专题10列方程解应用题（讲义）-2024年小升初数学复习

专题10：列方程解应用题（小升初复习讲义）2024年小升初数学复习专题：第四章式与方程（高频考点梳理＋重难点讲解＋同步练习＋答案）1、列方程解应用题就是用字母表示应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列方程，得到答案。2、列方程解应用题的一般步骤：（1）弄清题意，找出未知数并用字母表示；（2）找出应用题中的等量关系，列出方程；（3）解方程，求出未知数的值；（4）检验并写出答语3、分析等量关系的方法（1）根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。（2）根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。如：三角形的面积＝底×高÷2；长方形的周长＝（长+宽）×2等。（3）根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。（4）对于较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法分析题意找出等量关系。【方法点拨】解决这类问题的一般方法是：以题目中的数量关系作为等量关系列方程解应用题。寻找等量关系是其中的关键点。以“总量”作为等量关系【例1】某工厂生产一批零件，原计划每天生产320个，15天完成任务。实际生产时，通过提高效率，平均每天生产400个，那么可以比原计划提前几天完成任务？（列方程解答)【解析】设实际可以比原计划提前x天完成任务。根据工作总量＝工作时间×工作效率，可得原计划的工作总量为：320×15＝4800（米），实际的工作总量为：400×（15－x）。因为工作总量是相同的，所以可列方程：320×15＝400×（15－x），解方程即可。【解答】解：设实际可以比原计划提前x天完成任务。320×15＝400×（15－x）4800＝400×15－400x4800＝6000－400x400x＝6000－4800400x＝1200x＝1200÷400x＝3答：实际可以比原计划提前3天完成任务。以“差量”作为等量关系【例2】乐乐和嘉嘉买同样的笔记本，乐乐买5本，嘉嘉买3本，乐乐比嘉嘉多花了8元，每本笔记本多少元？（列方程解答）【解析】设每本笔记本的价格为x元。根据总价＝单价×数量，分别得到乐乐花的钱数和嘉嘉花的钱数；再由乐乐花的钱数－嘉嘉花的钱数＝多花的钱数，则可列出方程。【解答】解：设每本笔记本的价格为x元。5x－3x＝82x＝8x＝4答：每本笔记本4元。以“剩余量”作为等量关系【例3】修一条长410米的路，每天修70米，修了若干天后，还剩60米，已经修了多少天？（列方程解答）【解析】数量关系式：已修的长度＋剩下的长度＝总长度。设已修了x天，则已修的长度为70x米，根据数量关系式可列方程：【解答】解：设已修了x天。70x＋60＝41070x＝410－6070x＝350x＝350÷70x＝5答：已经修了5天。【练习1】霖霖买了6本练习本和18支圆珠笔，买圆珠笔比买练习本多用去12元，已知每本练习本2.5元，每支圆珠笔多少元？【练习2】每箱原味牛奶35元，每箱巧克力味牛奶30元。这个星期卖掉了20箱牛奶，一共卖了660元，则原味牛奶和巧克力味牛奶各卖出了多少箱？【练习3】某市自来水公司规定：居民用水高峰期收费为每立方米2.5元，低谷期收费为每立方米1.5元。某户在4月份共用水80立方米，缴纳水费180元。则该用户高峰期的用水量是多少立方米？（列方程解答）【方法点拨】以倍数作为等量关系来列方程时，通常都是设小不设大。注意等量关系中常见的用词：如：“比……多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等等。“倍数”问题【例4】有两袋面粉，甲袋面粉的重量是乙袋面粉的4倍，如果从甲袋面粉中取出15千克放入乙袋面粉，两袋面粉就一样重，原来两袋面粉各有多少千克？（列方程解答）【解析】设乙袋面粉的重量为x千克，则甲袋面粉的重量为4x千克。数量关系式：甲袋面粉的重量－15千克＝乙袋面粉的重量＋15千克。根据数量关系式可列出方程，求解即可。【解答】解：设乙袋面粉的重量为x千克。