的解集为.故答案为：.17．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知实数x、y满足，则的最小值为______．【答案】##【分析】根据给定等式可得，再借助“1”的妙用计算作答.【详解】因实数x、y满足，则，且，则有，即，且，因此，，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值.故答案为：18．（2022·上海·高一单元测试）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．【答案】【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．【详解】解：∵函数的定义域是R，∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，即ax＞对于任意实数x恒成立，当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；当x＞0时，则a＞＝，∵x＞0，∴，则≥，则≤，可得a＞；当x＜0时，则a＜，∵x＜0，∴，则＞1，则＞1，可得a≤1．综上可得，实数a的取值范围是．故答案为：．19．（2021·上海·上外浦东附中高一期末）如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．【答案】{x|－1<x≤1}【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.【详解】令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图．由得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．【点睛】本题考查函数图象应用，考查基本分析求解能力.20．（2021·上海·高一单元测试）已知为偶函数，且在上递减，则________（选填“”或“”）.【答案】【分析】先根据函数为偶函数得出的值，再由函数在区间上的单调性得出实数的取值范围，并比较和的大小关系，然后利用函数在区间上的单调性可得出和的大小关系.【详解】函数为偶函数，即，即，，等式两边平方并化简得，所以，，则.当时，为减函数，则，所以，，因此，.故答案为.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了对数函数的单调性与参数以及利用对数函数的单调性来比较函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（2021·上海·高一专题练习）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．【答案】(1)见解析；(2)﹒【分析】(1)由对数函数的性质，得函数的定义域，再由，能求出函数的值域．(2)由题设知：当时，函数有最小值，由此能求的值．（1）由，得，函数的定义域，，设，，又，则．当时，，值域为．当时，，值域为．（2）由题设及(1)知：当时，函数有最小值，，解得．22．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知函数．（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上严格增，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据条件分析出的值域包含，由此根据与的关系分类讨论，求解出结果；（2）根据两种情况结合复合函数单调性的判断方法进行分类讨论，然后求解出的取值范围.【详解】（1）当时，满足题意；当时，要使得的值域为，只需要满足，解得，综上（2），当时，外层函数为严格增，所以只需满足；当时，外层函数为严格减，所以只需满足，此时不存在，舍去；综上．【点睛】思路点睛：形如的函数，若函数的定义域为，则有；若函数的值域为，则有.23．（2021·上海·高一专题练习）比较下列各组中两个值的大小：①log31.9，log32；②log23，log0.32；③logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)；④log50.4，log60.4.【答案】（1）log31.9<log32；（2）log23>log0.32；（3）答案见解析；（4）log50.4<log60.4.【分析】（1）根据y＝log3x在上严格递增即可求解；（2）判断与中间值0的大小关系即可求解；（3）对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，然后根据函数y＝logax的单调性即可求解；（4）在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图像，再作出直线x＝0.4，观察图像即可求解.【详解】解：（1）因为y＝log3x在上严格递增，所以log31.9<log32.（2）因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.（3）当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上严格递增，所以logaπ>loga3.14；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上严格递减，所以logaπ<loga3.14.综上，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.（4）在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图像，再作出直线x＝0.4，观察图像可得log50.4<log60.4.24．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）已知函数，.（1）设集合，求集合A；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）由可得，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合；（2）把变形，再由的范围求得的范围，结合二次函数的性质可得答案．【详解】（1）由，得，即，则，求得．，；（2）．，，，当时，，当时，．故的最大值为，最小值为．【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出，解答（2）的关键是先求出，再利用配方法求解.25．（2021·上海·高一）设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围.【答案】.【分析】根据题意转化为对恒成立，令，得到，其中，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】当时，恒有意义，即，对恒成立，即，对恒成立，令，可得，因为，可得，所以对恒成立，又因为在上为减函数，可得，所以，即实数的取范围是.26．（2021·上海·高一）函数对任意的实数、有，且当时有.（1）求证：在上为增函数；（2）若，解不等式【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取且，根据结合条件判断正负即可；（2）根据条件可得，又单调性可得，解不等式即可得解.【详解】（1）证明：取且，则，故，，，函数在上为增函数.（2），，，由（1）知函数在上为增函数，故，，即或，原不等式的解集是27．（2021·上海·曹杨二中高一期末）已知实数满足.（1）求的取值范围；（2）若函数，求的是大值和最小值，并求此时的值.【答案】（1）；（2）当或2时，；当时，.【解析】（1）令，原不等式等价于，解得的范围，进而可得的取值范围；（2）对函数化简可得，令，由可得，计算二次函数，的最值即可.【详解】（1）令，则，所以，解得：，即，解得，所以的取值范围是，（2）令，由可得，则，所以即时，，当或即或时，，综上所述：当或2时，；当时，.【点睛】关键点点睛：求对数复合型函数值域的关键点是利用换元法令，将原函数转化为关于的一元二次函数，求二次函数的值域即可，注意的取值范围.28．（2021·上海·高一）设函数（，且），判断是否存在大于1的实数，使得对任意，都有，满足等式，且满足该等式的常数的取值唯一？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】存在，2.【分析】构造函数，求出在上的值域，在上的值域，根据求出的范围，再根据值的唯一性可得解.【详解】令，由题意知，所以，所以单调递增，故在上的值域为，又单调递减，故在上的值域为，要使得对任意，都有，满足等式，即，则，则，解得，要使满足不等式的常数唯一，必须，解得.【点睛】关键点点睛：构造函数，根据在上的值域是在上的值域的子集列式求解是解题关键.29．（2021·上海·高一单元测试）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a满足，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当（，a是底数）时，函数值组成的集合为，求实数a、b的值．【答案】（1），；（2）单调递增，理由见解析；（3）．【分析】（1）由奇函数的性质，可得，代入函数的解析式，转化为方程在区间上恒成立，进而求解；（2）令，先求出该函数在定义域内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出的单调性．（3）首先由，求出、的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出，排除的情况，最终确定的值．【详解】解（1）是奇函数，对任意，有，即．化简此式，得．又此方程有无穷多解是区间），必有，解得．令解得所以．（2）当时，函数上是单调增函数．理由：令．易知在上是随增大而增大，在上是随增大而减小，故在上是随增