上海市长宁区延安中学2025年高二下数学期末教学质量检测试题含解析

上海市长宁区延安中学2025年高二下数学期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A．10 B．11 C．12 D．162．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（）A． B． C． D．3．在等差数列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．64．下列四个命题中真命题是()A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个5．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增 B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是16．已知向量，且，则等于（）A．1 B．3 C．4 D．57．若是小于的正整数，则等于（）A． B． C． D．8．设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+1A．12 B．12i C．9．如图所示为底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（）A． B．C． D．10．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A．4 B．3 C． D．11．在的展开式中，含的项的系数是（）A．-10 B．5 C．10 D．-512．以圆：的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．14．命题“”为假命题，则实数的取值范围是.15．如果复数的实部与虚部相等，则_______.16．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.18．（12分）如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.(1)若，求证:;(2)若，异面直线与所成的角为30°，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为，俯视图中正方形的边长也为.主视图和左视图俯视图（1）画出实物的大致直观图形；（2）求此物体的表面积；（3）若，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到个单位）20．（12分）某校举办《国学》知识问答中，有一道题目有5个选项A，B，C，D，E，并告知考生正确选项个数不超过3个，满分5分，若该题正确答案为，赋分标准为“选对1个得2分，选对2个得4分，选对3个得5分，每选错1个扣3分，最低得分为0分”.假定考生作答的答案中的选项个数不超过3个.（1）若张小雷同学无法判断所有选项，只能猜，他在犹豫答案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”或者“任选3个选项作为答案”，以得分期望为决策依据，则他的最佳方案是哪一种？说明理由.（2）已知有10名同学的答案都是3个选项，且他们的答案互不相同，他们此题的平均得分为x分.现从这10名同学中任选3名，计算得到这3名考生此题得分的平均分为y分，试求的概率.21．（12分）已知：已知函数（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（I）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（II）求曲线上的点到直线的距离的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由题计算出抽样的间距为13，由此得解．【详解】由题可得，系统抽样的间距为13，则在样本中．故选D本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题．2、A【解析】

结合特殊角的正弦值，运用正弦定理求解.【详解】由正弦定理可知：，故本题选A.本题考查了正弦定理，考查了数学运算能力.3、B【解析】在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则4、C【解析】

通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定”可判断A是否正确；通过“底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判断B是否正确；通过“两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C是否正确；通过“经过球面上任意两点的大圆有无数个”可判断D是否正确。【详解】A项：垂直于同一直线的两条直线不一定互相平行，故A错；B项：底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B错；C项：两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故C正确；D项：过球面上任意两点的大圆有无数个，故D错，故选C项。本题考查了命题真假的判定以及解析几何的相关性质，考查了推理能力，考查了数形结合思想，属于基础题，在进行解析几何的相关性质的判断时，可以根据图像来判断。5、A【解析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得：当时，在上单调递增在上单调递增，正确；的最小正周期为：不是的周期，错误；当时，，关于点对称，错误；当时，此时没有最大值，错误.本题正确选项：本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.6、D【解析】

先根据已知求出x,y的值，再求出的坐标和的值.【详解】由向量，且，则，解得，所以，所以，所以，故答案为D本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】

利用排列数的定义可得出正确选项.【详解】，由排列数的定义可得.故选：D.本题考查排列数的表示，解题的关键就是依据排列数的定义将代数式表示为阶乘的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、A【解析】由z=1+i，得z+1z=1+i+9、B【解析】

由三视图可以看出有多个直角，将该三棱锥放入正方体中，依次求各面面积即可【详解】由三视图可知该几何体是三棱锥（放在棱长为2的正方体中），则侧面是边长为的等边三角形，面积为；侧面和都是直角三角形，面积均为，因此，此几何体的侧面积为，故选B本题考查三视图、几何体侧面积，将棱锥放入棱柱中分析是解题的关键.10、A【解析】