4x－15＝x＋154x－x＝15＋153x＝30x＝10则甲袋面粉的重量为：4x＝4×10＝40（千克）答：乙袋面粉原来有10千克，甲袋面粉原来有40千克。“几倍少几”的问题【例5】阅文书店购进800本故事书，比科普书的3倍少10本。阅文书店购进多少本科普书？（列方程解答）【解题分析】设科普书的数量为x本。数量关系式为：科普书的数量×3－10＝故事书的数量，根据数量关系式可列出方程求解即可。【解答】解：设科普书的数量为x本。3x－10＝8003x＝800＋103x＝810x＝810÷3x＝270答：阅文书店购进270本科普书。“几倍多几”的问题【例6】南京长江大桥全长约6.8千米，比武汉长江大桥的1.3倍还多0.5千米，武汉长江大桥全长多少千米？（得数保留一位小数）【解析】设武汉长江大桥的长度为x千米。数量关系式：武汉长江大桥的长度×1.3＋0.5＝南京长江大桥的长度，根据数量关系式可列出方程求解即可。【解答】解：设武汉长江大桥的长度为x千米。1.3x＋0.5＝6.81.3x＝6.3x＝6.3÷1.3x≈4.8答：武汉长江大桥全长约4.8千米。“和倍”问题【例7】某公司有员工240人，其中男员工是女员工的3倍，求这个公司男、女员工各有多少人？（列方程解答）【解析】设女员工人数为x人，则男员工人数为3x人。数量关系式：男员工人数＋女员工人数＝总员工人数，根据数量关系式可列出方程求解即可。【解答】解：设女员工人数为x人，则男员工人数为3x人。x＋3x＝2404x＝240x＝240÷4x＝60男职工：60×3＝180（人）答：这个公司男员工有180人，女员工有60人。“差倍”问题【例8】公园新栽种了一批花木，桃树的棵树是山茶树的2.6倍，桃树比山茶树多40棵。桃树和山茶树各有多少棵？（列方程解答）【解析】设山茶树的棵数为x棵，则桃树的棵数为3x棵。数量关系式：数量关系式：桃树的棵数－山茶树的棵数＝多的棵数，根据数量关系式可列出方程求解即可。【解答】解：设山茶树的棵数为x棵，则桃树的棵数为3x棵。2.6x－x＝401.6x＝40x＝40÷1.6x＝252.6×25＝65（棵）答：山茶树有25棵，桃树有65棵。“和差”问题【例9】一个笔袋里共有12支笔，水性笔比铅笔多6支。水性笔和铅笔各有多少支？（列方程解答）【解析】设铅笔数量为x支，则水性笔数量为（x＋6）支。数量关系式：数量关系式：铅笔数量＋钢笔数量＝笔的总支数，根据数量关系式可列出方程求解即可。【解答】解：设铅笔数量为x支，则水性笔数量为（x＋6）支。x＋（x＋6）＝122x＋6＝122x＝6x＝3x＋6＝3＋6＝9答：铅笔有3支，水性笔有9支。【练习1】工厂里有两条生产线，甲生产线生产的产品数量是乙生产线的1.5倍。如果再给乙生产线增加100个产品，两条生产线生产的产品就一样多。原来甲乙两条生产线各生产多少个产品？【练习2】某工厂男职工的人数比女职工人数的3倍少15人，已知男职工有465人，女职工有多少人？【练习3】学校举办一场大型舞蹈表演活动，参加表演的男生有190人，比女生人数的3倍多10人。参加表演的女生有多少人？【练习4】周末，端端和爸爸一起去参观科技馆，买门票一共花了135元，爸爸的门票价格是端端的2倍。请问端端和爸爸的门票价格分别是多少元？（列方程解答）【练习5】今年爸爸的年龄是鸣鸣年龄的5倍，父子两人的年龄和是36岁。鸣鸣和爸爸今年各多少岁？【方法点拨】图形几何问题，通常是借助公式法完成。长方形周长＝（长＋宽）×2长方形面积＝长×宽正方形周长＝边长×4正方形面积＝边长×边长三角形的面积＝底×高÷2平行四边形的周长＝（相邻两条边长度之和）×2【例10】张叔叔有一块平行四边形的土地，周长是128米，其中一条边是另一条边的3倍，求这块土地较短边的长度是多少米？（列方程解答）【解析】设这块平行四边形土地的较短边的长度为x米，则较长边的长度为3x米。根据平行四边形的周长＝（相邻两条边长度之和）×2，可列出方程，求解即可。【解答】解：设这块平行四边形土地的较短边的长度为x米，则较长边的长度为3x米。（x＋3x）×2＝1284x×2＝1288x＝128x＝128÷8x＝16答：这块土地较短边的长度是16米。【例11】用一根长36分米的铁丝围成一个长方形，且长比宽多2分米。这个长方形的面积是多少？（列方程解答）【解析】设这个长方形的宽为x分米，则长为x＋2分米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列方程求解即可求出长方形的长和宽。再代入长方形的面积＝长×宽求出面积即可。【解答】解：设这个长方形的宽为x分米，则长为x＋2分米。（x＋x＋2）×2＝36（2x＋2）×2＝364x＋4＝364x＝36－44x＝32x＝32÷4x＝8则长为：8＋2＝10（分米）面积为：8×10＝80（平方分米）答：这个长方形的面积是80平方分米。【练习1】用一根长48分米的铁丝围成一个长方形，已知长是宽的2倍。这个长方形的面积是多少？（列方程解答）【练习2】一个三角形的面积是18平方厘米，已知三角形的底是高的4倍，求三角形的底和高分别是多少厘米？(列方程解答）【方法点拨】行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间。【例12】一艘轮船从A港开往B港，两港之间的距离是616千米，甲、乙两艘轮船同时从两港相对开出。已知甲船的速度是乙船的1.2倍，8小时后两船相遇。甲、乙两艘轮船的速度分别是多少？（用方程解）（列方程解答）【解析】设乙船的速度为x千米/小时，则甲船的速度为1.2x千米/小时。数量关系式：A、B两城市之间的距离＝甲船速度×相遇时间＋乙船速度×相遇时间，据此列方程解答。【解答】解：设乙船的速度为x千米/小时，则甲船的速度为1.2x千米/小时。8×1.2x＋8x＝6169.6x＋8x＝61617.6x＝616x＝616÷17.6x＝35则甲船的速度为：1.2x＝1.2×35＝42（千米/小时）答：甲船的速度是35千米/小时，乙船的速度是42千米/小时。【例13】甲、乙两人同时从学校步行到地铁站，经过5分钟，乙到达地铁站，甲距地铁站还有150米。已知甲、乙两人步行的平均速度比为3：4，学校与地铁站相距多远？（列方程解答）【解析】根据题意，甲、乙两人步行的平均速度比为3：4，经过5分钟，乙到达地铁站，甲距地铁站还有150米。可以找出等量关系是：甲的速度×时间＋150＝乙的速度×时间。据此解答即可。【解答】解：设甲速度为3x米/分钟，乙的速度为4x米/分钟。3x×5＋150＝4x×515x＋150＝20x5x＝150x＝150÷5x＝30乙的速度为：4x＝4×30＝120（米/分钟）学校与地铁站相距：120×5＝600（米）答：学校与地铁站相距600米。【练习1】甲乙两地相距480千米，两辆汽车同时从两地相对开出，3小时后相遇。已知一辆汽车每小时行75千米，另一辆汽车每小时行驶多少千米？（列方程解答）【练习2】一辆汽车和一辆货车同时从甲、乙两地相向开出，3小时相遇，相遇时，汽车和货车所行的路程比是5∶3，已知汽车每小时行驶90千米，甲、乙两地相距多少千米？（列方程解答）【方法点拨】工程问题中的三个基本量及其关系：工作效率×工作时间＝工作总量。【例14】刘叔叔要加工480个零件，加工6天后，还剩60个没有加工完，刘叔叔平均每天加工多少个零件？（列方程解答）【解析】设刘叔叔平均每天加工x个零件，根据数量关系式：已加工的零件数＋未加工的零件数＝总零件数，列方程解答即可。【解答】解：设刘叔叔平均每天加工x个零件，则他加工6天的零件数为6x个。6x＋60＝4806x＋60＝4806x＝420x＝70答：刘叔叔平均每天加工70个零件。【例15】一条长1800米的道路，甲、乙两个工程队同时从两端开始施工，20天修完。甲队每天修25米，乙队平均每天修多少米？（列方程解答）【解析】设乙队平均每天修x米，则乙队20天修了20x米。甲队每天修25米，20天修了25×20＝500米。根据数量关系式：甲队修的长度＋乙队修的长度＝总长度，列方程解答即可。【解答】解：乙队平均每天修x米。25×20＋20x＝1800500＋20x＝180020x＝1300x＝65答：乙队平均每天修65米。【练习1】公路队修一条800米长的公路。先由甲公路队修，每天修60米，修了200米后，甲公路队因事离开，剩下的由乙公路队用了5天单独完成。乙公路队每天修多少米？（列方程解答）【练习2】有一条长1800米的水渠需要整修，甲、乙两个工程队合作整修完这条水渠需要15天。已知甲工程队每天能整修50米，那么乙工程队平均每天整修多少米？