由条件可得，【详解】因为函数的图象在点P处的切线方程是所以，所以4故选：A本题考查的是导数的几何意义，较简单.11、A【解析】

根据，把按二项式定理展开，可得含的项的系数，得到答案．【详解】由题意，在的展开中为，所以含的项的系数，故选A．本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12、A【解析】

先求得圆M的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.【详解】由题意可得圆M的圆心坐标为，以为圆心，以3为半径的圆的方程为．故选:A.本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=14、【解析】试题分析：由题意可得命题:,为真命题.所以,解得.考点：命题的真假.15、7【解析】

根据复数除法运算可求得，根据实部与虚部相等可构造方程求得结果.【详解】，，解得：.故答案为：.本题考查根据复数的实部和虚部定义求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算问题，属于基础题.16、20【解析】

分两步：第一步先计算从A到B的走法种数，第二步：再计算从B到C走法种数，相乘即可.【详解】A到B共2种走法，从B到C共种不同走法，由分步乘法原理，知从A地经B地走到C地，最近的走法共有种.故答案为：20本题考查分步乘法原理及简单的计数问题的应用，考查学生的逻辑分析能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意的可能取值为...列出分布列表格，就可以求出期望的值.用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，..的可能取值为...故的分布列为

2

3

4

5

所以.考点：1.概率的求解；2.期望的求解.视频18、(1)证明见解析(2)【解析】

（1）取中点，连接，，易知要证，先证平面；（2）如图以为坐标原点，分别以，，为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及直线的方向向量，即可得到结果.【详解】(1)证明:取中点，连接，，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以.(2)设，如图以为坐标原点，分别以，，为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，由(1)可知，，所以，故，，，，，对平面，，，所以其法向量为.又，所以直线与平面成角的正弦值.本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．19、（1）见解析；（2）；（2）【解析】

（1）根据三视图可知几何体的下部分是正方体，上部分是正四棱锥，画出几何体；（2）根据（1）所画的几何体，几何体的表面积包含5个正方形和4个三角形的面积；（3）根据数形结合，先画出展开图的平面图形，最短距离就是，根据余弦定理求边长.【详解】（1）（2）正视图中等腰三角形的直角边是几何体正四棱锥的斜高，，（3）一个三角形和下面的正方形的的展开图，如图所示，当时，，，设，,而，,根据数形结合可知最短距离就是,,本题考查根据三视图求几何体的直观图，以及计算表面积，意在考查空间想象能力和计算求解能力，本题第二问需注意三视图中等腰三角形的腰是正四棱锥的斜高，等腰三角形斜边上的高是锥体的高，求解表面积时需注意这点.20、（1）他的最佳方案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”，理由见解析；（2）.【解析】

（1）分情况讨论：当任选1个选项的得分为X分，可得X可取0，2，利用组合运算算出概率，并计算出期望；当任选2个选项的得分为Y分，可得Y可取0，4，利用组合运算算出概率，并计算出期望；当任选3个选项的得分为Z分，则Z可取0，1，5，利用组合运算算出概率，并计算出期望；比较数值大小即可.（2）由题意可得这10名考生中有3人得分为0分，6人得分为1分，1人得分为5分，可得，由，、可得3人得分总分小于3.3，即可求解.【详解】（1）设任选1个选项的得分为X分，则X可取0，2，，，设任选2个选项的得分为Y分，则Y可取0，4，设任选3个选项的得分为Z分，则Z可取0，1，5，，，所以他的最佳方案是“任选1个选项作为答案”或者“任选2个选项作为答案”（2）由于这10名同学答案互不相同，且可能的答案总数为10，则这10名考生中有3人得分为0分，6人得分为1分，1人得分为5分，则有，则3人得分总分小于3.3，则本题考查了古典概型的概率计算公式、组合数的计算以及数学期望，考查了分类讨论的思想，属于中档题.21、(1)-2；(2)极小值为，极大值为.【解析】分析：（1）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求出；（2）通过a=1时，利用导函