【方法点拨】1、盈亏问题指的是在分配一定数量的物品给固定数量的人时，由于分配方式的不同，导致某些人分配到的物品过多，而另一些人分配到的物品过少的情况。分配不足时，称之为“亏”；分配有余，称之为“盈”。2、盈亏问题的解题关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。3、盈亏问题的解题思路：先将两种分配方案进行比较，求出两次分配中分配者每份所得物品数量的差，再根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出分配物体的总量。【例16】老师给同学们分饼干，若每人分4块，则多12块；若每人分6块，则多2块。问：同学的人数和饼干数量？【解析】设同学的人数为x人。根据数量关系式：饼干的总数量＝每人分的数量×人数＋剩余的数量，列方程解答即可。【解答】解：设同学的人数为x人。6x＋2＝4x＋126x－4x＝12－22x＝10x＝54x＋12＝4×5＋12＝32（块）答：同学的人数为5人，饼干的数量为32块。【例17】有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种12棵，还有2人没种；如果每人种10棵，正好种完。有多少名少先队员，多少棵树？【解析】设少先队员的人数为x名。如果每人种12棵，还有2人没种，则树的总数量为（x－2)×12；如果每人种10棵，正好种完，则树的总数量为10x。因为树的总数量是不变的，根据数量关系式：少先队员的人数×每人种树的数量＝树的总数量，列方程解答即可。【解答】解：设少先队员的人数为x名。（x－2）×12＝10x12x－24＝10x12x－10x＝242x＝24x＝12则树的数量为：10x＝10×12＝120（棵）答：有12名少先队员，有120棵树。【练习1】英语老师将一些笔奖给优秀学生，如果每人8支，还少15支；如果每人5支，就少6支。优秀学生有多少人？笔有多少支？(列方程解答）【练习2】杨老师将一些巧克力分给小班的小朋友。如果每人分7颗，还多5颗；如果每人分8颗则正好分完。请算一算，小班有几个小朋友？这些巧克力一共有多少颗？【方法点拨】（1）解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）＝鸡的只数总只数－鸡的只数＝兔的只数（2）解法2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）＝兔的只数总只数－兔的只数＝鸡的只数（3）解法3：总脚数÷2－总头数＝兔的只数总只数－兔的只数＝鸡的只数【例18】停车场有3轮摩托车和4轮轿车共12辆，共52个车轮。停车场里有多少辆4轮轿车和3轮摩托车？【解析】设4轮轿车有x辆，则3轮摩托车有（12－x)辆。3轮摩托车有4x个车轮，3轮轿车有3×（12－x)个车轮，根据数量关系式：3轮摩托车的车轮数量＋4轮轿车的车轮数量＝车轮总数量，列方程解答即可。【解答】解：设4轮轿车有x辆，则3轮摩托车有（12－x）辆。4x＋3×（12－x）＝524x＋3×16－3x＝52x＋48＝52x＝52－48x＝412－4＝8（辆）答：4轮轿车有4辆，则3轮摩托车有8辆。【例19】有36名学生去划船，一共租了8只船，正好全部坐满。已知每只大船坐5人，每只小船坐3人。大船有多少只，小船有多少只？【解析】设大船有x只，则小船有（8－x）只。根据数量关系式：大船的数量×大船每只坐的人数＋小船的数量×小船每只坐的人数＝总人数，列方程解答即可。【解答】解：设大船有x只，则小船有（8－x）只5x＋3×（8－x）＝365x＋24－3x＝362x＋24＝362x＝36－242x＝12x＝68－6＝2（只）答：大船有6只，小船有2只。【练习1】某次知识竞赛共30道题，评分标准是：每做对一题得4分，每做错或不做一题扣2分。乐乐参加了这次竞赛，得了90分。乐乐做对了多少道题？【练习2】12张乒乓球桌上一共有46个同学在比赛，其中单打的有多少张桌，双打的有多少张桌？【练习1】【解析】设每支圆珠笔x元。根据总价＝单价×数量，分别得到圆珠笔的总价和练习本的总价；再由圆珠笔的总价－练习本的总价＝多花的钱数，则可列出方程。【解答】解：设每支圆珠笔x元。18x－2.5×6＝1218x－15＝1218x＝12＋1518x＝27x＝27÷18x＝1.5答：每支圆珠笔1.5元。【练习2】【解析】设原味牛奶卖了x箱，则巧克力味牛奶卖了（20－x）箱。数量关系式：原味牛奶的单价×数量＋巧克力味牛奶单价×数量＝总价。根据数量关系式可列方求解。【解答】解：设原味牛奶卖了x箱，则巧克力味牛奶卖了（20－x）箱。35x＋（20－x）×30＝66035x＋600－30x＝6605x＋600＝6605x＝660－6005x＝60x＝60÷5x＝1220－x＝20－12＝8（箱）答：原味牛奶卖了12箱，则巧克力味牛奶卖了8箱。【练习3】【解析】数量关系式：高峰期水费＋低谷期水费＝总水费。设该用户高峰期的用水量为x立方米，则低谷期的用水量为（80－x）立方米，根据数量关系式可列方程求解。【解答】解：设该用户高峰期的用水量为x立方米，则低谷期的用水量为（80－x）立方米。2.5x＋1.5×（80－x）＝1802.5x＋120－1.5x＝180x＝180－120x＝60答：该用户高峰期的用水量是60立方米。【练习1】【解析】根据数量关系式：甲生产线生产的产品数量＝乙生产线生产的产品数量×1.5；甲生产线生产的产品数量－乙生产线生产的产品数量＝100，列出方程求解即可。【解答】解：设乙生产线生产的产品数量为x个，则甲生产线生产的产品数量为1.5x个。1.5x－x＝1000.5x＝100x＝200则甲生产线生产的产品数量为：1.5x＝1.5×200＝300（个）答：乙生产线生产200个产品，甲生产线生产300个产品。【练习2】【解析】设女职工有x人。根据数量关系式：女职工人数的3倍－15人＝男职工人数，列出方程求解即可。【解答】解：设女职工有x人。3x－15＝4653x＝465＋153x＝480x＝480÷3x＝160答：女职工有160人。【练习3】【解析】设参加表演的女生有x人。根据已知参加表演的男生有190人，比女生人数的3倍多10人，则可得到数量关系式：女生人数×3＋10＝男生人数，列出方程求解即可。【解答】解：设参加表演的女生有x人。3x＋10＝1903x＝190－103x＝180x＝180÷3x＝60答：参加表演的女生有60人。【练习4】【解析】设端端的门票价格为x元，则爸爸的门票价格为2x元。数量关系式：端端的门票价格＋爸爸的门票价格＝总门票价格，根据数量关系式可列出方程求解即可。【解答】解：设端端的门票价格为x元，则爸爸的门票价格为2x元。x＋2x＝1353x＝135x＝135÷3x＝45爸爸的门票价格：45×2＝90（元）答：端端的门票价格为45元，则爸爸的门票价格为90元。【练习5】【解析】设今年鸣鸣年龄为x岁，则爸爸的年龄为5x岁。数量关系式：爸爸的年龄＋鸣鸣的年龄＝两人年龄和，根据数量关系式可列出方程求解即可。【解答】解：设今年鸣鸣年龄为x岁，则爸爸的年龄为5x岁。x＋5x＝366x＝36x＝36÷6x＝65×6＝30（岁）答：今年鸣鸣年龄为6岁，则爸爸的年龄为30岁。【练习1】【解析】设这个长方形的宽为x分米，则长为2x分米。根据长方形的周长＝（长+宽）×2，列方程求解即可求出长方形的长和宽。再代入长方形的面积＝长×宽求出面积即可。【解答】解：设这个长方形的宽为x分米，则长为2x分米。（2x＋x）×2＝483x×2＝486x＝48x＝48÷6x＝8则长为：2x＝2×8＝16（分米）面积为：8×16＝128（平方分米）答：这个长方形的面积是128平方分米。【练习2】【解析】设这个设三角形的高为x厘米，则底为4x厘米。根据三角形的面积＝底×高÷2，列方程求解即可求出三角形的底和高。【解答】解：设这个设三角形的高为x厘米，则底为4x厘米。4x×x÷2＝184x2＝18×24x2＝36x2＝36÷4x2＝9x＝3则底为：4x＝4×3＝12（厘米）答：三角形的底是12厘米，高是3厘米。【练习1】【解析】设另一辆汽车每小时行驶x千米。数量关系式：A、B两城市之间的距离＝速度和×相遇时间，据此列方程解答。【解答】解：设另一辆汽车每小时行驶x千米。（75＋x）×3＝48075＋x＝480÷375＋x＝160x＝160－75x＝85答：另一辆汽车每小时行驶85千米。【练习2】【解析】设甲、乙两地相距x千米。由题意可知，汽车行驶的路程是55+3x千米。时间是3小时，根据路程÷速度＝时间【解答】解：设甲、乙两地相距x千米。55+3x÷958x58xx＝270